Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Các phép biến đổi lượng giác có đáp án

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Có các công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác sau:

‒ Công thức cộng;

‒ Công thức nhân đôi;

‒ Công thức biến đổi tích thành tổng;

‒ Công thức biến đổi tổng thành tích.

Với $a = \frac{\pi }{6}$ ta có $\sin a = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}$; $\cos a = \cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Với $b = \frac{\pi }{3}$ ta có $\sin b = \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$; $\cos b = \cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}$.

Ta có $\sin \left( {a + b} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} = 1$;

$$\sin a\cos b + \cos a\sin b = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$$

Do đó sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (vì cùng bằng 1).

Ta có sin(a – b) = sin[a + (‒b)]

= sina cos(‒b) + cosa sin(‒b)

= sina cosb + cosa (‒sinb)

= sina cosb ‒ cosa sinb

Áp dụng công thức cộng ta có:

$$\sin \frac{\pi }{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}$$

$= \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}$.

Ta có: cos(a + b) = $\sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a + b} \right)} \right] = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - b} \right]$

$= \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right).\cos b - c{\rm{os}}\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right).\sin b$

$= \cos a.\cos b - \sin a.\sin b$

Vậy cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb.

Ta có: cos(a – b) = cos[a + (‒b)]

= cosa cos(‒b) – sina sin(‒b)

= cosa cosb ‒ sina (‒sinb)

= cosa cosb + sina sinb.

Vậy cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb.

Áp dụng công thức cộng, ta có:

cos15° = cos(45° ‒ 30°)

= cos45°.cos30° + sin45°.sin30°

$= \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}$.

Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

tan(a + b) $= \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{cos\left( {a + b} \right)}} = \frac{{\sin a\cos b + \cos a\sin b}}{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}$

$= \frac{{\frac{{\sin a\cos b + \cos a\sin b}}{{\cos a\cos b}}}}{{\frac{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}{{\cos a\cos b}}}}$ (chia cả tử và mẫu cho cosacosb)

$$= \frac{{\frac{{\sin a\cos b}}{{\cos a\cos b}} + \frac{{\cos a\sin b}}{{\cos a\cos b}}}}{{\frac{{\cos a\cos b}}{{\cos a\cos b}} - \frac{{\sin a\sin b}}{{\cos a\cos b}}}}$$

$$= \frac{{\frac{{\sin a}}{{\cos a}} + \frac{{\sin b}}{{\cos b}}}}{{1 - \frac{{\sin a}}{{\cos a}}.\frac{{\sin b}}{{\cos b}}}}$$

$$= \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}$$

Vậy $\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}$.

Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

$$tan\left( {a - b} \right) = tan\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]$$

$$= \frac{{\tan a + \tan \left( { - b} \right)}}{{1 - \tan a\tan \left( { - b} \right)}}$$

$= \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}$.

Vậy $\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}$.

Áp dụng công thức cộng, ta có:

tan165° = tan(120° + 45°)

$$= \frac{{\tan 120^\circ + \tan 45^\circ }}{{1 - \tan 120^\circ \tan 45^\circ }}$$

$$= \frac{{ - \sqrt 3 + 1}}{{1 - \left( { - \sqrt 3 } \right).1}} = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }} = \frac{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}}$$

$= \frac{{1 - 2\sqrt 3 + 3}}{{1 - 3}} = \frac{{4 - 1\sqrt 3 }}{{ - 2}} = - 2 + \sqrt 3$.

Vậy $\tan 165^\circ = - 2 + \sqrt 3$.

Ta có:

• sin2a = sin(a + a) = sinacosa + cosasina = 2sinacosa;

• cos2a = cos(a + a) = cosacosa – sinasina = cos$^{2}$a – sin$^{2}$a;

• Khi các biểu thức đều có nghĩa thì

$\tan 2a = \tan \left( {a + a} \right) = \frac{{\tan a + \tan a}}{{1 - \tan a\tan a}} = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}$.

Áp dụng công thức nhân đôi, ta có:

$\tan a = \frac{{2\tan \frac{a}{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{a}{2}}} = \frac{{2.\left( { - 2} \right)}}{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{ - 3}} = \frac{4}{3}$.

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:

• ${\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - cos\left( {2.\frac{\pi }{8}} \right)}}{2} = \frac{{1 - \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}$

Mà $\sin \frac{\pi }{8} > 0$ nên $\sin \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}$.

• ${\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 + cos\left( {2.\frac{\pi }{8}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}$

Mà $\cos \frac{\pi }{8} > 0$ nên $\cos \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}$.

Ta có:

• cos(a + b) + cos(a – b)

= (cosa cosb – sina sinb) + (cosa cosb + sina sinb)

= cosa cosb – sina sinb + cosa cosb + sina sinb

= 2cosa cosb.

• cos(a + b) – cos(a – b)

= (cosa cosb – sina sinb) – (cosa cosb + sina sinb)

= cosa cosb – sina sinb – cosa cosb – sina sinb

= –2sina sinb.

• sin(a + b) + sin(a – b)

= (sina cosb + cosa sinb) + (sina cosb ‒ cosa sinb)

= sina cosb + cosa sinb + sina cosb ‒ cosa sinb

= 2sina cosb.

Vậy cos(a + b) + cos(a – b) = 2cosa cosb;

cos(a + b) – cos(a – b) = –2sina sinb;

sin(a + b) + sin(a – b) = 2sina cosb.

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:

$B = \cos \frac{{3a}}{2}\cos \frac{a}{2}$

$= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{3a}}{2} + \frac{a}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{3a}}{2} - \frac{a}{2}} \right)} \right]$

$= \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos a} \right]$

Mà cos2a = 2cos$^{2}$a – 1 = $2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 1 = 2.\frac{4}{9} - 1 = - \frac{1}{9}$

Do đó $B = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos a} \right] = \frac{1}{2}.\left[ { - \frac{1}{9} + \frac{2}{3}} \right] = \frac{5}{{18}}$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}a + b = u\\a - b = v\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{u + v}}{2}\\b = \frac{{u - v}}{2}\end{array} \right.$.

Khi đó:

• cosu + cosv = cos(a + b) + cos(a – b)

= 2cosa cosb

$= 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}$.

• cosu – cosv = cos(a + b) – cos(a – b)

= –2sina sinb

$= - 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}$.

• sinu + sinv = sin(a + b) + sin(a – b)

= 2sina cosb

$= 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}$.

• sinu – sinv = sin(a + b) – sin(a – b)

= sin(b + a) + sin(b – a)

= 2sinb cosa = 2cosa sinb

$= 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}$.

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có:

$\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9} = 2\sin \frac{{\frac{{7\pi }}{9} + \frac{\pi }{9}}}{2}\cos \frac{{\frac{{7\pi }}{9} - \frac{\pi }{9}}}{2} = 2\sin \frac{{4\pi }}{9}\cos \frac{\pi }{3}$;

${\rm{cos}}\frac{{7\pi }}{9} - \cos \frac{\pi }{9} = - 2\sin \frac{{\frac{{7\pi }}{9} + \frac{\pi }{9}}}{2}\sin \frac{{\frac{{7\pi }}{9} - \frac{\pi }{9}}}{2} = - 2\sin \frac{{4\pi }}{9}\sin \frac{\pi }{3}$.

Khi đó: $D = \frac{{\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9}}}{{{\rm{cos}}\frac{{7\pi }}{9} - \cos \frac{\pi }{9}}}$

$= \frac{{2\sin \frac{{4\pi }}{9}\cos \frac{\pi }{3}}}{{ - 2\sin \frac{{4\pi }}{9}\sin \frac{\pi }{3}}} = - \frac{{\cos \frac{\pi }{3}}}{{\sin \frac{\pi }{3}}} = - \cot \frac{\pi }{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Do $0 < a < \frac{\pi }{2}$ nên $\sin a > 0$.

Áp dụng công thức sin$^{2}$a + cos$^{2}$a = 1, ta có:

$$si{n^2}a + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1$$

$\Rightarrow si{n^2}a = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}$

$\Rightarrow \sin a = \frac{4}{5}$ (do sina > 0).

Khi đó $\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\frac{4}{5}}}{{\frac{3}{5}}} = \frac{4}{3}$.

Áp dụng công thức cộng, ta có:

• $\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin a\cos \frac{\pi }{6} + \cos a\sin \frac{\pi }{6} = \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{3}{5}.\frac{1}{2} = \frac{{4\sqrt 3 + 3}}{{10}}$;

• $cos\left( {a - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos a\,cos\frac{\pi }{3} + \sin a\sin \frac{\pi }{3} = \frac{3}{5}.\frac{1}{2} + \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{10}}$;

• $\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan a + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan a\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{4}{3} + 1}}{{1 - \frac{4}{3}.1}} = \frac{{\frac{7}{3}}}{{ - \frac{1}{3}}} = - 7$.

Ta có:

A = sin(a – 17°)cos(a + 13°) – sin(a + 13°)cos(a – 17°)

= sin(a – 17°)cos(a + 13°) – cos(a – 17°)sin(a + 13°)

= sin[(a – 17°) – (a + 13°)]

= sin(a – 17° – a – 13°)

= sin(‒30°)

= ‒ sin30°

$= - \frac{1}{2}$.

$B = cos\left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right) - \sin \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right)$

$$= cos\left[ {\left( {b + \frac{\pi }{3}} \right) + \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right)} \right]$$

$$= cos\left[ {b + \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{6} - b} \right]$$

$= cos\frac{\pi }{2} = 0$.

Ta có:

tan2a = tan[(a + b) + (a – b)]

$= \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 - \tan \left( {a + b} \right)\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{3 + 2}}{{1 - 3.2}} = \frac{5}{{ - 5}} = - 1$;

tan2b = tan[(a + b) ‒ (a – b)]

$= \frac{{\tan \left( {a + b} \right) - \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 + \tan \left( {a + b} \right)\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{3 - 2}}{{1 + 3.2}} = \frac{1}{7}$.

Áp dụng công thức nhân đôi, ta có:

cos2a = 1 – 2sin$^{2}$a = $1 - 2.{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = 1 - 2.\frac{4}{5} = - \frac{3}{5}$.

cos4a = 2cos$^{2}$2a – 1 = $2.{\left( { - \frac{3}{5}} \right)^2} - 1 = 2.\frac{9}{{25}} - 1 = - \frac{7}{{25}}$.

Ta có: sina + cosa = 1

Þ (sina + cosa)$^{2}$ = 1$^{2}$

Þ sin$^{2}$a + 2sina cosa + cos$^{2}$a = 1

Þ 2sina cosa + (sin$^{2}$a + cos$^{2}$a) = 1

Þ sin2a + 1 = 1

Þ sin2a = 0.

Vậy với sina + cosa = 1 thì sin2a = 0.

Do $\frac{\pi }{2} < a < \pi$ nên cosa < 0 và sina > 0.

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

• ${\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2} = \frac{{1 - \frac{1}{3}}}{2} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \sin a = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ (do sina > 0).

• ${\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2} = \frac{{1 + \frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow \cos a = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}$ (do cosa < 0).

Khi đó: $\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{ - \frac{{\sqrt 6 }}{3}}}$$= - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy $\sin a = \frac{{\sqrt 3 }}{3},\cos a = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}$ và $\tan a = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Ta có:

$$A = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)$$

$$= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + \frac{\pi }{6} + x - \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6} - x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right]$$

$$= \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + \cos \frac{\pi }{3}} \right]$$

$= \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \right] = \frac{3}{8}$.

$B = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)$

$$= - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + \frac{\pi }{3} + x - \frac{\pi }{3}} \right) - \cos \left( {x + \frac{\pi }{3} - x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]$$

$$= - \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x - \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right]$$

$= - \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{4} - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right] = - \frac{3}{8}$.

Vậy $A = \frac{3}{8},B = - \frac{3}{8}$.

Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

$A = \frac{{\sin 2x}}{{1 + \cos 2x}}$

$= \frac{{2\sin x\cos x}}{{1 + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)}}$ (sử dụng công thức nhân đôi)

$= \frac{{2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x}}$

$= \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \tan x$.

Vậy A = tan x.

Đặt $\widehat {AOH} = \beta$.

Xét DAOH vuông tại H, ta có: $\tan \beta = \frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{14}}{{15}}$.

Đặt $\widehat {BOH} = \gamma$

Xét DBOH vuông tại H, ta có: $\tan \gamma = \frac{{BH}}{{HO}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}$.

$\tan \alpha = \tan \left( {\beta - \widehat {BOH}} \right) = \tan \left( {\beta - \gamma } \right) = \frac{{\tan \beta - \tan \gamma }}{{1 + \tan \beta \tan \gamma }}$

$= \frac{{\frac{{14}}{{15}} - \frac{4}{5}}}{{1 + \frac{{14}}{{15}}.\frac{4}{5}}} = \frac{{\frac{2}{{15}}}}{{\frac{{131}}{{75}}}} = \frac{{10}}{{131}}$.

Vậy $\tan \alpha = \frac{{10}}{{131}}$.

Từ $\tan \alpha = \frac{{10}}{{131}}$, để tìm số đo góc α, ta sử dụng máy tính cầm tay, trước tiên chuyển máy về chế độ “độ”, sau đó ấn lần lượt các nút:

Ta được kết quả làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ là 4°.

Vậy α ≈ 4°.

Kẻ AM ⊥ CK, BN ⊥CK (hình vẽ) ta có:

BN = AM = HK = 20 (m);

CN = CK – NK = CK – BH = 32 – 24 = 8 (m);

MN = AB = BH – AH = 24 – 6 = 18 (m);

CM = CN + MN = 8 + 18 = 26 (m).

Đặt $\widehat {BCN} = \alpha ,\widehat {ACM} = \beta$.

Xét DBCN vuông tại N có: $\tan \alpha = \frac{{BN}}{{CN}} = \frac{{20}}{8} = \frac{5}{2}$;

Xét DACM vuông tại M có: $\tan \beta = \frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{20}}{{26}} = \frac{{10}}{{13}}$;

Ta có: $\tan \widehat {ACB} = \tan \left( {\widehat {BCN} - \widehat {ACM}} \right) = \tan \left( {\alpha - \beta } \right)$

$\Rightarrow \tan \widehat {ACB} = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{{\frac{5}{2} - \frac{{10}}{{13}}}}{{1 + \frac{5}{2}.\frac{{10}}{{13}}}} = \frac{{45}}{{76}}$.

$\Rightarrow \widehat {ACB} \approx 31^\circ$.

Vậy góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư I) có số đo xấp xỉ 31°.