Giải SGK Toán 11 CTST Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị có đáp án

Trên đường tròn lượng giác, điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo t, khi đó:

- Tung độ của điểm M là sint.

- Hoành độ của điểm M là cost.

Vì tung độ và hoành độ của điểm M là xác định duy nhất nên sint và cost xác định duy nhất.

b) Nếu $t\ne \frac{π}{2}+kπ,k\in ℤ$ thì $\tan t=\frac{\sin t}{\text{cos}t}$ xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.

Nếu $t\ne kπ,k\in ℤ$ thì $\cot t=\frac{\text{cos}t}{\sin t}$ xác định duy nhất vì sint và cost xác định duy nhất.

+) Xét Hình 2a): Tập xác định của hàm số là: D = ℝ

Tại x = 1 thì y = 1$^{2}$ = 1, x = – 1 thì y = (– 1)$^{2}$ = 1.

Tại x = 2 thì y = 2$^{2}$ = 4, x = – 2 thì y = (– 2)$^{2}$ = 4.

Nhận xét: Ta thấy với x ∈ D thì – x ∈ D thì

Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.

+) Xét Hình 2b): Tại x = 1 thì y = 2.1 = 2, x = – 1 thì y = 2.(– 1) = – 2.

Tại x = 2 thì y = 2.2 = 4, x = – 2 thì y = 2.(– 2) = – 4.

Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.

+) Xét hàm số y = sinx có tập xác định D = ℝ

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và sin(– x) = – sinx. Do đó hàm số y = sinx là hàm số lẻ.

+) Xét hàm số y = cotx có tập xác định D = ℝ

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D và cot(– x) = – cotx. Do đó hàm số y = cotx là hàm số lẻ.

Ta có: cos(x + 2π) = cosx với mọi x ∈ ℝ;

cot(x + π) = cotx với mọi $x\ne kπ,k\in ℤ$.

Do đó hàm số y = cosx và y = cotx là các hàm số tuần hoàn và tuần hoàn với chu kì T lần lượt là: 2π và π.

Với $x=-π$ thì $y=s\text{in}(-π)=-\sin π=0$. Ta có điểm A’(–π; 0).

Với $x=-\frac{5π}{6}$ thì $y=s\text{in}(-\frac{5π}{6})=-\frac{1}{2}$. Ta có điểm $B'(-\frac{5π}{6};-\frac{1}{2})$.

Với $x=-\frac{2π}{3}$ thì $y=s\text{in}(-\frac{2π}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm $C'(-\frac{2π}{3};-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Với $x=-\frac{π}{2}$ thì $y=s\text{in}(-\frac{π}{2})=-1$. Ta có điểm $D'(-\frac{π}{2};-1)$.

Với $x=-\frac{π}{3}$ thì $y=s\text{in}(-\frac{π}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm $E'(-\frac{π}{3};-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Với $x=-\frac{π}{6}$ thì $y=s\text{in}(-\frac{π}{6})=-\frac{1}{2}$. Ta có điểm $F'(-\frac{π}{6};-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Với $x=0$ thì $y=s\text{in0}=0$. Ta có điểm O(0; 0).

Với $x=\frac{π}{6}$ thì $y=s\text{in}(\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$. Ta có điểm $F(\frac{π}{6};\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Với $x=\frac{π}{3}$ thì $y=s\text{in}(\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm $E(\frac{π}{3};\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Với $x=\frac{π}{2}$ thì $y=s\text{in}(\frac{π}{2})=1$. Ta có điểm $y=s\text{in}(\frac{π}{2})=1$.

Với $x=\frac{2π}{3}$ thì $y=s\text{in}(\frac{2π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta có điểm $C(\frac{2π}{3};\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Với $x=\frac{5π}{6}$ thì $y=s\text{in}(\frac{5π}{6})=\frac{1}{2}$. Ta có điểm $B(\frac{5π}{6};\frac{1}{2})$.

Với $x=π$ thì $y=s\text{in}(π)=\sin π=0$. Ta có điểm A(π; 0).

Khi đó ta có bảng:

Biểu diễn các điểm trên trên mặt phẳng tọa độ ta được:

Ta có: – 1 ≤ s ≤ 1

⇔ – 1 ≤ 2cosπt ≤ 1

⇔ $-\frac{1}{2}$ ≤ cosπt ≤ $\frac{1}{2}$

⇔ $-\frac{2π}{3}$ ≤ πt ≤ $\frac{2π}{3}$

⇔ $-\frac{2}{3}$ ≤ t ≤ $\frac{2}{3}$.

Mà t ≥ 0 nên 0 ≤ t ≤ $\frac{2}{3}$.

Vậy với 0 ≤ t ≤ $\frac{2}{3}$ thì li độ s nằm trong đoạn [– 1; 1] (cm).

Cách 1: Ta có đồ thị của hàm số trên đoạn [–2π; 2π] là:

Do đó có 4 giá trị x thỏa mãn điều kiện bài toán.

a) Xét hàm số: y = 5sin$^{2}$x + 1, có:

Tập xác định D = ℝ.

Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = 5sin$^{2}$(– x) + 1 = 5sin$^{2}$ x + 1 = y(x).

Vì vậy hàm số này là hàm chẵn

b) Xét hàm số: y = cosx + sinx

Tập xác định: D = ℝ

Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = cos(– x) + sin(– x) = cosx – sin x ≠ y(x).

Vì vậy hàm số này không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.

c) y = tan2x.

Tập xác định D = $ℝ\backslash \{\frac{π}{4}+kπ,k\in ℤ\}$.

Nếu x ∈ D thì – x ∈ D có y( – x) = tan(– 2x) = – tan2x ≠ y(x).

Vì vậy hàm số này là hàm lẻ.

a) Điều kiện xác định là: $\text{cos}x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{π}{2}+k2π,k\in ℤ$

Suy ra tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{\cos x}$ là: $D=ℝ\backslash \{\frac{π}{2}+k2π,k\in ℤ\}$.

b) Điểu kiện xác định là: $\text{cos}(x+\frac{π}{4})\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{π}{4}+k2π,k\in ℤ$

Suy ra tập xác định của hàm số $y=\tan (x+\frac{π}{4})$ là: $D=ℝ\backslash \{\frac{π}{4}+k2π,k\in ℤ\}$.

c) Điều kiện xác định là: $2-{\sin }^{2}x\ne 0$

Vì $-1\le x\le 1$ nên $2-{\sin }^{2}x\ne 0$ với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{2-{\sin }^{2}x}$ là: D = ℝ.

Ta có: – 1 ≤ cosx ≤ 1 khi đó – 1 ≤ 2cosx + 1 ≤ 3.

Vậy tập giá trị của hàm số là D = [– 1; 3].

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [– π; π] là:

Ta thấy đồ thị hàm số giao với đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ tại 2 điểm do đó phương trình sinx = $\frac{1}{2}$ có hai giá trị x thỏa mãn.

a) Vì – 1 ≤ sin α ≤ 1 nên – 0,3 ≤ 0,3sin α ≤ 0,3.

Do đó giá trị nhỏ nhất của v$_{x}$ là – 0,3, giá trị lớn nhất của v$_{x}$ là 0,3.

b) Ta có đồ thị hàm số:

Với góc $α\in (0;\frac{π}{2})$ hoặc $α\in (\frac{3π}{2};2π)$ thì v$_{x}$ tăng.

a) Điểm G là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo α. Khi đó tọa độ điểm G(3cosα; 3sinα).

Chiều cao của gàu ở vị trí G đến mặt nước là: 3 + 3sinα (m).

b) Khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m khi 3 + 3sinα = 1,5 ⇔ sinα = $-\frac{1}{2}$.

Một vòng quay là 30 giây và t nằm trong khoảng từ 0 đến 1 phút do đó t ∈ [0; 2π].

a) Xét tam giác AHT vuông tại H có:

$\cot α=\frac{TH}{AH}\Leftrightarrow TH=AH.\cot α=500.\cot α$ (m).

Vậy trên trục T$_{x}$ tọa độ ${x}_{H}=500.\cot α$.

b) Ta có đồ thị của hàm số y = cotα trong khoảng $\frac{π}{6}<α<\frac{2π}{3}$ là:

Khi đó $-\frac{1}{\sqrt{3}}<\cot α<\sqrt{3}$

$\Rightarrow -\frac{500}{\sqrt{3}}<500\cot α<500\sqrt{3}$ hay $-\frac{500}{\sqrt{3}}<{x}_{H}<500\sqrt{3}\Leftrightarrow -288{,}7<{x}_{H}<866$.