Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 2. Công thức lượng giác có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Ta có: f(t) = f$_{1}$(t) + f$_{2}$(t) = 5sin t + 5 cos t = 5(sin t + cos t)

Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được

sin t + cos t = $\sqrt 2 \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)$.

Do đó, $f\left( t \right) = 5\sqrt 2 \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)$.

Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ âm $k = 5\sqrt 2$ và pha ban đầu của sóng âm là$\,\varphi = \frac{\pi }{4}$.

Lời giải:

a) Ta có: a – b = $\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6}$ nên cos(a – b) = $\cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

cos a cos b + sin a sin b

= $\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$= \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy với $a = \frac{\pi }{3}$ và $b = \frac{\pi }{6}$, ta thấy cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.

b) Ta có: cos(a + b) = cos[a – (– b)] = cos a cos(– b) + sin a sin(– b)

Mà cos(– b) = cos b, sin(– b) = – sin b (hai góc đối nhau).

Do đó, cos(a + b) = cos a cos b + sin a . (– sin b) = cos a cos b – sin a sin b.

c) Ta có: sin(a – b) = $\cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right]$

$= \cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\cos b - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin b$

$= \sin a\cos b - \cos a\sin b$ (do $\cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) = \sin a$, $\sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) = \cos a$).

Vậy sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

Lời giải:

a) Ta có: $VP = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} - \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right)$

$= \sqrt 2 \sin x.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \sqrt 2 \cos x.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin x - \cos x = VT$ (đpcm).

b) Ta có: $VT = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan x}} = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}} = VP$ $\left( {do\,\,\tan \frac{\pi }{4} = 1} \right)$.

Lời giải:

Ta có: f(t) = f$_{1}$(t) + f$_{2}$(t) = 5sin t + 5 cos t = 5(sin t + cos t)

Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được

sin t + cos t = $\sqrt 2 \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)$.

Do đó, $f\left( t \right) = 5\sqrt 2 \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)$.

Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ âm $k = 5\sqrt 2$ và pha ban đầu của sóng âm là$\,\varphi = \frac{\pi }{4}$.

Lời giải:

Ta có:

+) sin 2a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = sin a cos a + sin a cos a = 2 sin a cos a.

+) cos 2a = cos (a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos$^{2}$ a – sin$^{2}$a

Mà sin$^{2}$a + cos$^{2}$ a = 1, suy ra sin$^{2}$ a = 1 – cos$^{2}$ a và cos$^{2}$ a = 1 – sin$^{2}$ a.

Do đó, cos 2a = cos$^{2}$ a – sin$^{2}$ a = 2cos$^{2}$ a – 1 = 1 – 2sin$^{2}$ a.

+) tan 2a = tan (a + a) = $\frac{{\tan a + \tan a}}{{1 - \tan a\tan a}} = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}$.

Lời giải:

Ta có: $\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \frac{\pi }{4} = \cos \left( {2.\frac{\pi }{8}} \right) = 2{\cos ^2}\frac{\pi }{8} - 1$.

Suy ra $2{\cos ^2}\frac{\pi }{8} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}$. Do đó, ${\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}$.

Vì $\cos \frac{\pi }{8} > 0$ nên suy ra $\cos \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}$.

Lời giải:

a) Ta có: cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b (1);

cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b (2).

Lấy (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được: cos(a + b) + cos(a – b) = 2cos a cos b.

Từ đó suy ra, cos a cos b = $\frac{1}{2}$[cos(a + b) + cos(a – b)].

Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1), ta được: cos(a – b) – cos(a + b) = 2sin a sin b.

Từ đó suy ra, sin a sin b = $\frac{1}{2}$[cos(a – b) – cos(a + b)].

b) Ta có: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (3);

sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b (4).

Lấy (3) và (4) cộng vế theo vế, ta được: sin(a + b) + sin(a – b) = 2sin a cos b.

Từ đó suy ra, sin a cos b = $\frac{1}{2}$[sin(a + b) + sin(a – b)].

Lời giải:

Ta có:

A = cos 75° cos 15° = $\frac{1}{2}$[cos(75° – 15°) + cos(75° + cos 15°)]

= $\frac{1}{2}$(cos 60° + cos 90°) = $\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} + 0} \right) = \frac{1}{4}$.

B = $\sin \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$ = $\frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)} \right]$

$= \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + \sin \pi } \right] = \frac{1}{2}\left( { - \sin \frac{\pi }{6} + \sin \pi } \right)$$= \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2} + 0} \right) = - \frac{1}{4}$.

Lời giải:

Ta có: cos a cos b = $\frac{1}{2}$[cos(a – b) + cos(a + b)] (1);

sin a sin b = $\frac{1}{2}$[cos(a – b) – cos(a + b)] (2);

sin a cos b = $\frac{1}{2}$[sin(a – b) + sin(a + b)] (3).

Đặt u = a – b, v = a + b.

Ta có: u + v = (a – b) + (a + b) = 2a và u – v = (a – b) – (a + b) = – 2b.

Suy ra, $a = \frac{{u + v}}{2},\,b = - \frac{{u - v}}{2}$.

Khi đó:

+) (1) trở thành $\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos u + \cos v} \right)$

$\Leftrightarrow \cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}$ (do $\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \cos \frac{{u - v}}{2}$).

+) (2) trở thành $\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos u - \cos v} \right)$

$\Leftrightarrow \cos u - \cos v = - 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}$ (do $\sin \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = - \sin \frac{{u - v}}{2}$).

+) (3) trở thành $\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sin u + \sin v} \right)$

$\Leftrightarrow \sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}$.

Lời giải:

Ta có: B = $\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9}$

$= \left( {\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9}} \right) + \cos \frac{{5\pi }}{9}$

$= 2\cos \frac{{\frac{\pi }{9} + \frac{{11\pi }}{9}}}{2}\cos \frac{{\frac{\pi }{9} - \frac{{11\pi }}{9}}}{2} + \cos \frac{{5\pi }}{9}$

$= 2\cos \frac{{2\pi }}{3}\cos \left( { - \frac{{5\pi }}{9}} \right) + \cos \frac{{5\pi }}{9}$

$= 2\cos \frac{{2\pi }}{3}\cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}$

$= 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right)\cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}$

$= - \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} = 0$.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 1.13, ta nhận thấy khi nhấn phím 4, âm thanh được tạo ra có tần số thấp f$_{1}$ = 770 Hz và tần số cao f$_{2}$ = 1 209 Hz.

Khi đó, hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4 là

y = sin(2π . 770t) + sin(2π . 1 209t) hay y = sin(1 540πt) + sin(2 418πt).

b) Ta có:

sin(1 540πt) + sin(2 418πt)

= $2\sin \frac{{1\,540\pi t + 2\,418\pi t}}{2}\cos \frac{{1\,540\pi t - 2\,418\pi t}}{2}$

= 2sin(1 979πt) cos(– 439πt)

= 2sin(1 979πt) cos(439πt).

Vậy ta có hàm số y = 2sin(1 979πt) cos(439πt).

Lời giải:

Ta có:

+) sin 15° = sin(45° – 30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°

= $\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}$.

+) cos 15° = cos(45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°

= $\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}$.

+) tan 15° = tan(45° – 30°) = $\frac{{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ }}{{1 + \tan 45^\circ .\tan 30^\circ }}$= $\frac{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{1 + 1.\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = 2 - \sqrt 3$.

+) cot 15° = $\frac{1}{{\tan 15^\circ }} = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} = 2 + \sqrt 3$.

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2} < a < \pi$ nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin$^{2}$ a + cos$^{2}$a = 1 suy ra

cos a = $- \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Ta có: $\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)$$= \cos a\cos \frac{\pi }{6} - \sin a\sin \frac{\pi }{6}$

$= \left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} = \frac{{ - \sqrt 6 - 1}}{{2\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{6}$.

b) Vì $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$ nên sin a < 0, do đó $\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} > 0$.

Mặt khác từ $1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}$

Suy ra $\tan a = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} - 1} = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2}}} - 1} = 2\sqrt 2$.

Ta có: $\tan \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)$$= \frac{{\tan a - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan a\tan \frac{\pi }{4}}}$$= \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{{1 + 2\sqrt 2 .1}} = \frac{{9 - 4\sqrt 2 }}{7}$.

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2} < a < \pi$ nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin$^{2}$ a + cos$^{2}$a = 1 suy ra

cos a = $- \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Ta có: sin 2a = 2sin a cos a = $2.\frac{1}{3}.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}$.

$\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}$.

$\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}}}{{\frac{7}{9}}} = - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}$.

b) Ta có: (sin a + cos a)$^{2}$ = ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$$\Leftrightarrow {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow 1 + \sin 2a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin 2a = - \frac{3}{4}$.

Vì $\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}$ nên $\pi < 2a < \frac{{3\pi }}{2}$, do đó cos 2a < 0. Mặt khác từ sin$^{2}$(2a) + cos$^{2}$ (2a) = 1

Suy ra $\cos 2a = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( {2a} \right)} = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{3}{4}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}$.

Do đó, $\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{3}{{\sqrt 7 }} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}$.

Lời giải:

a) Ta có:

$A = \frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}}$$= \frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \cos \frac{\pi }{{15}}\sin \frac{\pi }{{10}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}}$

$= \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{{15}} + \frac{\pi }{{10}}} \right)}}{{\cos \left( {\frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{\pi }{5}} \right)}}$$= \frac{{\sin \frac{\pi }{6}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 1$.

b) Ta có:

$B = \sin \frac{\pi }{{32}}\cos \frac{\pi }{{32}}\cos \frac{\pi }{{16}}\cos \frac{\pi }{8}$$= \left( {\frac{1}{2}.2\sin \frac{\pi }{{32}}\cos \frac{\pi }{{32}}} \right)\cos \frac{\pi }{{16}}\cos \frac{\pi }{8}$

$= \frac{1}{2}\sin \left( {2.\frac{\pi }{{32}}} \right)\cos \frac{\pi }{{16}}\cos \frac{\pi }{8}$$= \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{{16}}\cos \frac{\pi }{{16}}\cos \frac{\pi }{8}$

$= \frac{1}{4}.2\sin \frac{\pi }{{16}}\cos \frac{\pi }{{16}}\cos \frac{\pi }{8}$$= \frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8} = \frac{1}{8}.2\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}$

$= \frac{1}{8}\sin \frac{\pi }{4} = \frac{1}{8}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{{16}}$.

Lời giải:

Ta có: sin(a + b) sin(a – b) = $\frac{1}{2}$[cos(a + b – a + b) – cos(a + b + a – b)]

= $\frac{1}{2}$[cos 2b – cos 2a] = $\frac{1}{2}$[(2cos$^{2}$ b – 1) – (2cos$^{2}$ a – 1)] = cos$^{2}$ b – cos$^{2}$ a.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = cos$^{2}$ b – cos$^{2}$ a (1).

Lại có, cos 2b – cos 2a = (1 – 2sin$^{2}$ b) – (1 – 2sin$^{2}$ a) = 2(sin$^{2}$ a – sin$^{2}$ b)

Do đó, $\frac{1}{2}$[cos 2b – cos 2a] = $\frac{1}{2}$ . 2(sin$^{2}$ a – sin$^{2}$ b) = sin$^{2}$ a – sin$^{2}$ b.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = sin$^{2}$ a – sin$^{2}$ b (2).

Từ (1) và (2), suy ra sin(a + b) sin(a – b) = sin$^{2}$ a – sin$^{2}$ b = cos$^{2}$ b – cos$^{2}$ a (đpcm).

Lời giải:

a) Định lí sin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c là: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$

Từ đó suy ra $b = \frac{{a\sin B}}{{\sin A}}$.

Diện tích tam giác ABC là $S = \frac{1}{2}ab\sin C$$= \frac{1}{2}a.\frac{{a\sin B}}{{\sin A}}.\sin C = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}$.

Vậy $S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}$ (đpcm).

b) Ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).

$\Rightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 45^\circ } \right) = 60^\circ$.

Ta có: $S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}} = \frac{{{{12}^2}\sin 75^\circ \sin 45^\circ }}{{2\sin 60^\circ }}$

$= \frac{{144.\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {75^\circ - 45^\circ } \right) - \cos \left( {75^\circ + 45^\circ } \right)} \right]}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}$

$= \frac{{72\left( {\cos 30^\circ - \cos 120^\circ } \right)}}{{\sqrt 3 }}$$= \frac{{72\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right)}}{{\sqrt 3 }} = 36 + 12\sqrt 3$.

Vậy diện tích của tam giác ABC là $S = 36 + 12\sqrt 3$ (cm$^{2}$).

Lời giải:

Dao động tổng hợp x(t) = x$_{1}$(t) + x$_{2}$(t)

Suy ra x(t) = $2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)$ (cm).

Ta có: $2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)$

$= 2\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)} \right]$

$= 2.2\cos \frac{{\left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) + \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\cos \frac{{\left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) - \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}$

$= 4\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right)\cos \frac{\pi }{4}$$= 4\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right)$.

Vậy dạo động tổng hợp có phương trình là $x\left( t \right) = 2\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right)$ với biên độ $A = 2\sqrt 2$ và pha ban đầu là $\varphi = - \frac{\pi }{{12}}$.