Giải SBT Toán 9 CTST Bài 4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

a) $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{15}}=\frac{5\sqrt{2}\cdot \sqrt{15}}{{(\sqrt{15})}^{2}}=\frac{5\sqrt{2\cdot 15}}{15}=\frac{5\sqrt{30}}{15}=\frac{\sqrt{30}}{3}.$

b) $-\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{18}}=-\frac{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{18}}{{(\sqrt{18})}^{2}}=-\frac{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{{3}^{2}\cdot 2}}{18}=-\frac{2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}}{18}=\frac{6\sqrt{5\cdot 2}}{18}=\frac{\sqrt{10}}{3}.$

c) Với a > 0, b > 0, ta có:

$\frac{6a}{\sqrt{2a{b}^{2}}}=\frac{6a}{\sqrt{2a}\cdot \sqrt{{b}^{2}}}=\frac{6a}{\sqrt{2a}\cdot b}=\frac{6a\cdot \sqrt{2a}}{b\cdot {(\sqrt{2a})}^{2}}=\frac{6a\sqrt{2a}}{b\cdot 2a}=\frac{3\sqrt{2a}}{b}$

a) $\sqrt{\frac{10}{11}}=\sqrt{\frac{10\cdot 11}{{11}^{2}}}=\frac{\sqrt{110}}{\sqrt{{11}^{2}}}=\frac{\sqrt{110}}{11}.$

b) $\sqrt{\frac{42}{300}}=\sqrt{\frac{14\cdot 3}{3\cdot 100}}=\sqrt{\frac{14}{100}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{{10}^{2}}}=\frac{\sqrt{14}}{10}.$

c) $\sqrt{\frac{5a}{12b}}=\sqrt{\frac{5a}{4\cdot 3b}}=\sqrt{\frac{5a}{{2}^{2}\cdot 3b}}=\sqrt{\frac{5a\cdot 3b}{{2}^{2}\cdot {3}^{2}\cdot {b}^{2}}}=\frac{\sqrt{15ab}}{\sqrt{{(2\cdot 3)}^{2}\cdot {b}^{2}}}=\frac{\sqrt{15ab}}{6b}.$

a)$\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}=\frac{{(\sqrt{6}+2)}^{2}}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)}$

$\begin{matrix}=\frac{{(\sqrt{6})}^{2}+2\sqrt{6}\cdot 2+4}{{(\sqrt{6})}^{2}-{2}^{2}}=\frac{6+4\sqrt{6}+4}{6-4} \\ =\frac{10+4\sqrt{6}}{2}=\frac{2(5+2\sqrt{6})}{2}=5+2\sqrt{6}.\end{matrix}$

b) $\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)}=\frac{\sqrt{2}\cdot (\sqrt{5}+1)}{{(\sqrt{2})}^{2}\cdot (\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} \\ =\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2\cdot [{(\sqrt{5})}^{2}-{1}^{2}]}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2\cdot (5-1)}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{8}.\end{matrix}$

c) Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

$\begin{matrix}\frac{x-1}{2\sqrt{x}-\sqrt{x+3}}=\frac{(x-1)(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}{(2\sqrt{x}-\sqrt{x+3})(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3})} \\ =\frac{(x-1)(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}{{(2\sqrt{x})}^{2}-{(\sqrt{x+3})}^{2}} \\ =\frac{(x-1)(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}{4x-(x+3)} \\ =\frac{(x-1)(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}{3x-3} \\ =\frac{(x-1)(2\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}{3(x-1)} \\ =\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{x+3}}{3}.\end{matrix}$

Gọi chiều cao hình hộp chữ nhật là h (cm) (h > 0).

Khi đó, thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

$3\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}\cdot h=3\cdot 5\cdot h=15h$ (cm$^{3}$).

Theo bài, thể tích của hình hộp chữ nhật bằng $30\sqrt{5}$ cm nên ta có:

$15h=30\sqrt{5},$ suy ra: $h=\frac{30\sqrt{5}}{15}=2\sqrt{5}$ (cm).

Tổng độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật là:

$4\cdot (3\sqrt{5}+\sqrt{5}+2\sqrt{5})=4\cdot 6\sqrt{5}=24\sqrt{5}$ cm.

a) $\begin{matrix}\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}:\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{8\cdot 18}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \\ =\sqrt{144}\cdot \frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{{(\sqrt{5})}^{2}}=12\cdot \frac{\sqrt{2\cdot 5}}{5}=\frac{12\sqrt{10}}{5}.\end{matrix}$

b) $\begin{matrix}\sqrt{75}:\sqrt{45}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{45}}\cdot \frac{3}{\sqrt{2\cdot 5}} \\ =\sqrt{\frac{75}{45}}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}} \\ =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{{(\sqrt{3})}^{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.\end{matrix}$