Giải SGK Toán 11 CTST Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc có đáp án

Sau khi học xong bài học này, ta giải quyết bài toán trên như sau:

Có góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau.

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b: Kẻ một đường thẳng c song song với b thuộc mặt phẳng chứa a. Góc giữa a và b bằng góc giữa a và c.

a) Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của BC

N là trung điểm của BA

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

MN // AC

Mà DD′ // AA′ nên (MN, DD′) = (AC, AA′) = $\widehat{{A}^{'}AC}=90^{\circ}$

b) Ta có: MN // AC

$\Rightarrow$ (MN, CD′) = (AC, CD′) = $\widehat{AC{D}^{'}}$

Vì ABCD, ADD′A′, CDD′C′ là các hình vuông bằng nhau nên các đường chéo của chúng bằng nhau nên AC = AD′ = CD′.

Suy ra ACD′ là tam giác đều.

$\Rightarrow \widehat{AC{D}^{'}}={60}^{ο}$ hay (MN, CD′) = 60°

c) Xét tam giác AA′D′ có:

E là trung điểm của AA′

F là trung điểm của A′D′

Nên EF là đường trung bình của tam giác AA′D′.

$\Rightarrow$ EF // AD′

Mà CC′ // AA′

$\Rightarrow$(EF, CC′) = (AD′, AA′) = $\widehat{{A}^{'}A{D}^{'}}=45^{\circ}$

Vì a // OM nên (a, b) = (MN, OM) = $\widehat{OMN}$.

Mà tam giác OMN vuông cân tại O. Vậy góc giữa a và b là 45°.

a) ABB′A′ là hình vuông nên AB ⊥ BB′ hay góc giữa AB và BB′ là 90°.

a) Các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình hộp và vuông góc với AC là BD, B′D′, AA′, CC′, BB′, DD′.

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow$ MN // AB; MN = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{a}{2}$ (1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

$\Rightarrow$ MP // CD; MP = $\frac{1}{2}$ CD = $\frac{a}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$MN = MP = $\frac{a}{2}$

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác BCP có: BP = CP = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow$ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC $\Rightarrow$ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

PN = $\sqrt{C{P}^{2}-C{N}^{2}}=\sqrt{{(\frac{a\sqrt{3}}{2})}^{2}-{(\frac{a}{2})}^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác MNP:

MP$^{2}$ + MN$^{2}$ = ${(\frac{a}{2})}^{2}+{(\frac{a}{2})}^{2}=\frac{2{a}^{2}}{4}$ ; PN$^{2}$ = ${(\frac{a\sqrt{2}}{2})}^{2}=\frac{2{a}^{2}}{4}$

$\Rightarrow$ MP$^{2}$ + MN$^{2}$ = PN$^{2}$

Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = $\widehat{NMP}=90^{\circ}$.

Vậy AB ⊥ CD.

Xét tam giác SAB có:

SA = SB = a

$\widehat{BSA}=60^{\circ}$

Tam giác SAB đều.

Mà I là trung điểm của SA $\Rightarrow$ IB = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SAC có:

SA = SC = a

$\widehat{ASC}=60^{\circ}$

$\Rightarrow$ Tam giác SAC đều.

Mà I là trung điểm của SA $\Rightarrow$ IC = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S.

$\Rightarrow \text{BC}=\sqrt{{\text{SB}}^{2}+{\text{SC}}^{2}}=a\sqrt{2}$

Xét tam giác ABC:

AB = AC = a

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$

BC$^{2}$ = ${(a\sqrt{2})}^{2}$= 2a$^{2}$

$\Rightarrow$ AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$

Tam giác ABC vuông cân tại A.

Mà J là trung điểm đoạn BC $\Rightarrow$ AJ ⊥ BC

$\Rightarrow$ AJ = $\sqrt{{\text{AB}}^{2}-{\text{BJ}}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}-{(\frac{a\sqrt{2}}{2})}^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

Mà J là trung điểm đoạn BC $\Rightarrow$ SJ ⊥ BC

$\Rightarrow$ SJ = $\sqrt{{\text{SB}}^{2}-{\text{BJ}}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}-{(\frac{a\sqrt{2}}{2})}^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác JSA:

AJ = SJ = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Tam giác JSA cân tại J.

Mà I là trung điểm của SA $\Rightarrow$ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA.

hay IJ ⊥ SA.

Xét tam giác IBC:

IB = IC = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác IBC cân tại I.

Mà J là trung điểm của BC $\Rightarrow$ IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC.

hay IJ ⊥ BC.

Gọi H là trung điểm của BD.

Ta có: K là trung điểm của CD.

Nên HK là đường trung bình tam giác BCD

$\Rightarrow$ HK // BC; HK = $\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$

$\Rightarrow$ (AK, BC) = (AK, HK)

Xét tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC $\Rightarrow$ AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác ACD đều có K là trung điểm của CD $\Rightarrow$ AK = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác AHK: $\cos \widehat{AKH}=\frac{A{K}^{2}+H{K}^{2}-A{H}^{2}}{2.AK.HK}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

$\Rightarrow \widehat{AKH}\approx 73{,}2^{\circ}$

Vậy (AK, BC) = $\widehat{AKH}\approx 73{,}2^{\circ}$

Ta có: AB // a, nên

(a, AF) = (AB, AF) = 120°

(a, AE) = (AB, AE) = 90°

(a, AD) = (AB, AD) = 60°