Giải SGK Toán 11 CTST Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án

a) Ta có ${y}^{'}({x}_{0})=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{x-{x}_{0}}{x-{x}_{0}}=1$.

Vậy y*'*(x$_{0}$) = 1.

b) Có (x$^{2}$)' = 2x; (x$^{3}$)' = 3x$^{2}$;

Dự đoán (x$^{n}$)' = nx$^{n – 1}$.

Ta có y*'* = (x$^{10}$)' = 10x$^{9}$.

Khi đó y'(−1) = 10×(−1)$^{9}$ = −10;

${y}^{'}(\sqrt[3]{2})=10\cdot {(\sqrt[3]{2})}^{9}=10\cdot {({2}^{\frac{1}{3}})}^{9}=80$.

Ta có ${y}^{'}({x}_{0})=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{\sqrt{x}-\sqrt{{x}_{0}}}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{x-{x}_{0}}{(x-{x}_{0})(\sqrt{x}+\sqrt{{x}_{0}})}$$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{{x}_{0}}}=\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}}}$.

Vậy ${y}^{'}({x}_{0})=\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}}}$.

Ta có ${y}^{'}={(\sqrt{x})}^{'}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm có hoành độ bằng 4 là:

$k={y}^{'}(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$.

Với x = 4 thì $y=\sqrt{4}=2$.

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm có hoành độ bằng 4 là $y=\frac{1}{4}(x-4)+2$ hay $y=\frac{1}{4}x+1$.

Vậy $y=\frac{1}{4}x+1$ là tiếp tuyến cần tìm.

a) Ta có ${y}^{'}={(\sqrt[4]{x})}^{'}=\frac{1}{4}\cdot {x}^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt[4]{{x}^{3}}}$.

Khi đó ${y}^{'}(1)=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt[4]{{1}^{3}}}=\frac{1}{4}$.

b) Ta có ${y}^{'}={(\frac{1}{x})}^{'}=-\frac{1}{{x}^{2}}$.

Khi đó ${y}^{'}(-\frac{1}{4})=-\frac{1}{{}^{{(-\frac{1}{4})}^{2}}}=-16$.

Có ${y}^{'}({x}_{0})=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}$ $=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{\sin x-\sin {x}_{0}}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{2cos(\frac{x+{x}_{0}}{2})\sin (\frac{x-{x}_{0}}{2})}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }[2cos(\frac{x+{x}_{0}}{2})]\cdot \underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }[\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin (\frac{x-{x}_{0}}{2})}{\frac{x-{x}_{0}}{2}}]$

$=[2cos(\frac{2{x}_{0}}{2})]\cdot \frac{1}{2}=\cos {x}_{0}$ (do $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{\sin (\frac{x-{x}_{0}}{2})}{\frac{x-{x}_{0}}{2}}=1$).

Vậy y' = (sinx)' = cosx.

Ta có y*'* = (tanx)' = $\frac{1}{co{s}^{2}x}$.

Vậy ${y}^{'}(\frac{3π}{4})=\frac{1}{co{s}^{2}(\frac{3π}{4})}=2$ .

a) Có ${y}^{'}({x}_{0})=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}$ $=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{{e}^{x}-{e}^{{x}_{0}}}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{{e}^{{x}_{0}}({e}^{x-{x}_{0}}-1)}{x-{x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}$ (do $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{{e}^{x-{x}_{0}}-1}{x-{x}_{0}}=1$).

Vì y*'(x$_{0}$) = ${e}^{{x}_{0}}$ nên y'* = (e$^{x}$)' = e$^{x}$.

b) Ta có ${y}^{'}({x}_{0})=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}$ $=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{\ln x-\ln {x}_{0}}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }[\frac{1}{{x}_{0}}\cdot \frac{\ln \frac{x}{{x}_{0}}}{\frac{x}{{x}_{0}}-1}]=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{1}{{x}_{0}}\cdot \underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{\ln [1+(\frac{x}{{x}_{0}}-1)]}{\frac{x}{{x}_{0}}-1}=\frac{1}{{x}_{0}}$

(do $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{\ln [1+(\frac{x}{{x}_{0}}-1)]}{\frac{x}{{x}_{0}}-1}=1$).

Do y*'(x$_{0}$) = $\frac{1}{{x}_{0}}$ nên y'* = (lnx)' = $\frac{1}{x}$.

a) Ta có y*'* = (9$^{x}$)' = 9$^{x}$×ln9.

Khi đó y'(1) = 9$^{1}$×ln9 = 9ln9.

b) Ta có y*'* = (lnx)' = $\frac{1}{x}$.

Khi đó ${y}^{'}(\frac{1}{3})=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$.

Ta có $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}={f}^{'}({x}_{0})$ và $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{g(x)-g({x}_{0})}{x-{x}_{0}}={g}^{'}({x}_{0})$ nên h*'(x$_{0}$) = f'(x$_{0}$) + g'*(x$_{0}$).

Do đó $h(x)=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{h(x)-h({x}_{0})}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}+\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{g(x)-g({x}_{0})}{x-{x}_{0}}={f}^{'}({x}_{0})+{g}^{'}({x}_{0})$.

a) y' = (xlog$_{2}$x)' = (x)' log$_{2}$x + x(log$_{2}$x)'

= ${\log }_{2}x+x\cdot \frac{1}{x\ln 2}={\log }_{2}x+\frac{1}{\ln 2}$.

b) y' = (x$^{3}$e$^{x}$)' = (x$^{3}$)*'e$^{x}$ + x$^{3}$(e$^{x}$)'* = 3x$^{2}$e$^{x}$ + x$^{3}$e$^{x}$.

a) Ta có y = u$^{2}$ = (sinx)$^{2}$ = sin$^{2}$x.

b) Ta có y'$_{x}$ = (sin$^{2}$x)' = (sinx×sinx)' = (sinx)'×sinx + sinx×(sinx)'

= cosx×sinx + sinx×cosx = 2sinxcosx = sin2x. (1)

y*'$_{u}$ = (u$^{2}$)'* = 2u = 2sinx.

u'$_{x}$ = (sinx)' = cosx.

Có y*'$_{u}$×u'*$_{x}$ = 2sinxcosx = sin2x. (2)

Từ (1) và (2), ta có: y*'$_{x}$ = y'$_{u}$×u'*$_{x}$.

a) y' = [(2x$^{3}$ + 3)$^{2}$]' = 2(2x$^{3}$ + 3)(2x$^{3}$ + 3)' = 12x$^{2}$(2x$^{3}$ + 3).

b) y' = (cos3x)' = −sin3x×(3x)' = −3sin3x.

a) Vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = (2t$^{3}$ + 4t + 1)' = 6t$^{2}$ + 4.

b) a(t) = v'(t) = (6t$^{2}$ + 4)' = 12t.

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là a(2) = 12×2 = 24 (m/s$^{2}$).

a) Có y*'* = (x$^{2}$ – x)' = 2x – 1.

Có y*"* = (2x – 1)' = 2. Vậy y*"* = 2.

b) Có y*'* = (cosx)' = −sinx.

y*"* = (−sinx)' = −cosx. Vậy y*"* = −cosx.

Vận tốc của hòn sỏi tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = (4,9t$^{2}$)' = 9,8t.

Gia tốc của hòn sỏi tại thời điểm t là a(t) = v'(t) = (9,8t)' = 9,8.

Gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3 là a(3) = 9,8 m/s$^{2}$.

Vậy gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3 là 9,8 m/s$^{2}$.

a) ${y}^{'}={(2{x}^{3}-\frac{{x}^{2}}{2}+4x-\frac{1}{3})}^{'}$

$={(2{x}^{3})}^{'}-{(\frac{{x}^{2}}{2})}^{'}+{(4x)}^{'}-{(\frac{1}{3})}^{'}=6{x}^{2}-x+4$.

b) ${y}^{'}={(\frac{-2x+3}{x-4})}^{'}=\frac{{(-2x+3)}^{'}(x-4)-(-2x+3){(x-4)}^{'}}{{(x-4)}^{2}}$

$=\frac{-2(x-4)-(-2x+3)}{{(x-4)}^{2}}=\frac{-2x+8+2x-3}{{(x-4)}^{2}}=\frac{5}{{(x-4)}^{2}}$.

c) $y=\frac{{x}^{2}-2x+3}{x-1}=\frac{{({x}^{2}-2x+3)}^{'}(x-1)-({x}^{2}-2x+3){(x-1)}^{'}}{{(x-1)}^{2}}$

$=\frac{(2x-2)(x-1)-({x}^{2}-2x+3)}{{(x-1)}^{2}}=\frac{2{x}^{2}-4x+2-{x}^{2}+2x-3}{{(x-1)}^{2}}$

$=\frac{{x}^{2}-2x-1}{{(x-1)}^{2}}$.

a) y' = (sin3x)' = cos3x×(3x)' = 3cos3x.

b) y' = (cos$^{3}$2x)' = 3cos$^{2}$2x(cos2x)' = −6cos$^{2}$2xsin2x.

c) y' = (tan$^{2}$x)' = 2tanx×(tanx)'

= $2\tan x(\frac{1}{{\cos }^{2}x})$ = 2tanx(1 + tan$^{2}$x).

d) y' = [cot(4 – x$^{2}$)]' = $-\frac{{(4-{x}^{2})}^{'}}{{\sin }^{2}(4-{x}^{2})}=\frac{2x}{{\sin }^{2}(4-{x}^{2})}$.

a) y' = [(x$^{2}$ – x)×2$^{x}$]' = (x$^{2}$ – x)'×2$^{x}$ + (x$^{2}$ – x)×(2$^{x}$)'

= (2x – 1)×2$^{x}$ + (x$^{2}$ – x)×2$^{x}$×ln2

= 2$^{x}$(x$^{2}$ln2 + 2x – 1 – xln2).

b) y' = (x$^{2}$log$_{3}$x)' = (x$^{2}$)'log$_{3}$x + x$^{2}$(log$_{3}$x)'

= 2xlog$_{3}$x + $\frac{{x}^{2}}{x\ln 3}$= $2x{\log }_{3}x+\frac{x}{\ln 3}$.

c) y' = (e$^{3x + 1}$)' = e$^{3x + 1}$×(3x + 1)' = 3e$^{3x + 1}$.

a) y' = (2x$^{4}$ – 5x$^{2}$ + 3)' = 8x$^{3}$ – 10x.

y" = (8x$^{3}$ – 10x)' = 24x$^{2}$ – 10.

Vậy y" = 24x$^{2}$ – 10.

b) y' = (xe$^{x}$)' = x'e$^{x}$ + x×(e$^{x}$)' = e$^{x}$ + xe$^{x}$.

y" = (e$^{x}$ + xe$^{x}$)' = e$^{x}$ + e$^{x}$ + xe$^{x}$ = 2e$^{x}$ + xe$^{x}$.

Vậy y" = 2e$^{x}$ + xe$^{x}$.

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm t là:

w'(t) = (0,000758t$^{3}$ – 0,0596t$^{2}$ + 1,82t + 8,15)' = 0,002274t$^{2}$ – 0,1192t + 1,82.

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi là:

w'(10) = 0,002274×(10)$^{2}$ – 0,1192×10 + 1,82. = 0,8554 (pound/tháng).

Vậy tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi là 0,8554 pound/tháng.

Ta có ${C}^{'}(x)={(\sqrt{5{x}^{2}+60})}^{'}$ $=\frac{{(5{x}^{2}+60)}^{'}}{2\sqrt{5{x}^{2}+60}}=\frac{10x}{2\sqrt{5{x}^{2}+60}}=\frac{5x}{\sqrt{5{x}^{2}+60}}$.

Có x'(t) = (20t + 40)' = 20; x(4) = 120.

Khi đó, tốc độ tăng chi phí của công ty sau t tháng là: C'(x(t)) = C'(x)×x'(t).

Tốc độ tăng chi phí của công ty sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó là:

C'(x(4)) = C'(120)×x'(4) $=\frac{5\cdot 120}{\sqrt{5\cdot {120}^{2}+60}}\cdot 20\approx 44{,}7$(nghìn đô-la/tháng).

Tốc độ tăng chi phí của công ty sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó khoảng 44,7 nghìn đô/tháng.

a) Quãng đường vật đã rơi tại thời điểm t = 2 là: s(2) = 0,81×2$^{2}$ = 3,24 (m).

Vậy sau 2 giây vật đã rơi được 3,24 m.

b) Có v(t) = s'(t) = (0,81t$^{2}$)' = 1,62t.

a(t) = v'(t) = (1,62t)' = 1,62.

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm t = 2 là 1,62 m/s$^{2}$.