Giải SBT Toán 9 CTST Bài 4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

a) $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{15}}=\frac{5\sqrt{2}\cdot \sqrt{15}}{{(\sqrt{15})}^{2}}=\frac{5\sqrt{2\cdot 15}}{15}=\frac{5\sqrt{30}}{15}=\frac{\sqrt{30}}{3}.$

b) $-\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{18}}=-\frac{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{18}}{{(\sqrt{18})}^{2}}=-\frac{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{{3}^{2}\cdot 2}}{18}=-\frac{2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}}{18}=\frac{6\sqrt{5\cdot 2}}{18}=\frac{\sqrt{10}}{3}.$

c) Với a > 0, b > 0, ta có:

$\frac{6a}{\sqrt{2a{b}^{2}}}=\frac{6a}{\sqrt{2a}\cdot \sqrt{{b}^{2}}}=\frac{6a}{\sqrt{2a}\cdot b}=\frac{6a\cdot \sqrt{2a}}{b\cdot {(\sqrt{2a})}^{2}}=\frac{6a\sqrt{2a}}{b\cdot 2a}=\frac{3\sqrt{2a}}{b}$

a) $\sqrt{\frac{10}{11}}=\sqrt{\frac{10\cdot 11}{{11}^{2}}}=\frac{\sqrt{110}}{\sqrt{{11}^{2}}}=\frac{\sqrt{110}}{11}.$

b) $\sqrt{\frac{42}{300}}=\sqrt{\frac{14\cdot 3}{3\cdot 100}}=\sqrt{\frac{14}{100}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{{10}^{2}}}=\frac{\sqrt{14}}{10}.$

c) $\sqrt{\frac{5a}{12b}}=\sqrt{\frac{5a}{4\cdot 3b}}=\sqrt{\frac{5a}{{2}^{2}\cdot 3b}}=\sqrt{\frac{5a\cdot 3b}{{2}^{2}\cdot {3}^{2}\cdot {b}^{2}}}=\frac{\sqrt{15ab}}{\sqrt{{(2\cdot 3)}^{2}\cdot {b}^{2}}}=\frac{\sqrt{15ab}}{6b}.$

a)$\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}=\frac{{(\sqrt{6}+2)}^{2}}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)}$

$\begin{matrix}=\frac{{(\sqrt{6})}^{2}+2\sqrt{6}\cdot 2+4}{{(\sqrt{6})}^{2}-{2}^{2}}=\frac{6+4\sqrt{6}+4}{6-4} \\ =\frac{10+4\sqrt{6}}{2}=\frac{2(5+2\sqrt{6})}{2}=5+2\sqrt{6}.\end{matrix}$

b) $\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)}=\frac{\sqrt{2}\cdot (\sqrt{5}+1)}{{(\sqrt{2})}^{2}\cdot (\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} \\ =\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2\cdot [{(\sqrt{5})}^{2}-{1}^{2}]}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2\cdot (5-1)}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{8}.\end{matrix}$

c) Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

$\begin{matrix}\frac{x-1}{2\sqrt{x}-\sqrt{x+3}}=\frac{(x-1)(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}{(2\sqrt{x}-\sqrt{x+3})(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3})} \\ =\frac{(x-1)(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}{{(2\sqrt{x})}^{2}-{(\sqrt{x+3})}^{2}} \\ =\frac{(x-1)(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}{4x-(x+3)} \\ =\frac{(x-1)(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}{3x-3} \\ =\frac{(x-1)(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}{3(x-1)} \\ =\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{x+3}}{3}.\end{matrix}$

Gọi chiều cao hình hộp chữ nhật là h (cm) (h > 0).

Khi đó, thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

$3\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}\cdot h=3\cdot 5\cdot h=15h$ (cm$^{3}$).

Theo bài, thể tích của hình hộp chữ nhật bằng $30\sqrt{5}$ cm nên ta có:

$15h=30\sqrt{5},$ suy ra: $h=\frac{30\sqrt{5}}{15}=2\sqrt{5}$ (cm).

Tổng độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật là:

$4\cdot (3\sqrt{5}+\sqrt{5}+2\sqrt{5})=4\cdot 6\sqrt{5}=24\sqrt{5}$ cm.

a) $\begin{matrix}\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}:\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{8\cdot 18}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \\ =\sqrt{144}\cdot \frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{{(\sqrt{5})}^{2}}=12\cdot \frac{\sqrt{2\cdot 5}}{5}=\frac{12\sqrt{10}}{5}.\end{matrix}$

b) $\begin{matrix}\sqrt{75}:\sqrt{45}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{45}}\cdot \frac{3}{\sqrt{2\cdot 5}} \\ =\sqrt{\frac{75}{45}}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}} \\ =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{{(\sqrt{3})}^{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.\end{matrix}$

Với a > 0, b > 0, ta có:

a) $\begin{matrix}=\sqrt{{2}^{2}\cdot a}+\sqrt{{5}^{2}\cdot a}-6\cdot \sqrt{\frac{a}{{2}^{2}}} \\ =2\sqrt{a}+5\sqrt{a}-6\cdot \frac{\sqrt{a}}{2} \\ =4\sqrt{a}.\end{matrix}$

b) $\begin{matrix}b\sqrt{\frac{a}{b}}+a\sqrt{\frac{b}{a}} \\ =\sqrt{{b}^{2}\cdot \frac{a}{b}}+\sqrt{{a}^{2}\cdot \frac{b}{a}} \\ =\sqrt{ab}+\sqrt{ab}=2\sqrt{ab}.\end{matrix}$

Do ∆ABC cân tại B nên BA = BC.

Do ∆ACD cân tại C nên CA = CD.

Do ∆ADE cân tại D nên DA = DE.

Do ∆AEF cân tại E nên EA = EF.

Xét ∆ACD vuông tại C, theo định lí Pythagore, ta có:

$DA=\sqrt{C{A}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{2C{D}^{2}}=CD\sqrt{2}=a\sqrt{2}$ (m).

Xét ∆ADE vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:

$EA=\sqrt{D{A}^{2}{\text{+DE}}^{2}}=\sqrt{2D{A}^{2}}=DA\sqrt{2}=a\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2a$ (m).

Xét ∆AEF vuông tại E, theo định lí Pythagore, ta có:

$AF=\sqrt{E{A}^{2}{\text{+EF}}^{2}}=\sqrt{2E{A}^{2}}=EA\sqrt{2}=2a\cdot \sqrt{2}=2a\sqrt{2}$ (m).

Xét ∆ABC vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:

$CA=\sqrt{B{A}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{2B{A}^{2}}=BA\sqrt{2}$

Suy ra $BA=\frac{CA}{\sqrt{2}}=\frac{CD}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (m).

Từ đó, $BF=BA+AF=\frac{a\sqrt{2}}{2}+2a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}+\frac{4a\sqrt{2}}{2}=\frac{5a\sqrt{2}}{2}$ (m).

Vậy $BF=\frac{5a\sqrt{2}}{2}\text{(m).}$

$\begin{matrix}A=\frac{x-16}{x+\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}+4}{x\sqrt{x}-1} \\ =\frac{{(\sqrt{x})}^{2}-{4}^{2}}{x+\sqrt{x}+1}\cdot \frac{{(\sqrt{x})}^{3}-1}{\sqrt{x}+4} \\ =\frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}{x+\sqrt{x}+1}\cdot \frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+4} \\ =(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}-1).\end{matrix}$

Thay x = 0,64 vào biểu thức trên ta được:

$\begin{matrix}A=(\sqrt{0{,}64}-4)(\sqrt{0{,}64}-1) \\ =(\sqrt{0,{8}^{2}}-4)(\sqrt{0,{8}^{2}}-1)\end{matrix}$

= (0,8 ‒ 4)(0,8 ‒ 1)

= ‒3,2.(‒0,2) = 0,64.

a) Thể tích của hình lập phương là: V = x$^{3}$ (cm$^{3}$).

Diện tích 1 mặt của hình lập phương là: x$^{2}$ (cm$^{2}$).

Do hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông cạnh x (cm) nên diện tích các mặt của hình lập phương là:

S = 6x$^{2}$ (cm$^{2}$).

b) Từ S = 6x$^{2}$, ta có: ${x}^{2}=\frac{S}{6},$ suy ra $x=\sqrt{\frac{S}{6}}$ (cm) (do x > 0).

Vậy công thức tính x theo S là: $x=\sqrt{\frac{S}{6}}$ (cm).

c) Thay $x=\sqrt{\frac{S}{6}}$ vào biểu thức V = x$^{3}$ ta được:

$V={(\sqrt{\frac{S}{6}})}^{3}=\frac{{(\sqrt{S})}^{3}}{{(\sqrt{6})}^{3}}=\frac{{(\sqrt{S})}^{2}\cdot \sqrt{S}}{{(\sqrt{6})}^{2}\cdot \sqrt{6}}=\frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{6}}=\frac{S\sqrt{6S}}{36}$ (cm$^{3}$).

Thay S = 50 vào biểu thức trên ta được:

$V=\frac{50\sqrt{6\cdot 50}}{36}=\frac{50\cdot \sqrt{{10}^{2}\cdot 3}}{36}=\frac{50\cdot 10\cdot \sqrt{3}}{36}=\frac{125\sqrt{3}}{9}$ (cm$^{3}$).

Vậy $V=\frac{125\sqrt{3}}{9}{\text{(cm}}^{3}\text{).}$