Giải SGK Toán 11 CTST Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác có đáp án

Kẻ AH vuông góc với IO tại H

Xét tam giác AHI vuông tại H, có:

AH = sinα . IA = 2sinα (m).

AH cũng chính là li độ của A nên s = 2sinα.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M xuống trục Ox và Oy; gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm N trên trục Ox và Oy.

Đặt $(OA,OM)=α,(OA,ON)=β$.

+) Xét tam giác MHO vuông tại H, có:

MH = $\sin \widehat{MOH}.MO=\sin \widehat{MOH}$

Ta có $\widehat{MOH}+\widehat{AOM}=180^{\circ}$ nên $\sin \widehat{MOH}=\sin \widehat{AOM}$.

⇒ MH = $\sin \widehat{AOM}$ = sinα.

Mà MH = OK nên OK = sinα hay tung độ điểm M bằng sinα.

Ta lại có: OH = $\text{cos}\widehat{MOH}.MO=\text{cos}\widehat{MOH}$

$_{Mà \widehat{MOH}+\widehat{AOM}=180^{\circ}}$ nên $\text{cos}\widehat{MOH}=-\text{cos}\widehat{AOM}$

⇒ OH = $-\text{cos}\widehat{AOM}$ = – cosα do đó hoành độ của điểm M bằng cosα.

Vậy tọa độ điểm M là (cosα; sinα) = $(\text{cos}\frac{2π}{3};\sin \frac{2π}{3})=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$.

+) Xét tam giác ONE vuông tại E, có:

NE = $\sin \widehat{NOE}.ON=\sin \widehat{NOE}$

Mà $\widehat{NOE}=-β$

⇒ NE = – sinβ.

Mà NE = OF nên OF = – sinβ do đó tung độ điểm N bằng sinβ.

Ta lại có: OE = $\text{cos}\widehat{NOE}.ON=\text{cos}\widehat{NOE}$

⇒ OE = cosβ nên hoành độ của điểm M bằng cosβ.

Vậy tọa độ điểm N là (cosβ; sinβ) = $(\text{cos}(-\frac{π}{4});\sin (-\frac{π}{4}))=(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})$

Ta có: $\sin (-\frac{2π}{3})=-\sin (\frac{2π}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ta có tan495° = – tan135° = – tan45° = $-\frac{\text{cos}45^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}=-1$.

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được:

cos75° = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$;

tan$(\frac{-19π}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

a) M là điểm biểu diễn của góc lượng giác α trên đường tròn lượng giác nên tọa độ điểm M là (cosα; sinα) nên MH = sinα, OH = cosα.

Ta lại có: MH$^{2}$ + OH$^{2}$ = 1 (định lí Pythagore)

Hay sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1.

b) Vì OH = cosα > 0 nên cos$^{2}$α ≠ 0 nên chia cả hai vế của biểu thức của câu a) cho cos$^{2}$α, ta được:

$\frac{{\sin }^{2}α}{{\text{cos}}^{2}α}+1=\frac{1}{{\text{cos}}^{2}α}\Leftrightarrow {\tan }^{2}α+1=\frac{1}{{\text{cos}}^{2}α}$.

c) Vì MH = sinα > 0 nên sin$^{2}$α ≠ 0 nên chia cả hai vế của biểu thức của câu a) cho sin$^{2}$α, ta được:

$1+\frac{{\text{cos}}^{2}α}{{\sin }^{2}α}=\frac{1}{{\sin }^{2}α}\Leftrightarrow 1+{\cot }^{2}α=\frac{1}{{\sin }^{2}α}$.

Ta có: ${\tan }^{2}α+1=\frac{1}{{\text{cos}}^{2}α}$

$\Leftrightarrow {(\frac{2}{3})}^{2}+1=\frac{1}{{\text{cos}}^{2}α}$

$\Leftrightarrow \frac{13}{9}=\frac{1}{{\text{cos}}^{2}α}$

$\Leftrightarrow {\text{cos}}^{2}α=\frac{9}{13}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}\text{cos}α=\frac{3}{\sqrt{13}} \\ \text{cos}α=-\frac{3}{\sqrt{13}}\end{matrix}$

Vì $π<α<\frac{3π}{2}$ nên điểm biểu diễn của góc α trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III, do đó cosα < 0 nên $\text{cos}α=-\frac{3}{\sqrt{13}}$.

⇒ sinα = tanα.cosα = $\tan α.\text{cos}α=\frac{2}{3}.(-\frac{3}{\sqrt{13}})=-\frac{2}{\sqrt{13}}$.

Biểu diễn góc lượng giác $-\frac{π}{3}$:

Biểu diễn góc lượng giác $\frac{π}{3}+π=\frac{4π}{3}$:

Biểu diễn góc lượng giác $π-\frac{π}{3}=\frac{2π}{3}$:

Biểu diễn góc lượng giác $\frac{π}{2}-\frac{π}{3}=\frac{π}{6}$

a) Ta có điểm B là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo góc là α trên đường tròn lượng giác có bán kính bằng 10 nên tọa độ điểm B(10cosα; 10sinα).

Vì vậy chiều cao từ điểm B đến mặt đất là: 13 + 10sinα (mét).

Với α = – 30° ta có chiều cao từ điểm B đến mặt đất là: 13 + 10sin.(– 30°) = 8 (mét).

b) Đặt (OA, OC) = β = α – 90°

Nếu điểm B cách mặt đất 4m thì 13 + 10sinα = 4

⇔ sinα = $-\frac{9}{10}$

Ta có sinα = cos(α – 90°) = $-\frac{9}{10}$

⇒ cos(α – 90°) = $-\frac{9}{10}$

⇒ cosβ = $-\frac{9}{10}$

⇒ sinβ = $-\sqrt{{1}^{2}-{(\frac{9}{10})}^{2}}=-\frac{\sqrt{19}}{10}$

Vì vậy chiều cao từ điểm C đến mặt đất là: 13 + 10sinβ = 13 + 10 $(-\frac{\sqrt{19}}{10})$ ≈ 8,64 (mét).

a) Với – 1 ≤ sinα = $\frac{3}{5}$ ≤ 1 và – 1 ≤ cosα = $-\frac{4}{5}$ ≤ 1, ta có:

sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = ${(\frac{3}{5})}^{2}+{(-\frac{4}{5})}^{2}=1$.

Vậy sinα = $\frac{3}{5}$ và cosα = $-\frac{4}{5}$ có thể đồng thời xảy ra.

b) Với – 1 ≤ sinα = $\frac{1}{3}$ ≤ 1 và cotα = $\frac{1}{2}$, ta có:

1 + cot$^{2}$α = $1+{(\frac{1}{2})}^{2}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

$\frac{1}{{\sin }^{2}α}=\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2}}=9$

Do đó 1 + cot$^{2}$α ≠ $\frac{1}{{\sin }^{2}α}$.

Vì vậy sinα = $\frac{1}{3}$ và cotα = $\frac{1}{2}$ không đồng thời xảy ra.

c) Với tanα = 3 và cotα = $\frac{1}{3}$, ta có:

tanα . cotα = 3. $\frac{1}{3}$ = 1.

Vì vậy tanα = 3 và cotα = $\frac{1}{3}$ đồng thời xảy ra.

Ta có: $\sin (-\frac{15π}{2}-α)-\text{cos}(13π+α)$

$=\sin (-\frac{16π}{2}+\frac{π}{2}-α)-\text{cos}(12π+π+α)$

$=\sin (\frac{π}{2}-α)-\text{cos}(π+α)$

$=\text{cos}α+\text{cos}α$

$=2\text{cos}α$

$=2.(-\frac{5}{13})=-\frac{10}{13}$.

a) Ta có: $\text{cos}α=-\sqrt{1-{(\frac{5}{13})}^{2}}=-\frac{12}{13}$ (vì $\frac{π}{2}<α<π$)

$\Rightarrow \tan α=\frac{\sin α}{\text{cos}α}=\frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}}=-\frac{5}{12}\Rightarrow \cot α=-\frac{12}{5}$.

Vậy $\text{cos}α=-\frac{12}{13},\tan α=-\frac{5}{12},\cot α=-\frac{12}{5}$.

b) Ta có: $\sin α=\sqrt{1-{(\frac{2}{5})}^{2}}=\frac{\sqrt{21}}{5}$ (vì $0^{\circ}<α<90^{\circ}$)

$\Rightarrow \tan α=\frac{\sin α}{\text{cos}α}=\frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{21}}{2}\Rightarrow \cot α=\frac{2}{\sqrt{21}}$.

Vậy $\sin α=\frac{\sqrt{21}}{5},\tan α=\frac{\sqrt{21}}{2},\cot α=\frac{2}{\sqrt{21}}$.

c) Ta có: $\tan α=\sqrt{3}\Rightarrow \cot α=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Ta lại có: $\frac{1}{{\text{cos}}^{2}α}=1+{\tan }^{2}α=1+{(\sqrt{3})}^{2}=4$

$\Rightarrow {\text{cos}}^{2}α=\frac{1}{4}\Rightarrow \text{cos}α=-\frac{1}{2}$ (vì $π<α<\frac{3π}{2}$).

$\Rightarrow \sin α=\tan α.\text{cos}α\text{=}\sqrt{3}.(-\frac{1}{2})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $\sin α=-\frac{\sqrt{3}}{2},\text{cos}α=-\frac{1}{2},\cot α=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

d) Ta có: $\text{cot}α=-\frac{1}{2}\Rightarrow \text{tan}α=-2$

Ta lại có: $\frac{1}{{\text{cos}}^{2}α}=1+{\tan }^{2}α=1+{(-2)}^{2}=5$

$\Rightarrow {\text{cos}}^{2}α=\frac{1}{5}\Rightarrow \text{cos}α=\frac{1}{\sqrt{5}}$(vì $270^{\circ}<α<360^{\circ}$)

$\Rightarrow \sin α=\tan α.\text{cos}α=-2.(\frac{1}{\sqrt{5}})=-\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Vậy $\sin α=-\frac{2}{\sqrt{5}},\text{cos}α=\frac{1}{\sqrt{5}},\tan α=-2$.

a) Ta có: $\text{cos}\frac{21π}{6}=\text{cos}(\frac{24π}{6}-\frac{π}{2})=\text{cos}(-\frac{π}{2})=\text{cos}\frac{π}{2}=\sin 0$.

b) $\text{sin}\frac{129π}{4}=\text{sin}(32π+\frac{π}{4})=\text{sin}\frac{π}{4}$.

c) tan1 020° = tan(3.180° – 60°) = tan(180° – 60°) = – tan60° = – cot30°.

Lời giải

a) $\frac{1}{\tan α+1}+\frac{1}{\cot α+1}=\frac{\cot α+1}{(\tan α+1)(\cot α+1)}+\frac{\tan α+1}{(\tan α+1)(\cot α+1)}$

$=\frac{\cot α+1+\tan α+1}{\tan α.\cot α+\tan α+\cot α+1}=\frac{\cot α+\tan α+2}{1+\tan α+\cot α+1}=1$.

c) $\sin (α-\frac{π}{2})+\text{cos}(-α+6π)-\tan (α+π)\cot (3π-α)$

$=-\sin (\frac{π}{2}-α)+\text{cos}(3.2π-α)-\tan (α+π)\cot (2π+π-α)$

$=-\sin α+\text{cos}α-\tan α\cot α$

$=-\sin α+\text{cos}α$.

Kẻ MH vuông góc với Ox.

Điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác α

Ta có: $α=3\frac{1}{10}.360^{\circ}=1\ 116^{\circ}$

Khi đó M(cos1116°.15; sin1116°.15)

Suy ra OH = |cos1116°|.15 ≈12,1.

Vậy độ dài bóng O’M’ của OM khi thanh quay được $3\frac{1}{10}$ vòng là 12,1 cm.

Sau một phút di chuyển, van V đã quay được một góc lượng giác có số đo góc là: α = 11.60 = 660 (rad).

Khi đó tọa độ điểm V biểu diễn cho góc lượng giác trên có tọa độ là:

V(58.cosα; 58.sinα) ≈ (56; 15,2)

Khi đó khoảng cách từ van đến mặt đất khoảng 58 – 15,2 = 42,8 cm.