Giải SGK Toán 11 CD Bài 3. Đạo hàm cấp hai có đáp án

Từ y = sin3x ta có y' = (sin3x)' = 3cos3x.

Do đó y'' = (3cos3x)' = 3.3.(– sin3x) = –9sin3x.

a) Vận tốc tức thời: $v(t)=s'(t)={(\frac{1}{2}g{t}^{2})}^{'}=gt$ (m/s).

Tại thời điểm t$_{0}$ = 4 (s) thì v(4) ≈ 9,8 . 4 = 39,2 (m/s);

Tại thời điểm t$_{1}$ = 4,1 (s) thì v(4,1) ≈ 9,8 . 4,1 = 40,18 (m/s).

b) Xét hàm số y = log$_{3}$x xác định với mọi x > 0.

Với x > 0, ta có: ${y}^{'}={(lo{g}_{3}x)}^{'}=\frac{1}{x\ln 3}$

Suy ra ${y}^{''}={(\frac{1}{x\ln 3})}^{'}=-\frac{{(x\ln 3)}^{'}}{{(x\ln 3)}^{2}}=-\frac{\ln 3}{{x}^{2}{\ln }^{2}3}=\frac{-1}{{x}^{2}\ln 3}.$

c) Xét hàm số y = 2$^{x}$, ta có: y' = (2$^{x}$)' = 2$^{x}$.ln2

Suy ra y'' = (2$^{x}$.ln2)' = ln2.2$^{x}$.ln2 = 2$^{x}$.ln$^{2}$2.

a) Xét hàm số y = 3x$^{2}$ – 4x + 5, ta có:

y' = 6x – 4;

y'' = 6.

Do đó: y''(–2) = 6.

c) Xét hàm số y = e$^{4x + 3}$, ta có:

y' = (e$^{4x + 3}$)' = (4x + 3)'. e$^{4x + 3}$ = 4e$^{4x + 3}$;

y'' = (4e$^{4x + 3}$)' = 4.(4x + 3)'.e$^{4x + 3}$= 16e$^{4x + 3}$.

Do đó: y''(1) = 16e$^{4.1 + 3}$= 16e$^{7}$.

Xét hàm số $s(t)=\frac{1}{2}g{t}^{2}.$

a) Vận tốc tức thời của vật: v(t) = s'(t) = gt.

Tại thời điểm t$_{0}$ = 2 (s) có: v(2) ≈ 9,8 . 2 = 19,6 (m/s)

b) Gia tốc tức thời của vật: a(t) = v'(t) = g.

Tại thời điểm t$_{0}$ = 2 (s) có: a(2) ≈ 9,8 (m/s$^{2}$).

Xét hàm số s(t) = t$^{3}$ – 3t$^{2}$ + 8t + 1.

Suy ra v(t) = s'(t) = 3t$^{2}$ – 6t + 8;

a(t) = v'(t) = 6t – 6.

a) Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 3 (s) là v(3) = 3.3$^{2}$ – 6.3 + 8 = 17 (m/s).

Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 3 (s) là a(3) = 6.3 – 6 = 12 (m/s$^{2}$).

b) Tại thời điểm s(t) = 7 thì t$^{3}$ – 3t$^{2}$ + 8t + 1 = 7

Do đó t$^{3}$ – 3t$^{2}$ + 8t – 6 = 0.

Suy ra t = 1 (s)

Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 1 (s) là v(1) = 3.1$^{2}$ – 6.1 + 8 = 5 (m/s).

Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 1 (s) là a(1) = 6.1 – 6 = 0 (m/s$^{2}$).

a) Phương trình vận tốc tức thời của con lắc là:

v(t) = x'(t) = (4sint)' = 4cost.

Phương trình gia tốc tức thời của con lắc là:

a(t) = v'(t) = (4cost)' = 4(–sint) = –4sint.

b) Vận tốc tức thời của con lắc tại $t=\frac{2π}{3}$ (s) là: $v(\frac{2π}{3})=4cos\frac{2π}{3}=4\cdot (-\frac{1}{2})=-2$ (m/s).

Gia tốc tức thời của con lắc tại $t=\frac{2π}{3}$ (s) là: $a(\frac{2π}{3})=-4sin\frac{2π}{3}=-4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}$ (m/s$^{2}$).

Do vận tốc tức thời tại thời điểm $t=\frac{2π}{3}$ (s) mang giá trị âm nên con lắc lúc này đang di chuyển theo chiều âm của trục Ox.