Giải SGK Toán 11 CD Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án

a) ⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$.

Ta có ∆y = f(x$_{0}$ + ∆x) – f(x$_{0}$) = (x$_{0}$ + ∆x)$^{2}$ – (x$_{0}$)$^{2}$

$={x}_{0}^{2}+2{x}_{0}Δx+{(Δx)}^{2}-{x}_{0}^{2}$

$=2{x}_{0}Δx+{(Δx)}^{2}=Δx(2{x}_{0}+Δx).$

Suy ra $\frac{Δy}{Δx}=\frac{Δx(2{x}_{0}+Δx)}{Δx}=2{x}_{0}+Δx.$

⦁ Ta thấy $\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }\frac{Δy}{Δx}=\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }(2{x}_{0}+Δx)=2{x}_{0}+0=2{x}_{0}.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = x$^{2}$ tại điểm x$_{0}$ bất kì là y’(x$_{0}$) = 2x$_{0}$.

Ta có: ${f}^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ với x > 0.

Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm x$_{0}$= 9 là ${f}^{'}(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}.$

Ta có f’(x) = cosx.

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm ${x}_{0}=\frac{π}{2}$ là: ${f}^{'}(\frac{π}{2})=\cos \frac{π}{2}=0.$

Ta có: f’(x) = –sinx.

Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x$_{0}$ = 2 là: f’(2) = –sin2.

Ta có ${f}^{'}(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}(x\ne \frac{π}{2}+kπ,\ k\in ℤ).$

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm ${x}_{0}=-\frac{π}{6}$ là: ${f}^{'}(-\frac{π}{6})=\frac{1}{{\cos }^{2}(-\frac{π}{6})}=\frac{1}{{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}=\frac{4}{3}.$

Ta có: ${f}^{'}(x)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ (x ≠ kπ, k ∈ ℤ)

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm ${x}_{0}=-\frac{π}{3}$ là ${f}^{'}(-\frac{π}{3})=-\frac{1}{{\sin }^{2}(-\frac{π}{3})}=-\frac{1}{{(-\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}=\frac{-4}{3}.$

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = e$^{x + ∆x}$ – e$^{x}$.

Suy ra $\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }\frac{Δy}{Δx}=\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }\frac{{e}^{x+Δx}-{e}^{x}}{Δx}=\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }\frac{{e}^{x}({e}^{Δx}-1)}{Δx}={e}^{x}\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }\frac{{e}^{Δx}-1}{Δx}={e}^{x}\cdot 1={e}^{x}.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = e$^{x}$ tại điểm x bất kì là y' = e$^{x}$.

Ta có f’(x) = 10$^{x}$ln10

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x$_{0}$ =–1 là $f’(-1)={10}^{-1}\ln 10=\frac{\ln 10}{10}.$

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = ln(x + ∆x) – lnx.

Suy ra $\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }\frac{Δy}{Δx}=\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }\frac{\ln (x+Δx)-\ln x}{Δx}$

$=\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }\frac{\ln \frac{x+Δx}{x}}{Δx}=\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{Δx}{x})}{Δx}$

$=\underset{Δx\rightarrow 0}{\lim }[\frac{1}{x}\cdot \frac{\ln (1+\frac{Δx}{x})}{\frac{Δx}{x}}]=\frac{1}{x}\underset{\frac{Δx}{x}\rightarrow 0}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{Δx}{x})}{\frac{Δx}{x}}=\frac{1}{x}.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì là ${y}^{'}=\frac{1}{x}.$

Ta có: ${f}^{'}(x)=\frac{1}{x\ln 10}$ (x > 0).

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm ${x}_{0}=\frac{1}{2}$là ${f}^{'}(\frac{1}{2})=\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot \ln 10}=\frac{2}{\ln 10}.$

Ta có ${f}^{'}(x)={(x\sqrt{x})}^{'}={(x)}^{'}\cdot \sqrt{x}+x\cdot {(\sqrt{x})}^{'}$

$=1\cdot \sqrt{x}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{3\sqrt{x}}{2}$ (x > 0).

Xét f(x) = tanx + cotx, ta có: ${f}^{'}(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$với $x\ne \frac{π}{2}+kπ$ và x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

Vậy đạo hàm của hàm số trên là ${f}^{'}(\frac{π}{3})=\frac{1}{{\cos }^{2}\frac{π}{3}}-\frac{1}{{\sin }^{2}\frac{π}{3}}=\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}}-\frac{1}{{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.$

Đặt u = 3x + 1, ta có y = log$_{2}$u

Vậy y = log$_{2}$(3x + 1) là hàm hợp của hai hàm số y = log$_{2}$u và u = 3x + 1.

a) Đặt u = 3x + 1, ta có y = e$^{u}$.

Khi đó ${{y}^{'}}_{u}={({e}^{u})}^{'}={e}^{u}$ và ${{u}^{'}}_{x}=3.$

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có: ${{y}^{'}}_{x}={{y}^{'}}_{u}\cdot {{u}^{'}}_{x}={e}^{u}\cdot 3=3{e}^{u}=3{e}^{3x+1}.$

b) Đặt u = 2x – 3, ta có y = log$_{3}$u.

Khi đó ${{y}^{'}}_{u}={(lo{g}_{3}u)}^{'}=\frac{1}{u\ln 3}$ và ${{u}^{'}}_{x}=2.$

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có: ${{y}^{'}}_{x}={{y}^{'}}_{u}\cdot {{u}^{'}}_{x}=\frac{1}{u\ln 3}\cdot 2=3=\frac{2}{u\ln 3}=\frac{2}{(2x-3)\ln 3}.$

Phát biểu đúng là: a), b).

Phát biểu c) sai vì (uv)' = u'v + uv'.

Phát biểu (d) sai vì ${(\frac{u}{v})}^{'}=\frac{{u}^{'}v-u{v}^{'}}{{v}^{2}}.$

Đặt g = u . v và h = g . w.

Khi đó h' = g' . w + g . w'

= (uv)' . w + (uv) . w'

= (u'v + uv') . w + (uv) . w'

= u' . v . w + u . v' . w + u . v . w'.

a) y' = (4x$^{3}$)' – (3x$^{2}$)' + (2x)' + (10)'

= 4.3.x$^{2}$ – 3.2.x + 2.1

= 12x$^{2}$ – 6x + 2

b) ${y}^{'}={(\frac{x+1}{x-1})}^{'}=\frac{{(x+1)}^{'}(x-1)-(x+1){(x-1)}^{'}}{{(x-1)}^{2}}$

$=\frac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{{(x-1)}^{2}}=\frac{x-1-x-1}{{(x-1)}^{2}}=\frac{-2}{{(x-1)}^{2}}.$

c) ${y}^{'}={(-2x\sqrt{x})}^{'}={(-2x)}^{'}\cdot \sqrt{x}+(-2x)\cdot {(\sqrt{x})}^{'}$

$=-2\cdot \sqrt{x}-2x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-2\sqrt{x}-\sqrt{x}=-3\sqrt{x}.$

d) y’ = (3sinx)' + (4cosx)' – (tanx)'

$=3cosx-4sinx-\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

e) y' = (4$^{x}$)' + (2e$^{x}$)'

= 4$^{x}$ln4 + 2e$^{x}$.

g) y' = (xlnx)' = (x)'.lnx + x.(lnx)

$=1\cdot lnx+x\cdot \frac{1}{x}=lnx+1.$

a) Đặt y = f(x) = 2$^{3x + 2}$ và u = 3x + 2, ta có y = 2$^{3x + 2}$ = 2$^{u}$.

Vậy y = f(x) = 2$^{3x + 2}$ là hàm hợp của 2 hàm số y = 2$^{u}$, u = 3x + 2.

b) Từ y = 2$^{u}$ và u = 3x + 2, ta có ${{y}^{'}}_{u}={({2}^{u})}^{'}={2}^{u}\ln 2$ và ${{u}^{'}}_{x}=3.$

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có: ${{y}^{'}}_{x}={{y}^{'}}_{u}\cdot {{u}^{'}}_{x}={2}^{u}\ln 2\cdot 3=3\ln 2\cdot {2}^{u}=3\ln 2\cdot {2}^{3x+2}.$

a) y' = (sin3x)' + (sin$^{2}$x)'

= (3x)'.cos3x + 2(sinx)'.sinx

= 3.cos3x + 2cosx.sinx

= 3cos3x + sin2x.

b) y' = (log$_{2}$(2x + 1))' + (3$^{−2x + 1}$)'

$=\frac{{(2x+1)}^{'}}{(2x+1)\ln 2}+{(\frac{1}{{3}^{2x-1}})}^{'}=\frac{2}{(2x+1)\ln 2}-\frac{{({3}^{2x-1})}^{'}}{{({3}^{2x-1})}^{2}}$

$=\frac{2}{(2x+1)\ln 2}-\frac{{(2x-1)}^{'}\cdot {3}^{2x-1}\cdot \ln 3}{{({3}^{2x-1})}^{2}}$

$=\frac{2}{(2x+1)\ln 2}-\frac{2\cdot \ln 3}{{3}^{2x-1}}=\frac{2}{(2x+1)\ln 2}-2\ln 3\cdot {3}^{-2x+1}.$

a) Từ y = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 4, ta có: y' = (x$^{3}$)' – (3x$^{2}$)' + (4)' = 3x$^{2}$ – 6x.

Do đó y'(2) = 3.2$^{2}$ – 6.2 = 12 – 12 = 0.

y(2) = 2$^{3}$ – 3.2$^{2}$ + 4 = 8 – 12 + 4 = 0.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x$_{0}$ = 2 là: y = 0(x – 2) + 0 = 0.

b) Từ y = lnx, ta có: ${y}^{'}={(\ln x)}^{'}=\frac{1}{x}$

Do đó ${y}^{'}(e)=\frac{1}{e}$ và y(e) = lne = 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x$_{0}$ = e là: $y=\frac{1}{e}\cdot (x-e)+1$ hay $y=\frac{1}{e}x.$

c) Từ y = e$^{x}$, ta có: y' = (e$^{x}$)' = e$^{x}$.

Do đó y'(0) = e$^{0}$ = 1 và y(0) = e$^{0}$ = 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x$_{0}$ = 0 là: y = 1(x – 0) +1 hay y = x + 1.

Chọn gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên.

Phương trình chuyển động của viên đạn là:

$y(t)={v}_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}\ (g=9{,}8\ m/{s}^{2}).$

Vận tốc tại thời điểm t là: v = y'(t) = v$_{0}$ – gt (m/s).

Do đó để v = 0 thì v$_{0}$ – gt = 0

Suy ra $t=\frac{{v}_{0}}{g}=\frac{196}{9{,}8}=\ 20\ (s).$

Khi đó, viên đạn cách mặt đất một khoảng là: $y(20)=196\cdot 20-\frac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot {20}^{2}=1960\ (m).$

I(t) = q'(t) = (Q$_{0}$sinωt)' = Q$_{0}$ω.cosωt

Cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6 (s) là:

I(6) = 10$^{–8}$ ∙10$^{6}$π.cos(10$^{6}$π.6) = 10$^{–2}$π.cos0 = 0,01π (A).