Giải SBT Toán lớp 11 – KNTT – Tập 1 Bài 16. Giới hạn của hàm số có đáp án

Ta có $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }x=1$ và $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }1=1$ .

Vậy $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=1$ nên hàm số f(x) có giới hạn khi x → 1.

a) $\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{4x+1-{3}^{2}}{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}$

$=\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{4(x-2)}{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}=\underset{x\rightarrow 2}{\lim }\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}=\frac{2}{3}$

b, $\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{{x}^{3}+{x}^{2}+x-3}{{x}^{3}-1}=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{({x}^{3}-1)+({x}^{2}-1)+(x-1)}{(x-1)({x}^{2}+x+1)}$

$=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{(x-1)[({x}^{2}+x+1)+(x+1)+1]}{(x-1)({x}^{2}+x+1)}=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{{x}^{2}+2x+3}{{x}^{2}+x+1}=\frac{1+2+3}{1+1+1}=2$

c, $\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }\frac{{x}^{2}-5x+6}{{(x-2)}^{2}}=\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }\frac{(x-2)(x-3)}{{(x-2)}^{2}}=\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-2}$

Vì $\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }(x-2)=0,\ \underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }(x-3)=2-3=-1<0$ và x – 2 > 0 khi x → 2$^{+}$, nên $\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-2}=-\infty$

Vậy .$\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }\frac{{x}^{2}-5x+6}{{(x-2)}^{2}}=-\infty$

d) $\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{{x}^{2}+x-2}{x}$

Vì ,$\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }({x}^{2}+x-2)=0+0-2=-2<0$ và x < 0 nên $\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{{x}^{2}+x-2}{x}=+\infty$ .

Ta có $\underset{x\rightarrow {3}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {3}^{+}}{\lim }({x}^{2}+ax)={3}^{2}+3a=9+3a$ ;

$\underset{x\rightarrow {3}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {3}^{-}}{\lim }(3{x}^{2}+1)={3.3}^{2}+1=28$.

Do đó, hàm số f(x) có giới hạn khi x → 3 khi $\underset{x\rightarrow {3}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {3}^{-}}{\lim }f(x)$ , tức là 9 + 3a = 28.

Suy ra $a=\frac{19}{3}$ .

Vì x = 1 là nghiệm của đa thức x$^{2}$ – 3x + 1 nên đa thức 2x$^{2}$ – ax + 1 phải có nghiệm x = 1. Khi đó, 2 . 1$^{2}$ – a . 1 + 1 = 0, suy ra a = 3.

Do đó, $\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{2{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}-3x+2}=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{2{x}^{2}-3x+1}{{x}^{2}-3x+2}=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{(2x-1)(x-1)}{(x-2)(x-1)}$.

$=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}=\frac{2.1-1}{1-2}=-1$

Vậy b = – 1.

Ta có $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(1-x)(1-{x}^{2})(1-{x}^{3})$

$=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }x(\frac{1}{x}-1){x}^{2}(\frac{1}{{x}^{2}}-1){x}^{3}(\frac{1}{{x}^{3}}-1)$

$=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }{x}^{6}(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{{x}^{2}}-1)(\frac{1}{{x}^{3}}-1)=-\infty$.

Ta có $g(x)=\sqrt{{x}^{2}+2x}-\sqrt{{x}^{2}-1}-2m$

$=\frac{{x}^{2}+2x-{x}^{2}+1}{\sqrt{{x}^{2}+2x}+\sqrt{{x}^{2}-1}}-2m$

$=\frac{2x+1}{\sqrt{{x}^{2}+2x}+\sqrt{{x}^{2}-1}}-2m$

$=\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{{x}^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{{x}^{2}}}}-2m$

Do đó, $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }g(x)=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{{x}^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{{x}^{2}}}}-2m)=\frac{2}{2}-2m=1-2m$ .

Mà nên 1 – 2m = 0, suy ra $m=\frac{1}{2}$ .

Ta có $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }[(m-x)(mx+1)]=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }[{x}^{2}(\frac{m}{x}-1)(m+\frac{1}{x})]$ .

Vì $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }(\frac{m}{x}-1)(m+\frac{1}{x})=-m$nên để $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }[(m-x)(mx+1)]=-\infty$thì – m < 0, có nghĩa là m > 0.

Vậy m > 0.

Lấy dãy số (x$_{n}$) bất kì sao cho x$_{n}$ → +∞. Khi đó

$|f({x}_{n})|=|\frac{{\sin }^{2}{x}_{n}}{{x}_{n}^{2}}|=\frac{{\sin }^{2}{x}_{n}}{{x}_{n}^{2}}\le \frac{1}{{x}_{n}^{2}}\rightarrow 0$ khi n → +∞.

Vậy $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }f({x}_{n})=0$ . Từ đó suy ra $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }f(x)=0$ .

a) Chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm là

$f(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{2x+55}{x}$ (triệu đồng).

b) Ta có $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2x+55}{x}=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{55}{x}}{1}=2$ .

Ý nghĩa của giới hạn trên: Khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm càng gần với 2 (triệu đồng).