Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 13. Hai mặt phẳng song song có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này ta giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Các nhát cắt cần tuân thủ nguyên tắc là nằm trong các mặt phẳng song song với nhau.

Lời giải:

- Các mặt của từng tầng trong giá để dép gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

- Mặt sàn và mặt trần nhà bằng gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

- Hai mặt đối diện của hộp diêm gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

Lời giải:

Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt nằm trong các mặt phẳng song song.

Lời giải:

Do a song song với mặt phẳng (β) và a nằm trong mặt phẳng (α) nên (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c song song với a. Lí luận tương tự, ta thấy c song song với b. Từ đó suy ra a song song với b hoặc a trùng với b (mâu thuẫn giả thiết).

Lời giải:

Giả sử hai đường thẳng a và b trùng nhau thì khi đó có thể xảy ra trường hợp hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c song song với hai đường thẳng trùng nhau trên, do đó (α) và (β) không song song với nhau. Do vậy, nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên không đúng.

Lời giải:

Vì m // BC nên m // (BCD).

Vì n // BD nên n // (BCD).

mp(m, n) chứa hai đường thẳng cắt nhau m và n (cắt nhau tại A) cùng song song với mặt phẳng (BCD) nên mp(m, n) song song với mặt phẳng (BCD).

Lời giải:

Đặt tên các đường thẳng như trong hình vẽ dưới đây.

Vì các khung sắt có dạng hình chữ nhật nên các cạnh đối diện của khung sắt song song với nhau, do đó a // c và b // d.

Vì c và d là các đường thẳng của chân bàn nằm trên mặt đất, nên a // c thì đường thẳng a song song với mặt đất và b // d thì đường thẳng b song song với mặt đất.

Mặt phẳng bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng song song với mặt đất nên mặt phẳng bàn song song với mặt đất.

Lời giải:

Mặt bàn nằm ngang thì song song với mặt đất. Khi tấm bìa cứng được đặt lên một góc của mặt bàn nằm ngang sao cho mặt bìa song song với mặt bàn thì mặt bìa trùng với mặt bàn.

Lời giải:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Chứng minh: Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ) phân biệt có (α) // (β), (β) // (γ). Ta chứng minh (α) // (γ).

Trên mặt phẳng (α) ta có hai đường thẳng cắt nhau a$_{1}$ và b$_{1}$. Vì (α) // (β) suy ra a$_{1}$ // (β); b$_{1}$ // (β).

Trên mp(β), kẻ a$_{2}$ // a$_{1}$, b$_{2}$ // b$_{1}$. Vì a$_{1}$ và b$_{1}$ cắt nhau suy ra a$_{2}$ và b$_{2}$ cũng cắt nhau, (β) // (γ) nên a$_{2}$ // (γ), b$_{2}$// (γ)

Trên mp (γ), kẻ a$_{3}$ // a$_{2}$, b$_{3}$ // b$_{2}$. Vì a$_{2}$ và b$_{2}$ cắt nhau suy ra a$_{3}$ và b$_{3}$ cắt nhau

Ta có: a$_{3}$ // a$_{1}$ (vì cùng song song với a$_{2}$), suy ra a$_{3}$ // (α)

b$_{3}$ // b$_{1}$ (vì cùng song song với b$_{2}$), suy ra b$_{3}$ // (α)

Do đó (γ) // (α).

Vậy nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó có song song với nhau.

Lời giải:

Xét tam giác SAB có $\frac{{MA}}{{MS}} = \frac{{NB}}{{NS}} = \frac{1}{2}$ hay $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{3}$, suy ra MN // AB (theo định lí Thalés). Do đó MN song song với mặt phẳng (ABCD). Tương tự, NP // BC nên NP song song với mặt phẳng (ABCD). Vậy mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và NP cùng song song với mặt phẳng (ABCD) nên mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABCD). Lập lập tương tự ta có mặt phẳng (MPQ) cũng song song với mặt phẳng (ABCD).

Hai mặt phẳng (MNP) và (MPQ) cùng đi qua điểm M và cùng song song với mặt phẳng (ABCD) nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức là bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Lời giải:

Xét tam giác SAB có $\frac{{MA}}{{MS}} = \frac{{NB}}{{NS}} = \frac{1}{2}$ hay $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{3}$, suy ra MN // AB (theo định lí Thalés). Do đó MN song song với mặt phẳng (ABCD). Tương tự, NP // BC nên NP song song với mặt phẳng (ABCD). Vậy mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và NP cùng song song với mặt phẳng (ABCD) nên mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABCD). Lập lập tương tự ta có mặt phẳng (MPQ) cũng song song với mặt phẳng (ABCD).

Hai mặt phẳng (MNP) và (MPQ) cùng đi qua điểm M và cùng song song với mặt phẳng (ABCD) nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức là bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Lời giải:

a) Giả sử mặt phẳng (R) không cắt mặt phẳng (Q), tức là hai mặt phẳng (R) và (Q) song song với nhau, mà mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q), do đó mặt phẳng (R) cũng song song với mặt phẳng (P) (hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau), mẫu thuẫn với giả thiết (R) cắt (P) theo giao tuyến a.

Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q).

b) Vì a và b cùng thuộc mặt phẳng (R) nên hai đường thẳng a và b không thể chéo nhau.

Hai đường thẳng a và b không có điểm chung, vì nếu chúng có điểm chung A thì hai mặt phẳng (P) và (Q) cũng có điểm chung A (mâu thuẫn với giả thiết (P) và (Q) song song với nhau). Vậy hai đường thẳng a và b không thể cắt nhau.

Lời giải:

Trong Ví dụ 2, ta đã chứng minh được hai mặt phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song với nhau. Vì vậy hai giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) với hai mặt phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song với nhau. Ta có (EMQ) ∩ (MNPQ) = MQ. Trong mặt phẳng (MEQ), qua E vẽ đường thẳng song song với MQ cắt CD tại H (EH // MQ // AD) thì đường thẳng EH là giao tuyến của hai mặt phẳng (EMQ) và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

a) Mặt phẳng (ACC*') lần lượt cắt hai mặt phẳng song song (Q) và (R) theo hai giao tuyến BD và CC'. Do đó, BD // CC'*.

Mặt phẳng AC*'A'* lần lượt cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến AA*'* và B*'D. Do đó, B'D // AA'*.

b) Xét tam giác ACC*'* có BD // CC*'*, theo định lý Thalés trong tam giác ta suy ra $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC'}}$

Tương tự, xét tam giác AA*'C'* có B*'D // AA'*, ta suy ra $\frac{{AD}}{{DC'}} = \frac{{A'B'}}{{B'C'}}$.

Vậy $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC'}} = \frac{{A'B'}}{{B'C'}}$.

Lời giải:

Theo định lí Thalès trong không gian, ta có $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}$.

Suy ra $B'C' = \frac{{A'B'.BC}}{{AB}} = \frac{{3.4}}{2} = 6$ (cm).

Lời giải:

Các hình ảnh đã cho trên đều có chứa hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song, các mặt còn lại chứa các cạnh đối diện song song với nhau.

Lời giải:

Xét mặt bên A$_{1}$A*'$_{1}$A'$_{2}$A$_{2}$, theo lí thuyết, ta có A$_{1}$A'$_{1}$ // A$_{2}$A'$_{2}$, lại có mặt phẳng (A$_{1}$A'$_{1}$A'$_{2}$A$_{2}$) lần lượt cắt hai mặt phẳng song song (α) và (α') theo hai giao tuyến A$_{1}$A$_{2}$ và A'$_{1}$A'$_{2}$ nên A$_{1}$A$_{2}$ // A'$_{1}$A'$_{2}$. Do vậy, tứ giác A$_{1}$A'$_{1}$A'$_{2}$A$_{2}$ là hình bình hành (các cặp cạnh đối diện song song). Từ đó suy ra A$_{1}$A'$_{1}$ // A$_{2}$A'$_{2}$ và A$_{1}$A'$_{1}$ = A$_{2}$A'*$_{2}$.

Chứng minh tương tự, ta có các mặt bên khác của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.

Lời giải:

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABC.A*'B'C'* đôi một song song nên AA*', BB', CC'* đôi một song song (1).

Ta có BB*'* // CC*'* nên BCC*'B'* là hình thang.

Vì M và M*'* lần lượt là trung điểm của cạnh BC và B*'C'* nên MM*'* là đường trung bình của hình thang BCC*'B', suy ra MM', BB', CC'* đôi một song song (2).

Từ (1) và (2) suy ra MM*', AA', CC'* đôi một song song.

Mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (A*'B'C') nên mặt phẳng (AMC) song song với mặt phẳng (A'M'C'*).

Do vậy, AMC.A*'M'C'* là hình lăng trụ.

Lời giải:

Hình ảnh thứ hai từ trái sang phải trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Lời giải:

Hình hộp ABCD.A*'B'C'D'* có hai đáy ABCD và A*'B'C'D'* là các hình bình hành.

Ta có: AD // BC (do ABCD là hình bình hành), do đó AD // (BCC*'B'*).

Lại có: AA*'* // BB*'* (các cạnh bên của hình hộp), do đó AA*'* // (BCC*'B'*).

Mặt phẳng (ADD*'A') chứa hai đường thẳng cắt nhau AD và AA'* cùng song song với mặt phẳng (BCC*'B') nên hai mặt phẳng (ADD'A') và (BCC'B'*) song song với nhau.

Lời giải:

Vì bể nước có dạng hình hộp nên nắp bể và đáy bể nằm trong hai mặt phẳng song song. Khi mặt nước yên lặng thì mặt nước, nắp bể và đáy bể nằm trong ba mặt phẳng đôi một song song. Khi đó, thanh gỗ và chiều cao của bể đóng vai trò như hai đường thẳng phân biệt cắt ba mặt phẳng đôi một song song trên. Vậy áp dụng định lí Thalés trong không gian, ta khẳng định được tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể chính là tính tỉ lệ giữa độ dài của phần thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ.

Lời giải:

a) Mệnh đề a) là mệnh đề sai vì hai mặt phẳng (P) và (Q) có thể cắt nhau theo giao tuyến b song song với đường thẳng a nằm trong (P).

b) Mệnh đề b) là mệnh đề sai vì thiếu điều kiện hai đường thẳng đó phải cắt nhau.

c) Mệnh đề c) là mệnh đề đúng vì (P) và (Q) là hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba là mặt phẳng (R) thì (P) và (Q) song song với nhau.

d) Mệnh đề d) là mệnh đề sai vì (P) và (Q) cắt (R) thì (P) và (Q) có thể cắt nhau.

Lời giải:

Vì ABC.A*'B'C'* là hình hình lăng trụ tam giác nên ABB*'A'* và BCC*'B'* là các hình bình hành hay cũng là các hình thang.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA*', BB'* nên MN là đường trung bình của hình thang ABB*'A'*, do đó MN // AB, suy ra MN song song với mặt phẳng (ABC).

Tương tự, ta chứng minh được NP // BC, suy ra NP song song với mặt phẳng (ABC).

Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và NP cùng song song với mặt phẳng (ABC) nên hai mặt phẳng (MNP) và (ABC) song song với nhau.

Lời giải:

Vì m // n nên đường thẳng m song song với mp(C, n).

Vì ABCD là hình thang có hai đáy là AB và CD nên AB // CD, suy ra đường thẳng AB song song với mp(C, n).

mp(B, m) chứa hai đường thẳng cắt nhau m và AB cùng song song với mp(C, n) nên mp(B, m) và mp(C, n) song song với nhau.

Lời giải:

Vì hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với mặt phẳng (ABC) nên (P) // (Q), do đó ba mặt phẳng (ABC), (P) và (Q) đôi một song song. Theo định lí Thalés trong không gian, ta suy ra $\frac{{{A_2}{A_1}}}{{A{A_1}}} = \frac{{{B_2}{B_1}}}{{B{B_1}}} = \frac{{{C_2}{C_1}}}{{C{C_1}}}$.

Mà AA$_{1}$ = A$_{1}$A$_{2}$ nên $\frac{{{A_2}{A_1}}}{{A{A_1}}} = 1$, suy ra $\frac{{{A_2}{A_1}}}{{A{A_1}}} = \frac{{{B_2}{B_1}}}{{B{B_1}}} = \frac{{{C_2}{C_1}}}{{C{C_1}}} = 1$, do đó BB$_{1}$ = B$_{1}$B$_{2}$ và CC$_{1}$ = C$_{1}$C$_{2}$.

Sử dụng định lí Thalés ta cũng chứng minh được $\frac{{{A_2}S}}{{{A_2}{A_1}}} = \frac{{{B_2}S}}{{{B_2}{B_1}}} = \frac{{{C_2}S}}{{{C_2}{C_1}}}$.

Mà A$_{1}$A$_{2}$ = A$_{2}$S nên $\frac{{{A_2}S}}{{{A_2}{A_1}}} = 1$, suy ra $\frac{{{A_2}S}}{{{A_2}{A_1}}} = \frac{{{B_2}S}}{{{B_2}{B_1}}} = \frac{{{C_2}S}}{{{C_2}{C_1}}} = 1$, do đó B$_{1}$B$_{2}$ = B$_{2}$S và C$_{1}$C$_{2}$ = C$_{2}$S.

Vậy BB$_{1}$ = B$_{1}$B$_{2}$ = B$_{2}$S và CC$_{1}$ = C$_{1}$C$_{2}$ = C$_{2}$S.

Lời giải:

Vì ABCD.A*'B'C'D'* là hình lăng trụ tứ giác nên hai mặt phẳng (ABCD) và (A*'B'C'D') song song với nhau, mà mặt phẳng (A"B"C"D") song song với mặt phẳng (A'B'C'D'). Do đó, hai mặt phẳng (ABCD) và (A"B"C"D"*) song song với nhau (1).

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ đôi một song song với nhau nên AA*", BB", CC", DD"* đôi một song song (2).

Từ (1) và (2) suy ra ABCD.A*"B"C"D"* là hình lăng trụ tứ giác. Vậy hình tạo bởi các điểm A, B, C, D, A*", B", C", D"* là hình lăng trụ tứ giác.

Lời giải:

a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và B*'C'. Khi đó ta có MN là đường trung bình của hình bình hành BCC'B', suy ra MN // BB'* và MN = BB*'*.

Do ABC.A*'B'C'* là hình lăng trụ tam giác nên AA*'* // BB*'* và AA*'* = BB*'*.

Từ đó suy ra MN // AA*'* và MN = AA*'. Do đó, AMNA'* là hình bình hành.

Suy ra AM // A*'N và AM = A'*N.

Vì G và G*'* lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A*'B'C'* nên $\frac{{A'G'}}{{A'N}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}$.

Do đó, AG = A*'G'* và AG // A*'G'. Từ đó suy ra tứ giác AGG'A'* là hình bình hành.

b) Vì tứ giác AGG*'A'* là hình bình hành nên AA*'* // GG*'*.

Tương tự ta chứng minh được CGG*'C'* là hình bình hành nên CC*'* // GG*'*.

Do đó, ba đường thẳng AA*', GG'* và CC*'* đôi một song song.

Lại có hai mặt phẳng (AGC) và (A*'G'C'*) song song với nhau.

Vậy AGC.A*'G'C'* là hình lăng trụ tam giác.

Lời giải:

Vì ABCD.A*'B'C'D'* là hình hộp nên các cạnh bên AA*', BB', CC', DD'* đôi một song song với nhau và (ABCD) // (A*'B'C'D'*).

Vì M thuộc AD và N thuộc BC nên MN nằm trong mặt phẳng ABCD, tương tự M*'N'* nằm trong mặt phẳng (A*'B'C'D'). Do đó, (ABNM) // (A'B'N'M'*) (1).

Ta có: (ABB*'A') // (MNN'M') và mặt phẳng (ABCD) cắt (ABB'A') và (MNN'M'*) lần lượt theo các giao tuyến AB và MN, do đó AB // MN.

Tương tự, ta chứng minh được: M*'N'* // A*'B'; NN'* // BB*'; MM'* // AA*'*.

Mà AA*'* // BB*'* do đó bốn đường thẳng AA*', BB', NN', MM'* đôi một song song với nhau (2).

Từ (1) và (2) suy ra ABNM.A*'B'N'M'* là hình lăng trụ.

Tứ giác ABNM có AB // MN và AM // BN (do AD // BC) nên ABNM là hình bình hành.

Tứ giác A'B'N'M' có A'B' // M'N' và A'M' // B'N' (do A'D' // B'C') nên A'B'N'M' là hình bình hành.

Hình lăng trụ ABNM.A*'B'N'M'* có đáy là hình bình hành nên nó là hình hộp.

Lời giải:

Các bậc cầu thang là các mặt phẳng song song với nhau từng đôi một, mặt phẳng tường cắt mỗi mặt phẳng là các bậc của cầu thang theo các giao tuyến là phần mép của mỗi bậc cầu thang nằm trên tường nên các giao tuyến này song song với nhau.