Giải SBT Toán 9 CTST Bài 1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Xét ∆OAB vuông tại O ta có:

⦁$\sin A=\frac{OB}{AB};\ \cos A=\frac{OA}{AB};\ \tan A=\frac{OB}{OA};\ \cot A=\frac{OA}{OB}.$

⦁ AB$^{2}$ = OA$^{2}$ + OB$^{2}$ (định lí Pythagore)

Suy ra OA$^{2}$ = AB$^{2}$ – OB$^{2}$ và OB$^{2}$ = AB$^{2}$ – OA$^{2}$.

a) Ta có: OA$^{2}$ = AB$^{2}$ – OB$^{2}$ = 7$^{2}$ – 4$^{2}$ = 33. Suy ra $OA=\sqrt{33}\text{cm}.$

$\sin A=\frac{OB}{AB}=\frac{4}{7};$$\cos A=\frac{OA}{AB}=\frac{\sqrt{33}}{7};$

$\tan A=\frac{OB}{OA}=\frac{4}{\sqrt{33}}=\frac{4\sqrt{33}}{33};$$\cot A=\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{33}}{4}.$

b) Ta có: AB$^{2}$ = OA$^{2}$ + OB$^{2}$ = 5$^{2}$ + 9$^{2}$ = 106. Suy ra $\sqrt{AB}=\sqrt{106}\text{cm}.$

$\sin A=\frac{OB}{AB}=\frac{9}{\sqrt{106}}=\frac{9\sqrt{106}}{106};$$\cos A=\frac{OA}{AB}=\frac{5}{\sqrt{106}}=\frac{5\sqrt{106}}{106};$

$\tan A=\frac{OB}{OA}=\frac{9}{5};$$\cot A=\frac{OA}{OB}=\frac{5}{9};$

c) Ta có: OA$^{2}$ = AB$^{2}$ – OB$^{2}$ = 11$^{2}$ – 6$^{2}$ = 85. Suy ra $\sqrt{OA}=\sqrt{85}\text{cm}.$

$\begin{matrix}\sin A=\frac{OB}{AB}=\frac{6}{11};\cos A=\frac{OA}{AB}=\frac{\sqrt{85}}{11}; \\ \tan A=\frac{OB}{OA}=\frac{6}{\sqrt{85}}=\frac{6\sqrt{85}}{85};\cot A=\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{85}}{6}.\end{matrix}$

Chú ý: Để tính cotα, ta sử dụng công thức cotα = tan(90° – α) hoặc

Ta có:

Ta có:

Ta có:

Chú ý: Để tính α khi biết cotα, ta tính

Gọi C là chân tường. Khi đó, tam giác ABC vuông tại C, ta có:

$\sin α=\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{6{,}5}{10}=0{,}65.$

Sử dụng máy tính cầm tay bấm liên tiếp các nút$\boxed{\ SHIFT\ }\ \boxed{\ \sin \ }\ \boxed{\ 0\ }\ \boxed{\ ,\ }\ \boxed{\ 6\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{^{\circ}\ '\ ''},$

sau đó làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ ta được: α ≈ 41°.

Gọi x và y lần lượt là góc giữa đường chéo và cạnh ngang, cạnh dọc.

Khi đó, ta có:$\tan x=\frac{71{,}8}{124{,}2},$ suy ra x ≈ 30°.

Mà x + y = 90° nên y = 90° – x ≈ 90° ‒ 30° = 60°.

Xét ∆ABM vuông tại A, ta có:$\cot \widehat{AMB}=\frac{AM}{AB}.$

Suy ra $AM=AB\cdot \cot \widehat{AMB}=AB\cdot \cot 60^{\circ}=\frac{AB\sqrt{3}}{3}\text{(m).}$

Xét ∆CMD vuông tại C, ta có: $\cot \widehat{CMD}=\frac{CM}{CD}.$

Suy ra $CM=CD\cdot \cot \widehat{CMD}=CD\cdot \cot 30^{\circ}=CD\sqrt{3}\text{(m).}$

Mà AB = CD nên $CM=AB\sqrt{3}\text{(m).}$

Ta có: AC = AM + CM

Suy ra:$80=\frac{AB\sqrt{3}}{3}+AB\sqrt{3}$

Hay $80=AB(\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3})$

Do đó $AB=\frac{80}{\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}}=\frac{80}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=20\sqrt{3}\text{(m).}$

Như vậy, chiều cao của trụ điện là $20\sqrt{3}$ mét.

Khoảng cách từ điểm M đến trụ điện AB là:$AM=\frac{AB\sqrt{3}}{3}=\frac{20\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}=20\ (\text{m}).$

Khoảng cách từ điểm M đến trụ điện CD là:

MC = AC ‒ AM = 80 ‒ 20 = 60 (m).