Giải SGK Toán 11 Cánh diều Bài 2. Phép tính lôgarit có đáp án

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Độ pH của cốc nước cam là: pH = –log[H$^{+}$] = –log10$^{–4}$ = –(–4) = 4;

Độ pH của cốc nước dừa là: pH = –log[H$^{+}$] = –log10$^{–5}$ = –(–5) = 5.

a) Ta có:

⦁ 3$^{x}$ = 9 ⇔ 3$^{x}$ = 3$^{2}$ ⇔ x = 2;

⦁ ${3}^{x}=\frac{1}{9}\Leftrightarrow {3}^{x}={3}^{-2}\Leftrightarrow x=-2.$

b) Có đúng một số thực x sao cho 3$^{x}$ = 5.

a) log$_{3}$81 = 4 vì 3$^{4}$ = 81;

b) ${\log }_{10}\frac{1}{100}=-2$ vì ${10}^{-2}=\frac{1}{100}.$

Với a > 0, a ≠ 1 ta có:

a) log$_{a}$1 = 0 vì a$^{0}$ = 1;

b) log$_{a}$a = 1 vì a$^{1}$ = a;

c) log$_{a}$a$^{c}$ = c vì a$^{c}$ = a$^{c}$;

d) Với b > 0, đặt log$_{a}$b = c, suy ra a$^{c}$ = b

Ta có ${a}^{{\log }_{a}b}={a}^{c}=b$

Vậy ${a}^{{\log }_{a}b}=b$ (với b > 0).

Ta có:

a) ${\log }_{4}\sqrt[5]{16}={\log }_{4}{16}^{\frac{1}{5}}={\log }_{4}{4}^{\frac{2}{5}}=\frac{2}{5};$

b) ${36}^{{\log }_{6}8}={({6}^{2})}^{{\log }_{6}8}={({6}^{{\log }_{6}8})}^{2}={8}^{2}=64.$

Độ pH của cốc nước cam là: pH = –log[H$^{+}$] = –log10$^{–4}$ = –(–4) = 4;

Độ pH của cốc nước dừa là: pH = –log[H$^{+}$] = –log10$^{–5}$ = –(–5) = 5.

a) Ta có:

⦁ log$_{2}$(mn) = log$_{2}$(2$^{7}$ . 2$^{3}$) = log$_{2}$2$^{10}$ = 10;

⦁ log$_{2}$m + log$_{2}$n = log$_{2}$ 2$^{7}$ + log$_{2}$ 2$^{3}$ = 7 + 3 = 10.

Suy ra log$_{2}$(mn) = log$_{2}$m + log$_{2}$n.

b) Ta có:

⦁ ${\log }_{2}(\frac{m}{n})={\log }_{2}(\frac{{2}^{7}}{{2}^{3}})={\log }_{2}{2}^{4}=4;$

⦁ log$_{2}$m – log$_{2}$n = log$_{2}$ 2$^{7}$ – log$_{2}$ 2$^{3}$ = 7 – 3 = 4.

Suy ra ${\log }_{2}(\frac{m}{n})={\log }_{2}m-{\log }_{2}n.$

a) $\ln (\sqrt{5}+2)+\ln (\sqrt{5}-2)=\ln [(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)]=\ln (5-4)=\ln 1=0;$

b) $\log 400-\log 4=\log \frac{400}{4}=\log 100=\log {10}^{2}=2;$

c) ${\log }_{4}8+{\log }_{4}12+{\log }_{4}\frac{32}{3}={\log }_{4}(8\cdot 12\cdot \frac{32}{3})={\log }_{4}(32\cdot 32)={\log }_{4}{4}^{5}=5.$

a) Với a > 0, a ≠ 1, b > 0, ta có:

⦁ Đặt ${a}^{{\log }_{a}{b}^{α}}=c$ suy ra ${\log }_{a}{a}^{{\log }_{a}{b}^{α}}={\log }_{a}c$ hay ${\log }_{a}c={\log }_{a}{b}^{α},$ do đó $c={b}^{α}$

Vậy ${a}^{{\log }_{a}{b}^{α}}={b}^{α}.$

⦁ Đặt ${a}^{α{\log }_{a}b}=c$ suy ra ${\log }_{a}{a}^{α{\log }_{a}b}={\log }_{a}c$ hay ${\log }_{a}c=α{\log }_{a}b$

Do đó ${\log }_{a}c={\log }_{a}{b}^{α}$ nên $c={b}^{α}$

Vậy ${a}^{α{\log }_{a}b}={b}^{α}.$

b) Vì ${a}^{{\log }_{a}{b}^{α}}={b}^{α};{a}^{α{\log }_{a}b}={b}^{α}$

Nên ${a}^{{\log }_{a}{b}^{α}}={a}^{α{\log }_{a}b}$

Suy ra ${\log }_{a}{b}^{α}=α{\log }_{a}b.$

Ta có:

$2{\log }_{3}5-{\log }_{3}50+\frac{1}{2}{\log }_{3}36\ ={\log }_{3}{5}^{2}-{\log }_{3}50+{\log }_{3}{36}^{\frac{1}{2}}\ ={\log }_{3}25-{\log }_{3}50+{\log }_{3}6\ ={\log }_{3}(\frac{25}{50}\cdot 6)={\log }_{3}3=1.$

a) Với a, b, c > 0 và a ≠ 1, b ≠ 1, ta có:

$c={b}^{{\log }_{b}c}\Leftrightarrow {\log }_{a}c={\log }_{a}{b}^{{\log }_{b}c}\Leftrightarrow {\log }_{a}c={\log }_{b}c\cdot {\log }_{a}b$

Vậy log$_{a}$c = log$_{b}$c . log$_{a}$b.

b) Từ log$_{a}$c = log$_{b}$c . log$_{a}$b suy ra ${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}.$

Ta sử dụng máy tính cầm tay để tính logarit như sau (lấy kết quả với 4 chữ số ở phần thập phân):

Chú ý: Với máy tính không có phím thì để tính log$_{7}$19, ta có thể dùng công thức đổi cơ số để đưa về cơ số 10 hoặc cơ số ℯ như sau:

$lo{g}_{7}19=\frac{log19}{log7}$ hoặc $lo{g}_{7}19=\frac{\ln 19}{\ln 7},$ sau đó dùng máy tính để tính như dưới đây:

Do đó log$_{7}$19 ≈ 1,5131.

Tương tự, ta cũng tính được log$_{11}$26 ≈ 1,3587.

Vậy log$_{7}$19 ≈ 1,5131 và log$_{11}$26 ≈ 1,3587.

a) log$_{12}$12$^{3}$ = 3;

b) log$_{0{,}5}$0,25 = log$_{0{,}5}$0,5$^{2}$ = 2;

c) log$_{a}$a$^{–3}$ = –3 (với a > 0, a ≠ 1).

a) ${8}^{{\log }_{2}5}={({2}^{3})}^{{\log }_{2}5}={2}^{3{\log }_{2}5}={2}^{{\log }_{2}{5}^{3}}={5}^{3}=125;$

b) ${(\frac{1}{10})}^{\log 81}={10}^{-\log 81}={10}^{\log {81}^{-1}}={81}^{-1}=\frac{1}{81};$

c) ${5}^{{\log }_{25}16}={5}^{{\log }_{{5}^{2}}16}={5}^{\frac{1}{2}{\log }_{5}16}={5}^{{\log }_{5}{16}^{\frac{1}{2}}}={16}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4.$

a) log$_{a}$(a$^{2}$b$^{3}$) = log$_{a}$a$^{2}$ + log$_{a}$b$^{3}$ = 2log$_{a}$a + 3log$_{a}$b = 2 . 1 + 3 . 2 = 8;

b) ${\log }_{a}\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt[3]{b}}={\log }_{a}{(\sqrt{a})}^{3}-{\log }_{a}{(\sqrt[3]{b})}^{4}={\log }_{a}{a}^{\frac{3}{2}}-{\log }_{a}{b}^{\frac{4}{3}}$

$=\frac{3}{2}{\log }_{a}a-\frac{4}{3}{\log }_{a}b=\frac{3}{2}\cdot 1-\frac{4}{3}\cdot 2=\frac{3}{2}-\frac{8}{3}=-\frac{7}{6};$

c) ${\log }_{a}(2b)+{\log }_{a}(\frac{{b}^{2}}{2})={\log }_{a}(2b\cdot \frac{{b}^{2}}{2})={\log }_{a}{b}^{3}=3{\log }_{a}b=3\cdot 2=6.$

Vì pH = – log [H$^{+}$] = – log 8 . 10$^{–8}$ ≈ 7,1

Suy ra độ pH không phù hợ cho tôm sú phát triển.

Số lượng tế bào đạt đến khối lượng Trái Đất là:

N = 6 . 10$^{27}$ . 10$^{3}$ : 5 . 10$^{–13}$ = 1,2 . 10$^{27}$

Số lần phân chia: N = N$_{0}$ . 2$^{n}$

Suy ra $n=\frac{\log N-\log {N}_{0}}{\log 2}=\frac{\log 1,{2.10}^{27}-\log {5.10}^{-13}}{\log 2}\approx 97{,}6$

Thời gian cần thiết là: 97,6 : 3 = 32,5 (giờ)

Vậy sau 32,5 giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất.