Giải SGK Toán 11 CD Bài tập cuối chương II có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = 3$. Do đó dãy số (u$_{n}$) là một cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = \frac{1}{3}$ và công bội q = 3 nên ta có số hạng tổng quát là: ${u_n} = \frac{1}{3}{.3^{n - 1}} = {3^{n - 2}}$ với n ∈ ℕ*.

Do đó số hạng thứ năm của dãy số (u$_{n}$) là: ${u_5} = {3^{5 - 2}} = 27$.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Dãy số 21; – 3; – 27; – 51; – 75 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là u$_{1}$ = 21 và công sai d = – 24.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng u$_{n}$ = – 5 + (n – 1)4 = 4n – 9.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Các số tự nhiên lẻ lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công sai d = 2.

Do đó tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

${S_{100}} = \frac{{100.\left( {1 + 1 + 99.2} \right)}}{2} = 10\,000$.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Dãy số (u$_{n}$) được xác định bởi: u$_{1}$ = 3 và u$_{n}$ = $\frac{1}{3}$u$_{n-1}$ với mọi n ≥ 2 là cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 3 và q = $\frac{1}{3}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: ${u_n} = \left( { - 1} \right).{\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}}$.

Xét ${u_n} = \left( { - 1} \right).{\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{{10}^{2\,017}}}}$

$\Leftrightarrow {\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = {\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{2017}}$

⇔ n – 1 = 2017

⇔ n = 2018.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{n+1}$ = 2$^{n+1+1}$ = 2$^{n+2}$

Xét hiệu u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = 2$^{n+2}$ – 2$^{n}$ = 3.2$^{n}$ > 0 với mọi n ∈ ℕ*

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Lời giải

a) Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}$

Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}} - \frac{{{n^2}}}{{n + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^3} - {n^2}\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 - {n^3} - 2{n^2}}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}$

$= \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0$ với mọi n ∈ ℕ*.

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

b) Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{2}{{{5^{n + 1}}}}$

Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{2}{{{5^{n + 1}}}} - \frac{2}{{{5^n}}} = - \frac{4}{5}.\frac{2}{{{5^n}}} = - \frac{8}{{{5^{n + 1}}}} < 0$

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Lời giải

a) Ta có: u$_{2}$ + u$_{5}$ = u$_{1}$ + d + u$_{1}$ + 3d = 42

⇔ 2u$_{1}$ + 4d = 42

Ta lại có: u$_{4}$ + u$_{9}$ = u$_{1}$ + 3d + u$_{1}$ + 8d = 2u$_{1}$ + 11d = 66

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 4d = 42\\2{u_1} + 11d = 66\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{99}}{7}\\d = \frac{{24}}{7}\end{array} \right.$

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là: ${u_1} = \frac{{99}}{7}$ và công sai $d = \frac{{24}}{7}$.

b) Ta có: u$_{2}$ + u$_{4}$ = u$_{1}$ + d + u$_{1}$ + 3d = 22

⇔ 2u$_{1}$ + 4d = 22

⇔ u$_{1}$ + 2d = 11

⇔ u$_{1}$ = 11 – 2d

Ta lại có: u$_{1}$.u$_{5}$ = u$_{1}$(u$_{1}$ + 4d) = 21.

Thay u$_{1}$ = 11 – 2d vào biểu thức trên ra được:

(11 – 2d)(11 – 2d + 4d) = 21

⇔ (11 – 2d)(11 + 2d) = 21

⇔ 121 – 4d$^{2}$ = 21

⇔ d = 5 hoặc d = – 5.

Với d = 5 thì u$_{1}$ = 1.

Với d = – 5 thì u$_{1}$ = 21.

Lời giải

a) Ta có u$_{6}$ = u$_{1}$.q$^{5}$ = 192 và u$_{7}$ = u$_{1}$.q$^{6}$ = 384

Xét: $\frac{{{u_6}}}{{{u_7}}} = \frac{{{u_1}{q^5}}}{{{u_1}.{q^6}}} = \frac{1}{q} = \frac{{192}}{{384}} = \frac{1}{2}$

Suy ra: u$_{1}$ = $192:{\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = 6144$.

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 6 144 và công bội $q = \frac{1}{2}$.

b) Ta có: u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$ = u$_{1}$ + u$_{1}$.q + u$_{1}$.q$^{2}$ = 7

⇔ u$_{1}$(1 + q + q$^{2}$) = 7

Và u$_{5}$ – u$_{2}$ = u$_{1}$.q$^{4}$ – u$_{1}$.q = 14

⇔ u$_{1}$q(q$^{3}$ – 1) = 14

Suy ra: $\frac{{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}}{{{u_1}q\left( {{q^3} - 1} \right)}} = \frac{7}{{14}}$

$\Leftrightarrow \frac{{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}}{{{u_1}q\left( {q - 1} \right)\left( {1 + q + {q^2}} \right)}} = \frac{7}{{14}}$

⇔ 2 = q(q – 1)

⇔ q$^{2}$ – q – 2 = 0

⇔ q = 2 hoặc q = – 1.

Với q = 2 thì u$_{1}$ = 1.

Với q = – 1 thì u$_{1}$ = 7.

Lời giải

Do A, B, C, D theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:

B = A + d; C = A + 2d; D = A + 3d.

Mặt khác: A + B + C + D = 360°

⇔ A + A + d + A + 2d + A + 3d = 360°

⇔ 4A + 6d = 360°

⇔ 2A + 3d = 180°

Ta lại có: A + 2d = 5A ⇔ d = 2A

⇒ 8A = 180°

⇒ A = 22,5° và d = 45°

⇒ B = 67,5°, C = 112,5°, D = 157,5°.

Lời giải

Giải sữ người ta đã trồng được n hàng.

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với u$_{1}$ = 1, công sai d = 1

Tổng số cây ở n hàng cây là:

${S_n} = \frac{{n\left( {1 + n} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 4950$

⇔ n$^{2}$ + n – 9 900 = 0

⇔ n = 99 (thỏa mãn) hoặc n = – 100 (không thỏa mãn)

Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.

Lời giải

Diện tích mặt đáy tháp là u$_{1}$ = 12 288 (m$^{2}$).

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: u$_{2}$ = 12 288.$\frac{1}{2}$ = 6 144 (m$^{2}$).

...

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là u$_{n}$ với n ∈ ℕ*.

Dãy (u$_{n}$) lập thành một cấp số nhân là u$_{1}$ = 12 288 và công bội $q = \frac{1}{2}$, có số hạng tổng quát là: u$_{n}$ = 12 288.${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$.

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 11 nên ta có:

u$_{11}$ = 12 288.${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{11 - 1}}$ = 12 (m$^{2}$).

Lời giải

Gọi u$_{n}$ là nhiệt độ của khay nước đó sau n giờ (đơn vị độ C) với n ∈ ℕ*.

Ta có: u$_{1}$ = 23; u$_{2}$ = 23 – 23.20% = 23.(1 – 20%) = 23.80%; u$_{3}$ = 23.80%.80% = 23.(80%)$^{2}$; ...

Suy ra dãy (u$_{n}$) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 23 và công bội q = 80% có số hạng tổng quát u$_{n}$ = 23.(80%)$^{n – 1}$ độ C.

Vậy sau 6 giờ thì nhiệt độ của khay là u$_{6}$ = 23.(80%)$^{5}$ ≈ 7,5°C.

Lời giải

Độ dài cạnh của hình vuông đầu tiên là: a$_{1}$ = 4.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n là: a$_{n}$.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n + 1 là: a$_{n+1}$ = $\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right).{a_n}$.

Suy ra: $\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}$

Vậy (a$_{n}$) là một cấp số nhân với số hạng đầu a$_{1}$ = 4 và công bội q = $\frac{{\sqrt {10} }}{4}$.

Lời giải

Gọi u$_{n}$ là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.

Lãi suất mỗi tháng là 1% .

Ta có:

u$_{1}$ = 1 000 000 000 đồng.

u$_{2}$ = u$_{1}$ + u$_{1}$.1% - a = u$_{1}$(1 + 1%) – a (đồng)

u$_{3}$ = u$_{1}$(1 + 1%) – a + [u$_{1}$(1 + 1%) – a].1% – a = u$_{1}$(1 + 1%)$^{2}$ – a(1 + 1%) – a

...

u$_{n}$ = u$_{1}$(1 + 1%)$^{n-1}$ – a(1 + 1%)$^{n-2}$ – a(1 + 1%)$^{n-3}$ – a(1 + 1%)$^{n-4}$ – ... – a.

Ta thấy dãy a(1 + 1%)$^{n-2}$; a(1 + 1%)$^{n-3}$; a(1 + 1%)$^{n-4}$; ...; a lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu a$_{1}$ = a và công bội q = 1 + 1% = 99% có tổng n – 2 số hạng đầu là:

${S_{n - 2}} = \frac{{a\left[ {1 - {{\left( {99\% } \right)}^{n - 2}}} \right]}}{{1 - 99\% }} = 100a\left[ {1 - {{\left( {99\% } \right)}^{n - 2}}} \right]$.

Suy ra u$_{n}$ = u$_{1}$(1 + 1%)$^{n-1}$ – 100a[1 – (99%)$^{n-2}$].

Vì sau 2 năm = 24 tháng thì ông An trả xong số tiền nên n = 24 và u$_{24}$ = 0. Do đó ta có:

u$_{24}$ = u$_{1}$(1 + 1%)$^{23}$ – 100a[1 – (99%)$^{22}$] = 0

⇔ 1 000 000 000.(99%)$^{23}$ – 100a[1 – (99%)$^{22}$] = 0

⇔ a = 40 006 888,25

Vậy mỗi tháng ông An phải trả 40 006 888,25 đồng.