Giải SGK Toán 11 CTST Bài 3. Cấp số nhân có đáp án

Ta có: ${u}_{1}=120$

Vì độ cao sau bằng một nửa độ cao của lần rơi trước đó nên ta có:

${u}_{2}=\frac{1}{2}{u}_{1}=\frac{1}{2}.120=60$;

${u}_{3}=\frac{1}{2}{u}_{2}=\frac{1}{2}.60=30$;

${u}_{4}=\frac{1}{2}{u}_{3}=\frac{1}{2}.30=15$;

${u}_{5}=\frac{1}{2}{u}_{4}=\frac{1}{2}.15=7{,}5$.

Điểm đặc biệt của dãy số là:

Dãy số giảm dần và mỗi số hạng sau đều bằng tích của số hạng ngay trước nó với một số q không đổi là $q=\frac{1}{2}$.

a) Ta có: 2 : 4 = $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$; 4 : 8 = $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$; 8 : 16 = $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$; 16 : 32 = $\frac{16}{32}=\frac{1}{2}$; 32 : 64 = $\frac{32}{64}=\frac{1}{2}$.

b) Điểm giống nhau của các dãy số sau: kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi.

i) q = 2;

ii) $q=\frac{1}{2}$;

iii) q = – 3.

Vì m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên n = m = p – n = d.

Ta có: 2$^{n}$ : 2$^{m}$ = 2$^{n – m}$ = 2$^{d}$; 2$^{p}$ : 2$^{n}$ = 2$^{p – n}$ = 2$^{d}$

Do đó 2$^{n}$ : 2$^{m}$ = 2$^{p}$ : 2$^{n}$ nên đây là một cấp số nhân với công bội q = 2$^{d}$.

Dân số năm 2011 là: T$_{1}$ = P (triệu người).

Năm 2012 là: T$_{2}$ = P + a%P = (1 + a%).P (triệu người).

Năm 2013 là: T$_{3}$ = (1 + a%).P + a%(1 + a%).P = (1 + a%)$^{2}$.P (triệu người).

...

Năm 2021 là: T$_{10}$ = (1 + a%)$^{10}$.P (triệu người).

Do đó dãy số dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạp thành cấp số nhân với công bội q = 1 + a%.

Ta có:

u$_{2}$ = u$_{1}$.q;

u$_{3}$ = u$_{2}$.q = u$_{1}$.q.q = u$_{1}$.q$^{2}$;

u$_{4}$ = u$_{3}$.q = u$_{1}$.q$^{2}$.q = u$_{1}$.q$^{3}$;

u$_{10}$ = u$_{9}$.q = u$_{8}$.q.q = ... = u$_{1}$.q$^{9}$

a) Cấp số nhân 5; 10; 20; 40; 80; ... có số hạng đầu u$_{1}$ = 5 và công bội q = 2.

Khi đó công thức số hạng tổng quát:

u$_{n}$ = u$_{1}$.q$^{n-1}$ = 5.2$^{n-1}$.

b) Cấp số nhân $1;\ \frac{1}{10};\ \frac{1}{100};\ \frac{1}{1\ 000};\ \frac{1}{10\ 000};\ ...$ có số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công bội $q=\frac{1}{10}$. Khi đó công thức số hạng tổng quát:

${u}_{n}=1.{(\frac{1}{10})}^{n-1}={(\frac{1}{10})}^{n-1}$.

Khối lượng nguyên tố poloni 210 lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 20 gam và công bội q = $\frac{1}{2}$ có số hạng tổng quát là: ${u}_{n}=20{(\frac{1}{2})}^{n-1}$.

a) Ta có: 690 = 138.5 nên n = 5, khi đó: ${u}_{5}=20{(\frac{1}{2})}^{5-1}=20.{(\frac{1}{2})}^{4}=\frac{5}{4}=1{,}25$ (gam).

Vậy sau 690 ngày khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 là: 1,25 gam.

b) Ta có: 7 314 = 138.53 nên n = 53, khi đó: ${u}_{5}=20{(\frac{1}{2})}^{53-1}=20.{(\frac{1}{2})}^{52}=4,{4.10}^{-15}$ (gam).

Vậy sau 7 314 khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 là: 4,4.10$^{-15}$ gam.

a) Ta có: S$_{n}$q = (u$_{1}$ + u$_{2}$ + ... + u$_{n}$).q = u$_{1}$q + u$_{2}$q + u$_{3}$q + ... + u$_{n-1}$q + u$_{n}$q

= u$_{2}$ + u$_{3}$ + u$_{4}$ + ... + u$_{n}$ + u$_{n}$q

= (u$_{2}$ + u$_{3}$ + ... + u$_{n}$) + q.u$_{n}$

Vậy q.S$_{n}$ = (u$_{2}$ + u$_{3}$ + ... + u$_{n}$) + q.u$_{n}$.

b) Ta có: u$_{1}$ + q.S$_{n}$ = u$_{1}$ + q.(u$_{1}$ + u$_{2}$ + ... + u$_{n}$) = u$_{1}$ + u$_{1}$q + u$_{2}$q + u$_{3}$q + ... + u$_{n-1}$q + u$_{n}$q

= u$_{1}$ + u$_{2}$ + ... + u$_{n}$ + u$_{n}$q = = S$_{n}$ + u$_{1}$q$^{n-1}$.q = S$_{n}$ + u$_{1}$q$^{n}$.

Vậy u$_{1}$ + q.S$_{n}$ = S$_{n}$ + u$_{1}$.q$^{n}$.

a) (u$_{n}$) là cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 10$^{5}$ và công bội q = 0,1 nên có số hạng tổng quát là: u$_{n}$ = u$_{1}$.q$^{n-1}$ = 10$^{5}$.(0,1)$^{n – 1}$.

Khi đó ta có: u$_{5}$ = 10$^{5}$.(0,1)$^{5 – 1}$ = 10$^{5}$$_{.}$(0,1)$^{4}$ = 10.

Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u$_{n}$) là:

${S}_{5}=\frac{5({10}^{5}+10)}{2}=250\ 025$.

b) (u$_{n}$) là cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 10 và công bội q = $\frac{{u}_{2}}{{u}_{1}}=\frac{-20}{10}=-2$ nên có số hạng tổng quát là: u$_{n}$ = u$_{1}$.q$^{n-1}$ = 10.(– 2)$^{n – 1}$.

Khi đó ta có: u$_{5}$ = 10.(– 2)$^{5 – 1}$ = 10$_{.}$(– 2)$^{4}$ = 160.

Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u$_{n}$) là:

${S}_{5}=\frac{5(10+160)}{2}=425$.

Dãy số đã cho là một cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 120 và công sai $q=\frac{1}{2}$.

Khi đó công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân này là: u$_{n}$ = 120. ${(\frac{1}{2})}^{n-1}$.

Độ cao của quả bóng sau lần rơi thứ 10 là u$_{10}$ = 120. ${(\frac{1}{2})}^{10-1}$ = $\frac{15}{64}$.

Tổng độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên là:

${S}_{10}=\frac{10(120+\frac{15}{64})}{2}\approx 601{,}2$.

a) Ta có:

u$_{1}$ = 3.(0 – 2)$^{1}$ = 3.(– 2) = – 6.

u$_{n+1}$ = 3.(– 2)$^{n+1}$ = 3.(– 2)$^{n}$.(– 2) = u$_{n}$.( – 2).

Vậy dãy số u$_{n}$ = 3.(– 2)$^{n}$ là một cấp số nhân có số hạng đầu là u$_{1}$ = – 6 và công sai d = – 2.

b) Ta có:

u$_{1}$ = (– 1)$^{1}$.7$^{1}$ = – 7;

u$_{n + 1}$ = (– 1)$^{n+1}$.7$^{n+1}$ = (– 1)$^{n}$.(– 1).7$^{n}$.7 = u$_{n}$.(– 7).

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân có số hạng đầu là u$_{1}$ = – 7 và công sai d = – 7.

a) Gọi số đo bốn góc của một tứ giác được lập thành một cấp số nhân có công bội q theo thứ tự từ bé đến lớn là: α; β; γ; φ.

Ta có: β = αq, γ = α.q$^{2}$, φ = α.q$^{3}$$_{.}$

Ta lại có: φ = 8α nên q$^{3}$ = 8 ⇔ q = 2.

Do đó cấp số cộng trên trở thành: α; 2α; 4α; 8α.

Tổng bốn góc trong tứ giác bằng 360° nên α + 2α + 4α + 8α = 360°

⇔ 15α = 360°

⇔ α = 24°

Vậy số đo của các góc trong tứ giác lần lượt là 24°; 48°; 72°; 96°.

b) Cấp số nhân đã cho có u$_{1}$ = – 2 và u$_{8}$ = 256.

Ta có: u$_{8}$ = u$_{1}$q$^{7}$ = (– 2).q$^{7}$ = 256

⇔ q = – 2

Suy ra các số hạng xen giữa hai số – 2 và 256 là: 4; – 8; 16; – 32; 64; – 128.

Số hạng thứ 15 của dãy là: u$_{15}$ = (– 2).( – 2)$^{14}$ = (– 2)$^{15}$ = 0 – 32 768.

Ta có: $\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$ là một cấp số cộng nên ta có:

$\frac{1}{b}-\frac{2}{b-a}=\frac{2}{b-c}-\frac{1}{b}$

$\Leftrightarrow \frac{b-a}{b(b-a)}-\frac{2b}{b(b-a)}=\frac{2b}{b(b-c)}-\frac{b-c}{b(b-c)}$

$\Leftrightarrow \frac{-a-b}{b(b-a)}=\frac{b+c}{b(b-c)}$

$\Leftrightarrow \frac{(-a-b)(b-c)}{b(b-a)(b-c)}=\frac{(b+c)(b-a)}{b(b-a)(b-c)}$

$\Leftrightarrow (-a-b)(b-c)=(b+c)(b-a)$

⇔ – ab + ac – b$^{2}$ + bc = b$^{2}$ – ab + bc – ac

⇔ 2b$^{2}$ – 2ac = 0

⇔ b$^{2}$ = ac.

Dãy số $1;\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{{3}^{2}};\ ...;\ \frac{1}{{3}^{n}}$lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu ${u}_{1}=1$ và công bội $q=\frac{1}{3}$.

Khi đó tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân là:

${S}_{n}=\frac{n(1+\frac{1}{{3}^{n}})}{2}=\frac{({3}^{n}+1)n}{{2.3}^{n}}$.

Số lượng vi khuẩn sau mỗi phút lập thành một cấp số nhân (u$_{n}$), với số hạng đầu u$_{1}$ = 1, công bội q = 2.

Suy ra số hạng tổng quát u$_{n}$ = 2$^{n-1}$.

Vậy sau 20 phút số lượng vi khuẩn trong ống nghiệm là: u$_{20}$ = 2$^{19}$ (vi khuẩn).

Số dân của thành phố qua các năm với tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75% lập thành một cấp số nhân (u$_{n}$) với số hạng đầu là u$_{1}$ = 2,1 (ở năm 2022) và công bội q = 1 + 0,75% = 1,0075 có số hạng tổng quát là: u$_{n}$ = 2,1.(1,0075)$^{n-1}$.

a) Dự đoán dân số của thành phố vào năm 2032 là:

u$_{11}$ = 2,1.(1,0075)$^{10}$ ≈ 2,3 triệu người.

b) Dân số của năm thứ n (so với năm 2022) là: 2.2,1 = 4,2 (triệu người).

Ta có: u$_{n}$ = 2,1.(1,0075)$^{n-1}$ = 4,2

⇒ n – 1 ≈ 93

Vậy ước tính vào năm 2022 + 93 = 2115 thì dân số thành phố đó gấp đôi so với năm 2022.

Độ cao nảy ngược lên của người chơi bungee sau mỗi lần thực hiện cú nhảy lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu tiên u$_{1}$ = 9 và công bội q = 0,06.

Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u$_{n}$ = 9.(0,06)$^{n-1}$.

a) Độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần thứ 3 là:

u$_{3}$ = 9.(0,06)$^{2}$ = 1,994.10$^{-3}$ (m).