Giải SGK Toán 11 CTST Bài ôn tập cuối chương III có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là B

Ta có: $\lim \frac{n+3}{{n}^{2}}=\lim \frac{\frac{1}{n}+\frac{3}{{n}^{2}}}{1}=0$

Đáp án đúng là C

Cấp số nhân lùi vô hạn đã cho có số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công bội $q=\frac{1}{4}$ có tổng bằng:

$M=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+...+\frac{1}{{4}^{n}}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\underset{x\rightarrow 3}{\lim }\frac{{x}^{2}-9}{x-3}=\underset{x\rightarrow 3}{\lim }\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}=\underset{x\rightarrow 3}{\lim }(x+3)=6$.

Đáp án đúng là D

Ta có: $\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }({x}^{2}+2x+m)=m+8$

$\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }3=3$

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì m + 8 = 3 ⇔ m = – 5.

Vậy với m = – 5 thì hàm số đã cho liên tục tại x = 2.

Đáp án đúng là A

Ta có: $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x}=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{1}=2$.

a) $\lim \frac{3n-1}{n}=\lim \frac{3-\frac{1}{n}}{1}=3$.

b) $\lim \frac{\sqrt{{n}^{2}+2}}{n}=\lim \frac{\sqrt{1+\frac{2}{{n}^{2}}}}{1}=1$.

c) $\lim \frac{2}{3n+1}=\lim \frac{\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}=0$.

d) $\lim \frac{(n+1)(2n+2)}{{n}^{2}}=\lim \frac{2{n}^{2}+4n+2}{{n}^{2}}=\lim \frac{2+\frac{4}{n}+\frac{2}{{n}^{2}}}{1}=2$.

Ta có:

Diện tích tam giác H$_{1}$ = S và chu vi tam giác H$_{1}$ = 3a;

Diện tích tam giác H$_{2}$ = $\frac{1}{4}$S và chu vi tam giác H$_{2}$ = $\frac{1}{2}$ 3a;

Diện tích tam giác H$_{2}$ = ${(\frac{1}{4})}^{2}$S và chu vi tam giác H$_{3}$ = ${(\frac{1}{2})}^{2}$3a;

...

Diện tích tam giác H$_{n}$ = ${(\frac{1}{4})}^{n-1}$S và chu vi tam giác H$_{2}$ = ${(\frac{1}{2})}^{n-1}$3a;

Khi đó:

Diện tích của dãy các tam giác H$_{1}$; H$_{2}$; H$_{3}$; ...; H$_{4}$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu tiên u$_{1}$ = S và công bội $q=\frac{1}{4}$ có tổng bằng $S+\frac{1}{4}S+{(\frac{1}{4})}^{2}S+...+{(\frac{1}{4})}^{n-1}S+...=\frac{S}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}S$.

Diện tích của dãy các tam giác H$_{1}$; H$_{2}$; H$_{3}$; ...; H$_{4}$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu tiên u$_{1}$ = 3a và công bội $q=\frac{1}{2}$ có tổng bằng

$3a+\frac{1}{2}.3a+{(\frac{1}{2})}^{2}.3a+{(\frac{1}{2})}^{3}.3a+...+{(\frac{1}{2})}^{n-1}3a+...=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=6a$.

a) $\underset{x\rightarrow -1}{\lim }(3{x}^{2}-x+2)=6$.

b) $\underset{x\rightarrow 4}{\lim }\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\underset{x\rightarrow 4}{\lim }\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=\underset{x\rightarrow 4}{\lim }(x+4)=8$.

c) $\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{(2-x)(3+\sqrt{x+7})}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{\lim }(-3-\sqrt{x+7})=-6$.

a) $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{-x+2}{x+1}=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{-1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=-1$.

b) $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{x-2}{{x}^{2}}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}}{1}=0$.

a) $\underset{x\rightarrow {4}^{+}}{\lim }\frac{1}{x-4}=+\infty$.

b) $\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }\frac{x}{2-x}=\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }x.\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }\frac{1}{2-x}=+\infty$.

+) Với x ∈ (0; + ∞) ta có $f(x)=\sqrt{x+4}$ liên tục.

+) Với x ∈ (– ∞; 0) ta có $f(x)=2\cos x$ liên tục.

+) Tại x = 0, ta có:

$\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\sqrt{x+4}=2$;

$\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }(2\cos x)=2$.

Suy ra $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }f(x)=2=f(0)$

Do đó hàm số liên tục tại x = 0.

Vậy hàm số liên tục trên ℝ.

+) Với mọi x ≠ 5 thì $f(x)=\frac{{x}^{2}-25}{x-5}$ liên tục.

+) Tại x = 5, ta có:

$\underset{x\rightarrow 5}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 5}{\lim }\frac{{x}^{2}-25}{x-5}=\underset{x\rightarrow 5}{\lim }\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=\underset{x\rightarrow 5}{\lim }(x+5)=10$.

$f(5)=a$

Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số phải liên tục tại x = 5 khi a = 10.

+) Với 0 ≤ t < 60 thì T(t) = 10 + 2t là hàm số liên tục.

+) Với 60 < t ≤ 100 thì T(t) = k – 3t là hàm số liên tục.

+) Tại t = 60, ta có:

$\underset{t\rightarrow {60}^{-}}{\lim }T(t)=\underset{t\rightarrow {60}^{-}}{\lim }(10+2t)=130$

$\underset{t\rightarrow {60}^{+}}{\lim }T(t)=\underset{t\rightarrow {60}^{-}}{\lim }(k-3t)=k-180$

Để hàm số liên tục trên tập xác định [0; 100] thì hàm số liên tục tại x = 60

⇔ k – 180 = 130

⇔ k = 240.