Giải SGK Toán 11 CTST Bài ôn tập cuối chương I có đáp án

Mỗi vòng kim đồng hồ quay là: 2π nên góc lượng giác quét được khi quay $3\frac{1}{5}$ vòng là $3\frac{1}{5}.2π=3.2π+\frac{2π}{5}$ rad.

Khi đó điểm biểu diễn cho các góc lượng giác này có công thức số đo tổng quát là $\frac{2π}{5}+k2π,k\in ℤ$.

Xét $\frac{16π}{5}=\frac{2π}{5}+k2π\Leftrightarrow k=\frac{7}{5}\notin ℤ$. Do đó góc này không tương ứng với góc đã cho.

Xét ${(\frac{16}{5})}^{ο}=\frac{π.\frac{16}{5}}{180}=\frac{4π}{225}=\frac{2π}{5}+k2π\Leftrightarrow k=-\frac{43}{225}\notin ℤ$. Do đó góc này không tương ứng với góc đã cho.

Xét $1\ 152^{\circ}=\frac{π.1\ 152}{180}=\frac{32π}{5}=\frac{2π}{5}+k2π\Leftrightarrow k=3\in ℤ$. Do đó góc này tương ứng với góc đã cho.

Xét $1\ 152π=\frac{2π}{5}+k2π\Leftrightarrow k=\frac{2879}{5}\notin ℤ$. Do đó góc này không tương ứng với góc đã cho.

Đáp án đúng là: A

+) Xét β = – α, khi đó:

cosβ = cos(– α) = cosα;

sinβ = sin(– α) = sinα hay sinα = – sinβ .

Do đó A thỏa mãn.

+) Xét β = π – α, khi đó:

cosβ = cos(π – α) = – cosα;

sinβ = sin(π – α) = sinα.

Do đó B không thỏa mãn.

+) Xét β = π + α, khi đó:

cosβ = cos(π + α) = – cosα;

sinβ = sin(π + α) = – sinα.

Do đó C không thỏa mãn.

+) Xét , khi đó:

cosβ = cos() = – sinα;

sinβ = sin() = cosα.

- Do đó D không thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Ta có tập xác định của hàm số y = cosx là ℝ.

Nếu với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và y(– x) = cos(– x) = cosx = y(x).

Vậy hàm số y = cosx là hàm số chẵn.

$\text{cos}2x=\text{cos}(x+\frac{π}{3})$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}2x=x+\frac{π}{3}+k2π \\ 2x=-x-\frac{π}{3}+k2π\end{matrix},k\in ℤ$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=\frac{π}{3}+k2π \\ x=-\frac{π}{9}+k\frac{2π}{3}\end{matrix},k\in ℤ$

+) Với $x=\frac{π}{3}+k2π,k\in ℤ$ đạt giá trị âm lớn nhất khi k = – 1 và bằng: $\frac{π}{3}-2π=-\frac{5π}{3}$.

+) Với $x=-\frac{π}{9}+k\frac{2π}{3},k\in ℤ$ đạt giá trị âm lớn nhất khi k = 0 và bằng: $-\frac{π}{9}+0.\frac{2π}{9}=-\frac{π}{9}$.

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là $-\frac{π}{9}$.

Xét phương trình tanx = 3

⇔ x ≈ 1,25 + kπ, k ∈ ℤ

Xét: $-\frac{π}{2}<x<\frac{7π}{3}\Leftrightarrow -\frac{π}{2}<1{,}25+kπ<\frac{7π}{3}\Leftrightarrow -0{,}9<k<1{,}94$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Vậy có 2 nghiệm của phương trình đã cho nằm trong khoảng $(-\frac{π}{2};\frac{7π}{3})$.

Vì $-1\le sin\frac{π}{12}(t-9)\le 1$ nên $29+3.(-1)\le 29+3sin\frac{π}{12}(t-9)\le 29+3.1$

$\Leftrightarrow 26\le 29+3sin\frac{π}{12}(t-9)\le 32$

$\Leftrightarrow 26\le h(t)\le 32$

Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 26°C khi $29+3sin\frac{π}{12}(t-9)=26\Leftrightarrow sin\frac{π}{12}(t-9)=-1$

$\Leftrightarrow sin\frac{π}{12}(t-9)=\sin (-\frac{π}{2})$

$\Leftrightarrow \frac{π}{12}(t-9)=-\frac{π}{2}+k2π,k\in ℤ$

$\Leftrightarrow t=3+24k,k\in ℤ$

Vì vậy vào thời điểm 3 giờ trong ngày thì nhiều độ thấp nhất của thành phố là 26°C.

Tốc độ góc của quạt trần là: $\frac{45.2π}{60}=\frac{3π}{2}$(rad/s).

Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo là: $\frac{3π}{2}.3=\frac{9π}{2}$rad.

a) sinα = $-\sqrt{1-{\text{cos}}^{2}α}=-\sqrt{1-{(\frac{1}{3})}^{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (vì $-\frac{π}{2}<α<0$)

b) sin2α = 2sinα.cosα = $2.\frac{1}{3}(-\frac{2\sqrt{2}}{3})=-\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

c) $\text{cos}(α+\frac{π}{3})=\text{cos}α.\text{cos}\frac{π}{3}-\sin α\sin \frac{π}{3}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}-(\frac{-2\sqrt{2}}{3}).\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$.

a) sin(α + β)sin(α – β) = sin$^{2}$α – sin$^{2}$β

Ta có: sin(α + β)sin(α – β) = $\frac{1}{2}[\text{cos}(α+β-α+β)-\text{cos}(α+β+α-β)]$

$=\frac{1}{2}(\text{cos2}β-\text{cos2}α)$
$=\frac{1}{2}(1-2{\text{sin}}^{2}β-1+2{\sin }^{2}α)$

$={\sin }^{2}α-{\text{sin}}^{2}β$.

b) Ta có: cos$^{4}$α – cos$^{4 (α-\frac{π}{2})}$ = cos$^{4}$α – sin$^{4}$α = (cos$^{2}$α – sin$^{2}$α)(cos$^{2}$α + sin$^{2}$α)

= cos$^{2}$α – sin$^{2}$α = cos2α.

Xét phương trình $\sin (x+\frac{π}{6})-\sin 2x=0$

$\Leftrightarrow \sin 2x=\sin (x+\frac{π}{6})$
$\Leftrightarrow [\begin{matrix}2x=x+\frac{π}{6}+k2π \\ 2x=π-x-\frac{π}{6}+k2π\end{matrix},k\in ℤ$
$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=\frac{π}{6}+k2π \\ x=\frac{5π}{18}+k\frac{2π}{3}\end{matrix},k\in ℤ$

Với họ nghiệm $x=\frac{π}{6}+k2π$ có nghiệm dương bé nhất là $x=\frac{π}{6}$ khi k = 0.

Với họ nghiệm $x=\frac{5π}{18}+k\frac{2π}{3}$ có nghiệm dương bé nhất là $x=\frac{5π}{18}$ khi k = 0.

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình đã cho là $x=\frac{π}{6}$.

a) sin2x + cos3x = 0

⇔ sin2x = sin $(\frac{π}{2}-3x)$

⇔ $[\begin{matrix}2x=\frac{π}{2}-3x+k2π \\ 2x=π-\frac{π}{2}+3x+k2π\end{matrix},k\in ℤ$

⇔ $[\begin{matrix}x=\frac{π}{10}+k\frac{2π}{5} \\ x=-\frac{π}{2}+k2π\end{matrix},k\in ℤ$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\{\frac{π}{10}+k\frac{2π}{5};-\frac{π}{2}+k2π,k\in ℤ\}$.

b) sinxcosx = $\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}2x=\frac{π}{4}+k2π \\ 2x=\frac{3π}{4}+k2π\end{matrix},k\in ℤ$
$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=\frac{π}{8}+kπ \\ x=\frac{3π}{8}+kπ\end{matrix},k\in ℤ$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{\frac{π}{8}+kπ;\frac{3π}{8}+kπ,k\in ℤ\}$.

c) sinx + sin2x = 0.

⇔ sinx = – sin2x

⇔ sinx = sin(– 2x)

⇔ $[\begin{matrix}x=-2x+k2π \\ x=π+2x+k2π\end{matrix},k\in ℤ$

⇔ $[\begin{matrix}x=k\frac{2π}{3} \\ x=-π+k2π\end{matrix},k\in ℤ$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{k\frac{2π}{3};-π+k2π,k\in ℤ\}$.

a) Tại thời điểm t = 2 độ sâu của nước là: h(2) = 0,8cos0,5.2 + 4 ≈ 4,43 m.

Vậy độ sâu của nước ở thời điểm t = 2 là khoảng 4,43 m.

b) Các thời điểm để mực nước sâu là 3,6m tương ứng với phương trình 0,8cos0,5t + 4 = 3,6

⇔ 0,8cos0,5t = – 0,4

⇔ cos0,5t = – 0,5

⇔ cos0,5t = $\text{cos}\frac{2π}{3}$

⇔ 0,5t = $\pm \frac{2π}{3}+k2π,k\in ℤ$

⇔ t = $\pm \frac{4π}{3}+k2π,k\in ℤ$

+) Với $t=\frac{4π}{3}+k2π,k\in ℤ$, trong 12 tiếng ta có các thời điểm

$0\le \frac{4π}{3}+k2π\le 12\Leftrightarrow -\frac{2}{3}\le k\le 1{,}24$

Mà $k\in ℤ$ nên $k\in \{0;1\}$.

+) Với $t=-\frac{4π}{3}+k2π,k\in ℤ$, trong 12 tiếng ta có các thời điểm

$0\le -\frac{4π}{3}+k2π\le 12\Leftrightarrow \frac{2}{3}\le k\le 1{,}24$

Mà $k\in ℤ$ nên k=1.

Vậy tại các thời điểm $t=\frac{4π}{3},t=\frac{10π}{3},t=\frac{2π}{3}$giờ thì tàu có thể hạ thủy.

a) Vì $-1\le \sin (1{,}5t+\frac{π}{3})\le 1$ nên $-3\le -3\sin (1{,}5t+\frac{π}{3})\le 3$

Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất khi $\sin (1{,}5t+\frac{π}{3})=-1$

$\Leftrightarrow 1{,}5t+\frac{π}{3}=-\frac{π}{2}+k2π,k\in ℤ$
$\Leftrightarrow t=-\frac{5π}{9}+k\frac{4π}{3},k\in ℤ$

Vì vậy vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất tại các thời điểm ${t}_{1}=\frac{7π}{9};\ {t}_{2}=\frac{19π}{9};\ {t}_{3}=\frac{31π}{9};\ ...$

b) Để vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s thì $v=-3\sin (1{,}5t+\frac{π}{3})=1{,}5$

$\Leftrightarrow \sin (1{,}5t+\frac{π}{3})=-\frac{1}{2}$

Dựa vào đồ thị hàm số sin ta có:

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}1{,}5t+\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}+k2π,k\in ℤ \\ 1{,}5t+\frac{π}{3}=-\frac{5π}{6}+k2π,k\in ℤ\end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}t=-\frac{π}{3}+k\frac{4π}{3},k\in ℤ \\ t=-\frac{7π}{9}+k\frac{4π}{3},k\in ℤ\end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}t\in \{π;\ \frac{7π}{3};\ ...\} \\ t=\{\frac{5π}{9};\ \frac{17π}{9};\ ...\}\end{matrix}$

Vậy sau các thời điểm ${t}_{1}=\frac{5π}{9},\ {t}_{2}=π,\ {t}_{3}=\frac{17π}{9},\ {t}_{4}=\frac{7π}{3},...$ thì vận tốc của con lắc đạt 1,5 cm/s.

a) Xét tam giác ABE vuông tại B, có:

$\tan {θ}_{s}(t)=\frac{BE}{AB}\Leftrightarrow BE=5\tan (\frac{π}{12}(t-12))$.

b) Đồ thị của hàm số ${θ}_{s}=5\tan (\frac{π}{12}(t-12))$

Dựa vào đồ thị hàm số để ${θ}_{s}=5\tan (\frac{π}{12}(t-12))<-4$ và 6 < t < 18 suy ra các thời điểm để bóng cây phủ qua hàng rào N là 6 < t< 9,4.