Giải SGK Toán 11 CTST Bài 3. Hàm số liên tục có đáp án

+) Bãi xe A:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, theo thời gian gửi x (giờ) tăng thì phí gửi xe tăng dần.

+) Bãi xe B:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, theo thời gian gửi x (giờ) tăng thì phí gửi xe tăng dần theo nấc.

+) Tại x$_{0}$ = 1 ta có:

Dãy (x$_{n}$) bất kì thỏa mãn x$_{n}$ < 1 và x$_{n}$ → 1 thì f(x$_{n}$) = 1 khi đó $\underset{{x}_{n}\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f({x}_{n})=1$.

Dãy (x$_{n}$) bất kì thỏa mãn 1 < x$_{n}$ ≤ 2 và x$_{n}$ → 1 thì f(x$_{n}$) = 1 + x$_{n}$ khi đó $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f({x}_{n})=2$.

Suy ra $\underset{{x}_{n}\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f({x}_{n})\ne \underset{{x}_{n}\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f({x}_{n})$. Do đó không tồn tại $\underset{x\rightarrow 1}{\lim }f(x)$.

+) Tại x$_{0}$ = 2

Dãy (x$_{n}$) bất kì thỏa mãn x$_{n}$ < 2 và x$_{n}$ → 2 thì f(x$_{n}$) = 1 + x$_{n}$ khi đó $\underset{{x}_{n}\rightarrow {2}^{-}}{\lim }f({x}_{n})=3$.

Dãy (x$_{n}$) bất kì thỏa mãn 2 < x$_{n}$ ≤ 3 và x$_{n}$ → 2 thì f(x$_{n}$) = 5 – x$_{n}$ khi đó $\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }f({x}_{n})=3$.

Suy ra $\underset{{x}_{n}\rightarrow {2}^{-}}{\lim }f({x}_{n})=\underset{{x}_{n}\rightarrow {2}^{+}}{\lim }f({x}_{n})=3$. Do đó $\underset{x\rightarrow 2}{\lim }f(x)=3$.

Ta có f(2) = 1 + 2 = 3.

Vì vậy $\underset{x\rightarrow 2}{\lim }f(x)=f(2)=3$.

a) Ta có: $\underset{x\rightarrow 3}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 3}{\lim }(1-{x}^{2})=-8$ và f(3) = 1 – 3$^{2}$ = – 8.

Do đó $\underset{x\rightarrow 3}{\lim }f(x)=f(3)=-8$

Vì vậy hàm số liên tục tại x = 3.

b) Tại x$_{0}$ = 1:

$\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }({x}^{2}+1)=2$ và $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }(-x)=-1$.

Suy ra $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)$

Do đó không tồn tại $\underset{x\rightarrow 1}{\lim }f(x)$.

Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x$_{0}$ = 1.

a) Tại mỗi điểm x$_{0}$ ∈ (1; 2) thì f(x) = x + 1

Khi đó: $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }(x+1)={x}_{0}+1$ và f(x$_{0}$) = x$_{0}$ + 1

Suy ra $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }f(x)=f({x}_{0})={x}_{0}+1$

Vì vậy hàm số liên tục tại x$_{0}$.

b) Tại x$_{0}$ = 2 ta có f(x) = x + 1, khi đó:

$\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }(1+x)=3$

f(2) = 2 + 1 = 3

Vậy $\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }f(x)=f(2)=3$.

c) +) Tại x$_{0}$ = 1 ta có f(x$_{0}$) = k;

+) Tại x$_{0}$ = 1

Dãy (x$_{n}$) bất kì thỏa mãn 1 < x$_{n}$ ≤ 2 và x$_{n}$ → 1 thì f(x$_{n}$) = x$_{n}$ + 1 khi đó $\underset{{x}_{n}\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f({x}_{n})=\underset{{x}_{n}\rightarrow {1}^{+}}{\lim }({x}_{n}+1)=2$.

Suy ra $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=2$

Để $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=k$ thì k = 2.

Đặt $y=f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$

Với mọi x$_{0}$ ∈ (1; 2), ta có:

$\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x})=\sqrt{{x}_{0}-1}+\sqrt{2-{x}_{0}}=f({x}_{0})$

Ta lại có:

$\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x})=1=f(1)$;

$\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x})=1=f(2)$.

Vậy hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ liên tục trên [1; 2].

$P(x)=\{\begin{matrix}4{,}5x\ khi\ 0<x\le 400 \\ 4x+k\ khi\ x>400\end{matrix}$

a) Với k = 0, hàm số $P(x)=\{\begin{matrix}4{,}5x\ khi\ 0<x\le 400 \\ 4x\ khi\ x>400\end{matrix}$.

+) Lấy x$_{0}$ ∈ (0; 400) khi đó P(x) = 4,5x

Suy ra $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }P(x)=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }(4{,}5x)=4{,}5{x}_{0}=P({x}_{0})$

Do đó P(x) liên tục trên (0; 400) .

+) Tại x$_{0}$ = 400, ta có:

$\underset{x\rightarrow {400}^{-}}{\lim }P(x)=\underset{x\rightarrow {400}^{-}}{\lim }(4{,}5x)=4{,}5.400=1\ 800$.

$\underset{x\rightarrow {400}^{+}}{\lim }P(x)=\underset{x\rightarrow {400}^{+}}{\lim }(4x)=4.400=1\ 600$.

Suy ra $\underset{x\rightarrow {400}^{-}}{\lim }P(x)\ne \underset{x\rightarrow {400}^{+}}{\lim }P(x)$. Do đó không tồn tại $\underset{x\rightarrow 400}{\lim }P(x)$.

Vì vậy hàm số không liên tục tại x = 400.

+) Lấy x$_{0}$ ∈ (400; +∞) khi đó P(x) = 4x

Suy ra $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }P(x)=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }(4x)=4{x}_{0}=P({x}_{0})$

Do đó P(x) liên tục trên (400; +∞) .

Vậy hàm số liên tục trên (0; 400) và (400; +∞) .

b) Để hàm số P(x) liên tục trên (0; +∞) thì P(x) phải liên tục trên x$_{0}$ = 400.

Do đó $\underset{x\rightarrow {400}^{-}}{\lim }P(x)=\underset{x\rightarrow {400}^{+}}{\lim }P(x)\Leftrightarrow 1\ 800=4.400+k\Leftrightarrow k=200$.

Vậy với k = 200 thì hàm số liên tục trên (0; +∞).

a) +) Xét hàm số: $y=f(x)=\frac{1}{x-1}$

Điều kiện xác định của hàm số là x ≠ 1.

Vậy tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {1}.

+) Xét hàm số: $y=g(x)=\sqrt{4-x}$

Điều kiện xác định của hàm số là: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.

Vậy tập xác định của hàm số là: D = (– ∞; 4].

b) +) Xét hàm số f(x):

Với x$_{0}$ ∈ ( – ∞; 1) thì $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-{x}_{0}}=f({x}_{0})$.

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên ( – ∞; 1).

Với x$_{0}$ ∈ ( 1; + ∞) thì $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-{x}_{0}}=f({x}_{0})$.

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên ( 1; + ∞).

+) Xét hàm số g(x):

Với x$_{0}$ ∈ ( – ∞; 4) thì $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }g(x)=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\sqrt{4-x}=\sqrt{4-{x}_{0}}=g({x}_{0})$.

Tại x$_{0}$ = 4 thì $\underset{x\rightarrow {4}^{-}}{\lim }g(x)=\underset{x\rightarrow {4}^{-}}{\lim }\sqrt{4-x}=0=g(4)$.

Vậy hàm số liên tục trên (– ∞; 4].

Đặt $y=f(x)=\sqrt{{x}^{2}-4}$

Tập xác định của hàm số D = (– ∞; 2) ∪ (2; +∞).

Với x$_{0}$ ∈ ( – ∞; 2) thì $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\sqrt{{x}^{2}-4}=\sqrt{{x}_{0}^{2}-4}=f({x}_{0})$

Suy ra hàm số liên tục trên ( – ∞; 2).

Với x$_{0}$ ∈ ( 2; +∞) thì $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\sqrt{{x}^{2}-4}=\sqrt{{x}_{0}^{2}-4}=f({x}_{0})$

Suy ra hàm số liên tục trên ( 2; +∞).

+) Với x ≠ 0 thì $f(x)=\frac{{x}^{2}-2x}{x}$ liên tục trên ( – ∞; 0) và (0; + ∞).

+) Với x = 0 thì

Ta có: $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{{x}^{2}-2x}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{x(x-2)}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }(x-2)=-2$ và f(0) = a.

Để y = f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 0 do đó a = – 2.

+) Với x$_{0}$ ∈ (0; 0,7) hàm số f(x) = 10 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (0; 0,7).

+) Với x$_{0}$ ∈ (0,7; 20) hàm số f(x) = 10 000 + (x – 0,7).14 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (0,7; 20).

+) Với x$_{0}$ ∈ (20; +∞) hàm số f(x) = 280 200 + (x – 20).12 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (20; +∞).

+) Tại x$_{0}$ = 0,7 ta có:

$\underset{x\rightarrow 0,{7}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 0,{7}^{-}}{\lim }10\ 000=10\ 000$;

$\underset{x\rightarrow 0,{7}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 0,{7}^{+}}{\lim }[10\ 000+(x-0{,}7).14\ 000]=10\ 000$.

Suy ra $\underset{x\rightarrow 0,{7}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 0,{7}^{+}}{\lim }f(x)=10\ 000$. Do đó tồn tại $\underset{x\rightarrow 0{,}7}{\lim }f(x)=10\ 000$.

Mà f(0,7) = 10 000 nên $\underset{x\rightarrow 0{,}7}{\lim }f(x)=f(0{,}7)=10\ 000$.

Vì vậy hàm số liên tục tại x$_{0}$ = 0,7.

+) Tại x$_{0}$ = 20 ta có:

$\underset{x\rightarrow {20}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {20}^{-}}{\lim }[10\ 000+(x-0{,}7).14\ 000]=280\ 200$.

$\underset{x\rightarrow {20}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {20}^{+}}{\lim }[280\ 200+(x-20).12\ 000]=280\ 200$.

Suy ra $\underset{x\rightarrow {20}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {20}^{+}}{\lim }f(x)=280\ 200$. Do đó tồn tại $\underset{x\rightarrow 20}{\lim }f(x)=280\ 200$.

Mà f(20) = 280 200 nên $\underset{x\rightarrow 20}{\lim }f(x)=f(20)=280\ 200$.

Vì vậy hàm số liên tục tại x = 20.

Vậy hàm số T(x) liên tục trên ℝ.

Xét hàm số $y=h(x)=f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}+\sqrt{4-x}$ có tập xác định D = [4; +∞) \ {1}.

Tại x$_{0}$ = 2 ∈ D thì $\underset{x\rightarrow 2}{\lim }h(x)=\underset{x\rightarrow 2}{\lim }(\frac{1}{x-1}+\sqrt{4-x})=3=h(2)$.

Do đó hàm số liên tục tại x$_{0}$ = 2.

a) Đặt $y=f(x)=\sqrt{{x}^{2}+1}+3-x$

Tập xác định của hàm số D = ℝ.

Khì đó $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }(\sqrt{{x}^{2}+1}+3-x)=\sqrt{{x}_{0}^{2}+1}+3-{x}_{0}=f({x}_{0})$.

Vậy hàm số liên tục trên ℝ.

b) Đặt $y=g(x)=\frac{{x}^{2}-1}{x}.\text{cos}x$

Tập xác định của hàm số D = ℝ\{0}.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (0; +∞) ta thấy hàm số $y=\frac{{x}^{2}-1}{x}$ và liên tục.

Vậy hàm số đã cho liên tục trại mọi điểm x$_{0}$ ≠ 0.

a) Xét tam giác OMN vuông tại M có:

$MN=\sqrt{O{N}^{2}-O{M}^{2}}=\sqrt{1-{x}^{2}}$

$\Rightarrow NP=2\sqrt{1-{x}^{2}}$

Diện tích của tam giác ONP là:

$S(x)=\frac{1}{2}.NP.OM=\frac{1}{2}.2\sqrt{1-{x}^{2}}.x=x\sqrt{1-{x}^{2}}$

b) Trên ( – 1; 1) hàm số $y=\sqrt{1-{x}^{2}}$ xác định và liên tục và hàm số y = x liên tục.

Do đó hàm số S(x) liên tục trên (– 1; 1).

c) Ta có:

$\underset{x\rightarrow -{1}^{+}}{\text{lim}}\text{S}(x)=\underset{x\rightarrow -{1}^{+}}{\text{lim}}(\sqrt{1-{x}^{2}}.x)=0$

$\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\text{lim}}\text{S}(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\text{lim}}(\sqrt{1-{x}^{2}}.x)=0$.

a) Tại x = 0, ta có:

$\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }({x}^{2}+1)=1$;

$\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }(1-x)=1$.

Suy ra $\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }f(x)=1$. Do đó $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)=1$

Mà f(0) = 0$^{2}$ + 1 = 1 nên $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)=f(0)=1$.

Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0.

b) Tại x = 1 ta có:

$\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }({x}^{2}+2)=3$;

$\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }x=1$.

Suy ra $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)$. Do đó không tồn tại $\underset{x\rightarrow 1}{\lim }f(x)$.

Vậy hàm số không liên tục tại x = 1.

Ta có:

$\underset{x\rightarrow -2}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow -2}{\lim }\frac{{x}^{2}-4}{x+2}=\underset{x\rightarrow -2}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=\underset{x\rightarrow -2}{\lim }(x-2)=-4$.

$f(-2)=a$.

Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì hàm số liên tục tại x = – 2

$\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow -2}{\lim }f(x)=f(-2)$

$\Leftrightarrow a=-4$

Vậy a = – 4 thì hàm số đã cho liên tục trên ℝ.

a) Tập xác định của hàm số D = ℝ \ {– 2; 2}.

Hàm số $f(x)=\frac{x}{{x}^{2}-4}$ liên tục tại mọi điểm khác – 2 và 2.

b) Tập xác định của hàm số D = [– 2; 2].

Hàm số $g(x)=\sqrt{9-{x}^{2}}$liên tục trên [– 2; 2].

c) Tập xác định của hàm số: $D=ℝ\backslash \{\frac{π}{2}+kπ,k\in ℤ\}$.

Hàm số y = cosx hoặc y = tanx đều liên tục trên các khoảng xác định của nó.

Vậy h(x) = cosx + tanx liên tục trên từng khoảng xác định.

+) Xét hàm số y = f(x).g(x) có tập xác định D = [1; +∞).

Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = $\sqrt{x-1}$ đều liên tục trên D.

Vậy hàm số y = f(x).g(x) liên tục trên D.

+) Xét hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ có tập xác định D = (1; +∞).

Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = $\sqrt{x-1}$ đều liên tục trên D.

Vậy hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục trên D.

+) Với x ∈ (0; 2) ta có: C(x) = 60 000 nên hàm số liên tục trên (0; 2).

+) Với x ∈ (2; 4) ta có: C(x) = 100 000 nên hàm số liên tục trên (2; 4).

+) Với x ∈ (4; 24) ta có: C(x) = 200 000 nên hàm số liên tục trên (4; 24).

+) Tại x = 2 ta có: $\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }C(x)=60\ 000\ne 100\ 000=\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }C(x)$. Suy ra không tồn tại $\underset{x\rightarrow 2}{\lim }C(x)$.

+) Tại x = 4 ta có: $\underset{x\rightarrow {4}^{-}}{\lim }C(x)=100\ 000\ne 200\ 000=\underset{x\rightarrow {4}^{+}}{\lim }C(x)$. Suy ra không tồn tại $\underset{x\rightarrow 4}{\lim }C(x)$.

+) Ta có: $y=\frac{GMr}{{R}^{3}}$ liên tục trên (0; R) và $y=\frac{GM}{{r}^{2}}$ liên tục trên (R; + ∞).

+) Tại r = R, ta có:

$\underset{r\rightarrow {R}^{-}}{\lim }F(r)=\underset{r\rightarrow {R}^{-}}{\lim }\frac{GMr}{{R}^{3}}=\frac{GM}{{R}^{2}}$

$\underset{r\rightarrow {R}^{+}}{\lim }F(r)=\underset{r\rightarrow {R}^{-}}{\lim }\frac{GM}{{r}^{2}}=\frac{GM}{{R}^{2}}$

Suy ra $\underset{r\rightarrow {R}^{-}}{\lim }F(r)=\underset{r\rightarrow {R}^{+}}{\lim }F(r)$. Do đó $\underset{r\rightarrow R}{\lim }F(r)=\frac{GM}{{R}^{2}}$

Mà $F(R)=\frac{GM}{{R}^{2}}$ nên $\underset{r\rightarrow R}{\lim }F(r)=F(R)=\frac{GM}{{R}^{2}}$

Suy ra hàm số liên tục tại x = R.

Vậy hàm số liên tục trên (0; +∞).