Toán · Lớp 11
27 câu · 41 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.
a) Cho điểm M và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của M trên a. Với mỗi điểm K thuộc a, giải thích vì sao MK ³ MH (H.7.74).
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
b) Vì H là hình chiếu của M lên (P) nên MH ^ (P), suy ra MH ^ KH.
Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ta có MK ³ MH.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AA' = h (H.7.77).
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
a) Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng nên BB' ^ (ABC) nên (BCC'B') ^ (ABC).
Hạ AH ^ BC tại H.
Có .
Khi đó AH chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a.
Xét tam giác ABC vuông cân tại A, có
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') bằng .
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
b) Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ^ AC.
Vì AA' ^ (ABC) nên AA' ^ AB mà AB ^ AC nên AB ^ (ACC'A'), suy ra AB ^ AC'.
Do đó tam giác ABC' là tam giác vuông tại A.
Hạ AK ^ BC' tại K. Khi đó d(A, BC') = AK.
Vì ACC'A' là hình chữ nhật nên .
Xét tam giác ABC' vuông tại A, AK là đường cao, ta có:
.
Vậy khoảng cách từ A đến BC' bằng .
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm M; N bất kỳ thuộc a và gọi A; B tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (P) (H.7.78).
Giải thích vì sao ABNM là một hình chữ nhật và M, N có cùng khoảng cách đến (P).
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Vì A, B lần lượt là các hình chiếu của M, N trên (P) nên AM ^ (P), BN ^ (P).
Do đó AM // BN hay A, B, M, N cùng thuộc một mặt phẳng.
Vì MN // (P) và (ABNM) Ç (P) = AB nên MN // AB.
Vì AM // BN và MN // AB nên ABNM là hình bình hành.
Mặt khác AM ^ (P) nên AM ^ AB. Do đó ABNM là hình chữ nhật.
Vì ABNM là hình chữ nhật nên AM = BN nên M, N có cùng khoảng cách đến (P).
a) Cho hai đường thẳng m và n song song với nhau. Khi một điểm M thay đổi trên m thì khoảng cách từ nó đến đường thẳng n có thay đổi hay không?
b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) và một điểm M thay đổi trên (P) (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ M đến (Q) thay đổi thế nào khi M thay đổi.
Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC), SA = h. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC.
a) Tính d((MNP), (ABC)) và d(NP, (ABC)).
Ở một con dốc lên cầu, người ta đặt một khung khống chế chiều cao, hai cột của khung có phương thẳng đứng và có chiều dài bằng 2,28 m. Đường thẳng nối hai chân cột vuông góc với hai đường mép dốc. Thanh ngang được đặt trên đỉnh hai cột. Biết dốc nghiêng 15° so phương nằm ngang. Tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường (theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Hỏi cầu này có cho phép xe cao 2,21 m đi qua hay không?
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng b và song song với a. Hình chiếu a' của a trên (Q) cắt b tại N. Gọi M là hình chiếu của N trên a (H.7.83).
a) Mặt phẳng chứa a và a' có vuông góc với (Q) hay không?
b) Đường thẳng MN có vuông góc với cả hai đường thẳng a và b hay không?
c) Nêu mối quan hệ của khoảng cách giữa a, (Q) và độ dài đoạn thẳng MN.
Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt (P) tại O. Cho đường thẳng b thuộc mặt phẳng (P). Hãy tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa a, b và khoảng cách từ O đến b (H.7.88).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD), .
a) Tính khoảng cách từ A đến SC.
b) Chứng minh rằng BD ^ (SAC).
c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa BD và SC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là một tam giác đều và (SAD) ^ (ABCD).
a) Tính chiều cao của hình chóp.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, BC = c.
a) Tính khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D).
Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:
a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC) và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng 110 cm. Tính chiều cao của giá đõ, biết các chân của giá đỡ dài 129 cm.
