Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 6 có đáp án

Đáp án đúng là: C

• Thay x = 3 vào hàm số $y = - \frac{2}{3}{x^2},$ ta được:

$- \frac{2}{3} \cdot {3^2} = - 6.$

Do đó điểm (3; 8) và (3; –8) không thuộc đồ thị hàm số $y = - \frac{2}{3}{x^2}.$

• Thay x = ‒3 vào hàm số $y = - \frac{2}{3}{x^2},$ ta được:

$- \frac{2}{3} \cdot {\left( { - 3} \right)^2} = - 6.$

Do đó điểm (–3; 6) không thuộc đồ thị hàm số $y = - \frac{2}{3}{x^2},$ điểm (–3; –6) thuộc đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là: B

Khi y = 4, thay vào hàm số y = x$^{2}$, ta được:

x$^{2}$ = 4, suy ra x = 2 hoặc x = ‒2.

Đáp án đúng là: B

Do đồ thị của hàm số y = ax$^{2}$ (a ≠ 0) đi qua điểm A(1; – 2) nên thay x = 1 và y = ‒2 vào hàm số y = ax$^{2}$, ta được

a.1$^{2}$ = ‒2 hay a = ‒2.

Đáp án đúng là: A

Phương trình đã cho có ∆ = 0 nên nó có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}.$

Đáp án đúng là: A

Phương trình x$^{2}$ – 15x – 16 = 0 có a ‒ b + c = 1 ‒ (‒15) ‒16 = 1 + 15 ‒16 = 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = --1;\,\,{x_2} = - \frac{{ - 16}}{1} = 16.$

Đáp án đúng là: D

Phương trình $\frac{5}{9}x + 25 = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn, không phải phương trình bậc hai một ẩn.

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình x$^{2}$ + 3x – 70 = 0.

Ta có: ∆ = 3$^{2}$ – 4.1.(–70) = 9 + 280 = 289 > 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có:

$S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{1} = - 3;$

$P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 70}}{1} = - 70.$

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x$^{2}$ + 6x – 91 = 0.

Ta có: ∆’ = 3$^{2}$ – 1.1(–91) = 9 + 91 = 100 > 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có:

${x_1} + {x_2} = - \frac{6}{1} = - 6;\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{ - 91}}{1} = - 91.$

Khi đó:

$$x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1} - 2{x_2}$$

$$= x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_1} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$$

$$= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_1} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$$

Thay x$_{1}$ + x$_{2}$= ‒ 6 và x$_{1}$x$_{2}$ = ‒91 vào biểu thức trên, ta được:

(‒6)$^{2}$ ‒ 2.(‒91) ‒ 2.(‒6) = 36 + 182 + 12 = 230.

Thay x = 2, y = 2 vào hàm số y = ax$^{2}$, ta được:

2 = 2$^{2}$.a hay 4a = 2, suy ra $a = \frac{1}{2}.$

Do đó ý a) là sai.

Nếu a > 0 thì đồ thị của hàm số y = ax$^{2}$ (a ≠ 0) nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Do đó ý b) là đúng.

Nếu a < 0 thì đồ thị của hàm số y = ax$^{2}$ (a ≠ 0) nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. Do đó ý c) là đúng.

Đồ thị của hàm số y = ax$^{2}$ (a ≠ 0) là một đường cong parabol đỉnh O, nhận trục tung làm trục đối xứng. Do đó ý d) là đúng.

Vậy:

a) S.

b) Ð.

c) Ð.

d) Đ.

Phương trình 5x$^{2}$ – 7x + 2 = 0 có a + b + c = 5 ‒ 7 + 2 = 0 nên có hai nghiệm là

${x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{5}.$

Ta có vai trò của hai nghiệm x$_{1}$ và x$_{2}$ trong biểu thức $x_1^2 + x_2^2$ là như nhau.

Khi đó: $x_1^2 + x_2^2 = {1^2} + {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} = 1 + \frac{4}{{25}} = \frac{{29}}{{25}}.$

Vậy:

a) S.

b) Đ.

c) S.

d) Đ.

Nếu phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ∆ = 0 thì phương trình đó có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}.$ Do đó ý a) là sai, ý b) là đúng.

Nếu phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}.$ Do đó ý c) là đúng.

Nếu phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có b = 2b’, ∆’ = b’ – ac > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};\,\,{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}.$ Do đó ý d) là sai.

Vậy:

a) S.

b) Ð.

c) Ð.

d) S.

Ta có bảng giá trị của hai hàm số:

• Trên mặt phẳng Oxy, lấy điểm A(‒2; 3); $B\left( { - 1;\frac{3}{4}} \right);$ O(0; 0); $C\left( {1;\,\,\frac{3}{4}} \right);$ D(2; 3); A’(‒2; ‒3); $B'\left( { - 1; - \frac{3}{4}} \right);$ $D\left( {1; - \frac{3}{4}} \right);$ D(2; ‒3).

• Đồ thị của hàm số $y = \frac{3}{4}{x^2}$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua 5 điểm A, B, O, C, D và có dạng như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số $y = - \frac{3}{4}{x^2}$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua 5 điểm A’, B’, O, C’, D’ và có dạng như hình vẽ.

b) Đồ thị của hai hàm số đối xứng với nhau qua trục Ox.

c) Đường thẳng d cắt parabol (P) tại điểm E có hoành độ –2, nên thay x = –2 vào $y = \frac{3}{4}{x^2},$ ta được $y = \frac{3}{4} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} = 3.$ Do đó ta có điểm E(–2; 3).

Điểm E(–2; 3) thuộc đường thẳng d, nên thay x = –2 và y = 3 vào hàm số y = (3m – 2)x + 5, ta được:

3 = (3m – 2).(–2) + 5

‒6m + 4 + 5 ‒ 3 = 0

‒6m = ‒6

m = 1.

Vậy m = 1.

a) Đồ thị hàm số (P): y = ax$^{2}$ đi qua điểm M(2; –2) nên thay x = 2; y = –2 vào hàm số y = ax$^{2}$, ta được

‒2 = a.2$^{2}$ hay 4a = ‒2, suy ra $a = - \frac{1}{2}.$

Vậy $(P):y = - \frac{1}{2}{x^2}.$

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒4; ‒8); B (‒2; ‒2); O(0; 0); C(2; ‒2); D(4; ‒8).

• Đồ thị của hàm số $y = - \frac{{{x^2}}}{2}$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Thay x = –3 vào hàm số $y = - \frac{1}{2}{x^2},$ ta được $y = - \frac{1}{2} \cdot {\left( { - 3} \right)^2} = - \frac{9}{2}.$

Vậy tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ x = –3 là bằng $- \frac{9}{2}.$

c) Thay y = –4,5 vào hàm số $y = - \frac{1}{2}{x^2},$ ta được:

$- 4{,}5 = - \frac{1}{2}{x^2},$ suy ra x$^{2}$ = 9, do đó x = 3; x = –3.

Vậy các điểm (–3; –4,5) và (3; –4,5) thuộc parabol có tung độ y = –4,5.

a) ‒ Vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{2}{3}{x^2}$

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(–3; 6); $B\left( { - 2;\,\,\frac{8}{3}} \right);$ O(0; 0); $C\left( {2;\,\,\frac{8}{3}} \right);$ D(3; 6).

• Đồ thị của hàm số $y = \frac{2}{3}{x^2}$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

‒ Vẽ đường thẳng $d:y = - \frac{1}{3}x + 1$

⦁ Cho x = 0 ta có y = 1. Đường thẳng d đi qua điểm E(0; 1).

⦁ Cho x = 3 ta có y = 0. Đường thẳng d đi qua điểm F(3; 0).

Đồ thị hàm số $y = - \frac{1}{3}x + 1$ là đường thẳng d đi qua hai điểm E(0; 1) và F(3; 0).

Đồ thị (P) của hàm số $y = \frac{2}{3}{x^2}$ và đường thẳng $d:y = - \frac{1}{3}x + 1$ được vẽ như sau:

b) Gọi (x$_{0}$; y$_{0}$) là tọa độ giao điểm của (P) và d.

Khi đó, ta có ${y_0} = \frac{2}{3}x_0^2$ và ${y_0} = - \frac{1}{3}{x_0} + 1.$

Suy ra $\frac{2}{3}x_0^2 = - \frac{1}{3}{x_0} + 1$

$\frac{2}{3}x_0^2 + \frac{1}{3}{x_0} - 1 = 0$

$$2x_0^2 + {x_0} - 3 = 0$$

Phương trình trên a + b + c = 2 + 1 ‒ 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = - \frac{3}{2}.$

Thay x$_{1}$ = 1 vào hàm số $y = \frac{2}{3}{x^2},$ ta được ${y_1} = \frac{2}{3} \cdot {1^2} = \frac{2}{3}.$

Thay ${x_2} = - \frac{3}{2}$ vào hàm số $y = \frac{2}{3}{x^2},$ ta được ${y_2} = \frac{2}{3} \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{2}.$

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và d là $\left( {1;\,\,\frac{2}{3}} \right)$ và $\left( { - \frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2}} \right).$

a) $7{x^2} + 14\sqrt 5 x = 0$

$$x\left( {7x + 14\sqrt 5 } \right) = 0$$

x = 0 hoặc $7x + 14\sqrt 5 = 0$

x = 0 hoặc $x = - 2\sqrt 5 .$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = 0;\,\,x = - 2\sqrt 5 .$

b) 5x$^{2}$ – 3 = 0

5x$^{2}$ = 3

$${x^2} = \frac{3}{5}$$

$x = \sqrt {\frac{3}{5}}$ hoặc $x = - \sqrt {\frac{3}{5}}$

$x = \frac{{\sqrt {15} }}{5}$ hoặc $x = - \frac{{\sqrt {15} }}{5}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = \frac{{\sqrt {15} }}{5};x = - \frac{{\sqrt {15} }}{5}$

c) 7x$^{2}$ – 5x = 10 – 2x

7x$^{2}$ ‒ 3x ‒ 10 = 0

Phương trình trên có a ‒ b + c = 7 ‒ (‒3) + (‒10) = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{{ - 10}}{7} = \frac{{10}}{7}.$

d) (x + 7)$^{2}$ = 81.

x + 7 = 9 hoặc x + 7 = ‒9

x = 2 hoặc x = ‒16

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2; x = ‒16.

a) Xét phương trình 3x$^{2}$ + 23x – 36 = 0

Ta có: a = 3; b = 23, c = ‒36, ∆ = 23$^{2}$ ‒ 4.3.(‒36) = 529 + 432 = 961 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 23 + \sqrt {961} }}{{2 \cdot 3}} = \frac{{ - 23 + 31}}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3};$$

$${x_2} = \frac{{ - 23 - \sqrt {961} }}{{2 \cdot 3}} = \frac{{ - 23 - 31}}{6} = \frac{{ - 54}}{6} = - 9.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{4}{3};\,\,{x_2} = - 9.$

b) ${x^2} + \frac{8}{3}x = 1$

${x^2} + \frac{8}{3}x - 1 = 0$

3x$^{2}$ + 8x ‒ 3 = 0

Ta có: a = 3; b’ = 4, c = ‒3, ∆’ = 4$^{2}$ ‒ 3.(‒3) = 16 + 9 = 25 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 4 + \sqrt {25} }}{3} = \frac{{ - 4 + 5}}{3} = \frac{1}{3};$$

$${x_2} = \frac{{ - 4 - \sqrt {25} }}{3} = \frac{{ - 4 - 5}}{3} = \frac{{ - 9}}{3} = - 3.$$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{1}{3};\,\,{x_2} = - 3.$

c) Xét phương trình $7{x^2} - 2\sqrt 7 x + 1 = 0$

Ta có: a = 7; $b' = - \sqrt 7 ;$ c = 1, $\Delta ' = {\left( { - \sqrt 7 } \right)^2} - 7 \cdot 1 = 7 - 7 = 0.$

Do đó phương trình có nghiệm kép là ${x_1} = {x_2} = - \frac{{ - \sqrt 7 }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{7}.$

d) x(2x + 5) = x$^{2}$ – 9.

2x$^{2}$ + 5x – x$^{2}$ + 9 = 0

x$^{2}$ + 5x + 9 = 0

Ta có: a = 1, b = 5, c = 9, ∆ = 5$^{2}$ – 4.1.9 = 25 – 36 = ‒11 < 0.

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

a) Xét phương trình ${x^2} - \left( {3 + \sqrt 5 } \right)x + 3\sqrt 5 = 0$

Phương trình trên có a = 1; $b = - \left( {3 + \sqrt 5 } \right),\,\,c = 3\sqrt 5 .$

Ta có: $\Delta = {\left[ { - \left( {3 + \sqrt 5 } \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot 3\sqrt 5 = 9 + 6\sqrt 5 + 5 - 12\sqrt 5$

$$= 9 - 6\sqrt 5 + 5 = {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^2} > 0.$$

Suy ra $\sqrt \Delta = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = \left| {3 - \sqrt 5 } \right| = 3 - \sqrt 5 .$

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{3 + \sqrt 5 + 3 - \sqrt 5 }}{{2 \cdot 1}} = \frac{6}{2} = 3;$$

$${x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 - \left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{3 + \sqrt 5 - 3 + \sqrt 5 }}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 .$$

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = 3;\,\,{x_2} = \sqrt 5 .$

b) (2x – 5)(3x + 2) = (5x + 1)(3x + 2)

(2x – 5)(3x + 2) ‒ (5x + 1)(3x + 2) = 0

(3x + 2)(2x ‒ 5 ‒ 5x ‒ 1) = 0

(3x + 2)(‒3x ‒ 6) = 0

3x + 2 = 0 hoặc ‒3x ‒ 6 = 0

$x = - \frac{3}{2}$ hoặc x = ‒2.

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = - \frac{3}{2};\,\,{x_2} = - 2.$

c) ${x^2} + x = 2\sqrt 3 \left( {x + 1} \right)$

$$x\left( {x + 1} \right) - 2\sqrt 3 \left( {x + 1} \right) = 0$$

$$\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2\sqrt 3 } \right) = 0$$

x + 1 = 0 hoặc $x - 2\sqrt 3 = 0$

x = ‒1 hoặc $x = 2\sqrt 3$

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = - 1;\,\,{x_2} = 2\sqrt 3 .$

a) u và v là hai nghiệm của phương trình x$^{2}$ + 2x – 35 = 0.

Phương trình trên có a = 1, b’ = 1, c = ‒25, ∆ = 1$^{2}$ ‒ 1.(‒35) = 1 + 35 = 36 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {36} }}{1} = \frac{{ - 1 + 6}}{1} = 5;$$

$${x_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {36} }}{1} = \frac{{ - 1 - 6}}{1} = - 7.$$

Vậy u = 5; v = –7 hoặc u = –7; v = 5.

b) Ta có S = 8, P = 105 nên S$^{2}$ – 4P = 8$^{2}$ – 4.105 = 64 – 420 = ‒356 < 0.

Do đó không có hai số u và v thoả mãn điều kiện đã cho.

c) Ta có (u + v)$^{2}$ = u$^{2}$ + 2uv + v$^{2}$ = (u$^{2}$ + v$^{2}$) + 2uv.

Suy ra (–1)$^{2}$ = 25 + 2uv

Hay 2uv = –24

Do đó uv = –12.

Với u + v = –1, uv = –12 ta có u và v là hai nghiệm của phương trình x$^{2}$ + x ‒ 12 = 0.

Phương trình trên có a = 1, b = 1, c = ‒12, ∆ = 1$^{2}$ ‒ 4.1.(‒12) = 1 + 48 = 49 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {49} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 1 + 7}}{2} = \frac{6}{2} = 3;$$

$${x_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {49} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 1 - 7}}{2} = \frac{{ - 8}}{2} = - 4.$$

Vậy u = 3; v = – 4 hoặc u = – 4; v = 3.

Xét phương trình 2x$^{2}$ – 9x – 5 = 0.

Phương trình trên có a = 2, b = –9, c = –5 và ∆ = (–9)$^{2}$ – 4.2.( –5) = 81 + 40 = 121 > 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có: $S = {x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 9}}{2} = \frac{9}{2};\,\,\,P = {x_1}{x_2} = - \frac{5}{2}.$

a) $A = x_1^2x_2^2 - 2x_1^2 - 2x_2^2$

$$= {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)$$

$$= {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 2\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}} \right)$$

$$= {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]$$

Thay ${x_1} + {x_2} = \frac{9}{2}$ và ${x_1}{x_2} = - \frac{5}{2}$ vào biểu thức trên, ta được:

$$A = {\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} - 2 \cdot \left[ {{{\left( {\frac{9}{2}} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - \frac{5}{2}} \right)} \right]$$

$$= \frac{{25}}{4} - 2 \cdot \left( {\frac{{81}}{4} + 5} \right)$$

$$= \frac{{25}}{4} - \frac{{81}}{2} - 10$$

$$= \frac{{25}}{4} - \frac{{162}}{4} - \frac{{40}}{4} = - \frac{{177}}{4}.$$

b) $B = \frac{{5{x_2}}}{{{x_1} + 2}} + \frac{{5{x_1}}}{{{x_2} + 2}}.$

$$= \frac{{5{x_2}\left( {{x_2} + 2} \right) + 5{x_1}\left( {{x_1} + 2} \right)}}{{\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)}}$$

$$= \frac{{5x_2^2 + 10{x_2} + 5x_1^2 + 10{x_1}}}{{{x_1}{x_2} + 2{x_1} + 2{x_2} + 4}}$$

$$= \frac{{5\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 10\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}$$

$$= \frac{{5\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + 10\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}$$

Thay ${x_1} + {x_2} = \frac{9}{2}$ và ${x_1}{x_2} = - \frac{5}{2}$ vào biểu thức trên, ta được:

$$B = \frac{{5 \cdot \left[ {{{\left( {\frac{9}{2}} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - \frac{5}{2}} \right)} \right] + 10 \cdot \frac{9}{2}}}{{ - \frac{5}{2} + 2 \cdot \frac{9}{2} + 4}}$$

$$= \frac{{5 \cdot \left( {\frac{{81}}{4} + 5} \right) + 45}}{{ - \frac{5}{2} + 9 + 4}} = \frac{{\frac{{405}}{4} + 25 + 45}}{{ - \frac{5}{2} + 13}}$$

$= \frac{{\frac{{405 + 100 + 180}}{4}}}{{\frac{{ - 5 + 26}}{2}}} = \frac{{685}}{4} \cdot \frac{2}{{21}}$$= \frac{{685}}{{42}}.$

Xét phương trình 5x$^{2}$ – 7x + 1 = 0 có ∆ = (–7)$^{2}$ – 4.5.1 = 49 – 20 = 29 > 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 7}}{5} = \frac{7}{5};\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{1}{5}.$

Ta có: $A = \left( {{x_1} - \frac{7}{5}} \right){x_1} + \frac{1}{{25x_2^2}} + x_2^2$

$= \left[ {{x_1} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]{x_1} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} \cdot \frac{1}{{x_2^2}} + x_2^2$

$= \left[ {{x_1} - {x_1} - {x_2}} \right]{x_1} + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} \cdot \frac{1}{{x_2^2}} + x_2^2$

$= - {x_1}{x_2} + x_1^2x_2^2 \cdot \frac{1}{{x_2^2}} + x_2^2$

$= - {x_1}{x_2} + x_1^2 + x_2^2$

$= - {x_1}{x_2} + \left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2}$

$= - {x_1}{x_2} + {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$

$= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}$

$= {\left( {\frac{7}{5}} \right)^2} - 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{{49}}{{25}} - \frac{3}{5} = \frac{{49}}{{25}} - \frac{{15}}{{25}} = \frac{{34}}{{25}}.$

Gọi x là số sản phẩm mà người công nhân phải làm theo kế hoạch mỗi ngày (x ∈ ℕ$^{*}$, x < 120).

Số sản phẩm mỗi ngày mà người đó đã làm theo thực tế là x + 3 (sản phẩm).

Thời gian mà người đó phải hoàn thành theo kế hoạch là $\frac{{120}}{x}$ (ngày).

Thời gian mà người đó đã hoàn thành theo thực tế là $\frac{{120}}{{x + 3}}$ (ngày).

Theo bài, người đó đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày nên ta có phương trình: $\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 3}} = 2.$

Giải phương trình:

$\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 3}} = 2$

$\frac{{60}}{x} - \frac{{60}}{{x + 3}} = 1$

$\frac{{60\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{60x}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}}$

60(x + 3) – 60x = x(x + 3)

60x + 180 – 60x = x$^{2}$ + 3x

x$^{2}$+ 3x ‒180 = 0

Phương trình trên có a = 1, b = 3, c = ‒180, ∆ = 3$^{2}$ ‒ 4.1.(‒180) = 9 + 720 = 729 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 3 + \sqrt {729} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 3 + 27}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12;$$

$${x_2} = \frac{{ - 3 - \sqrt {729} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 3 - 27}}{2} = \frac{{ - 30}}{2} = - 15.$$

Ta thấy chỉ có giá trị x$_{1}$ = 12 thoả mãn điều kiện.

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày công nhân đó phải làm 12 sản phẩm.

Gọi x (m) là chiều dài của mảnh vườn (x > 0).

Do mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 1 000 m$^{2}$ nên chiều rộng của mảnh vườn là $\frac{{1\,\,000}}{x}\,\,({\rm{m}}).$

Nếu tăng chiều dài thêm 10 m thì chiều dài của mảnh vườn lúc sau là x + 10 (m).

Nếu giảm chiều rộng đi 5 m thì chiều rộng của mảnh vườn lúc sau là $\frac{{1\,\,000}}{x} - 5\,\,({\rm{m}}).$

Diện tích của mảnh vườn khi đó là:

$\left( {x + 10} \right)\left( {\frac{{1\,\,000}}{x} - 5} \right){\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Theo bài, sau khi thay đổi kích thước thì diện tích mảnh vườn không thay đổi, nên ta có phương trình: $\left( {x + 10} \right)\left( {\frac{{1\,\,000}}{x} - 5} \right) = 1\,\,000.$

Giải phương trình:

$\left( {x + 10} \right)\left( {\frac{{1\,\,000}}{x} - 5} \right) = 1\,\,000$

$1\,\,000 - 5x + \frac{{10\,\,000}}{x} - 50 = 1\,\,000$

$- 5x + \frac{{10\,\,000}}{x} - 50 = 0$

$- x + \frac{{2\,\,000}}{x} - 10 = 0$

$\frac{{ - {x^2}}}{x} + \frac{{2\,\,000}}{x} - \frac{{10x}}{x} = 0$

‒x$^{2}$ + 2 000 ‒ 10x = 0

x$^{2}$ + 10x ‒ 2 000 = 0

Phương trình trên có a = 1, b’ = 5, c = ‒2 000, ∆’ = 5$^{2}$ – 1.(‒2 000) = 2 025 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$${x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {2\,\,025} }}{1} = \frac{{ - 5 + 45}}{1} = 40;$$

$${x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {2\,\,025} }}{1} = \frac{{ - 5 - 45}}{1} = - 50.$$

Ta thấy chỉ có giá trị x$_{1}$ = 40 thoả mãn điều kiện.

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 40 m, chiều rộng của mảnh vườn $\frac{{1\,\,000}}{{40}} = 25$ m.

Gọi x (km/h) là tốc độ lúc đầu của ô tô (x > 0).

Thời gian dự định đi từ A đến B là $\frac{{180}}{x}$ (giờ).

Quãng đường ô tô đi được sau 1 giờ là: x (km).

Quãng đường còn lại sau khi đi được 1 giờ là 180 – x (km).

Vận tốc ô tô đi quãng đường còn lại là: x + 12 (km/h).

Thời gian đi quãng đường lúc sau là $\frac{{180 - x}}{{x + 12}}$ (giờ).

Theo bài, ô tô dừng lại 20 phút = $\frac{1}{3}$ giờ để sửa chữa và vẫn đến tỉnh B đúng giờ đã định nên ta có phương trình: $\frac{{180}}{x} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{{180 - x}}{{x + 12}}.$

Giải phương trình:

$\frac{{180}}{x} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{{180 - x}}{{x + 12}}$

$\frac{{180}}{x} - \frac{{180 - x}}{{x + 12}} = \frac{4}{3}$

$\frac{{180 \cdot 3\left( {x + 12} \right)}}{{3x\left( {x + 12} \right)}} - \frac{{\left( {180 - x} \right) \cdot 3x}}{{3x\left( {x + 12} \right)}} = \frac{{4x\left( {x + 12} \right)}}{{3x\left( {x + 12} \right)}}$

180.3(x + 12) – (180 – x).3x = 4x(x + 12)

540x + 6 480 – 540x + 3x$^{2}$ = 4x$^{2}$ + 48x

x$^{2}$ + 48x ‒ 6 480 = 0

Phương trình trên có a = 1, b’ = 24, c = ‒ 6 480, ∆’ = 24$^{2}$ – 1.(‒6 480) = 7 056 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 24 + \sqrt {7\,\,056} }}{1} = \frac{{ - 24 + 84}}{1} = 60;$

${x_2} = \frac{{ - 24 - \sqrt {7\,\,056} }}{1} = \frac{{ - 24 - 84}}{1} = - 108.$

Ta thấy chỉ có giá trị x$_{1}$ = 60 thỏa mãn điều kiện.

Vậy tốc độ ban đầu của ô tô là 60 km/h.

Gọi số dãy ghế của phòng họp lúc đầu là x (dãy) (x ∈ ℕ*).

Số ghế ở mỗi dãy lúc đầu là $\frac{{420}}{x}$ (cái).

Nếu bớt đi 5 dãy thì số dãy ghế lúc sau là: x – 5 (dãy).

Do số ghế trong phòng họp không thay đổi nên số ghế ở mỗi dãy lúc sau là $\frac{{420}}{{x - 5}}$ (cái).

Do lúc sau đã thêm cho mỗi dãy 7 cái ghế so với ban đầu nên ta có phương trình:

$\frac{{420}}{{x - 5}} = \frac{{420}}{x} + 7.$

Giải phương trình:

$\frac{{420}}{{x - 5}} = \frac{{420}}{x} + 7$

$\frac{{420}}{{x - 5}} - \frac{{420}}{x} = 7$

$\frac{{60}}{{x - 5}} - \frac{{60}}{x} = 1$

$$\frac{{60x}}{{x\left( {x - 5} \right)}} - \frac{{60\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {x - 5} \right)}}$$

60x – 60(x – 5) = x(x – 5)

60x ‒ 60x + 300 = x$^{2}$ ‒ 5x

x$^{2}$ ‒ 5x ‒ 300 = 0

Phương trình trên có a = 1, b = ‒5, c = ‒300, ∆ = (‒5)$^{2}$ – 4.1.(‒300) = 1 225 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt {1\,\,225} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{5 + 35}}{2} = \frac{{40}}{2} = 20;$

${x_2} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt {1\,\,225} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{5 - 35}}{2} = \frac{{ - 30}}{2} = - 15.$

Ta thấy chỉ có giá trị x$_{1}$ = 20 thỏa mãn điều kiện.

Vậy lúc đầu trong phòng họp có 20 dãy ghế.

Gọi x (g/cm$^{3}$) là khối lượng riêng của chất lỏng B (x > 0,0).

Khối lượng riêng của chất lỏng A là x + 0,2 (g/cm$^{3}$).

Thể tích của chất lỏng B là $\frac{6}{x}$ (cm$^{3}$).

Thể tích của chất lỏng A là $\frac{8}{{x + 0{,}2}}$ (cm$^{3}$).

Khối lượng của hỗn hợp chất lỏng sau khi trộn là: 8 + 6 = 14 (g).

Thể tích của hỗn hợp chất lỏng sau khi trộn là: $\frac{{14}}{{0{,}7}} = 20$ (cm$^{3}$).

Khi đó, ta có phương trình: $\frac{8}{{x + 0{,}2}} + \frac{6}{x} = 20.$

Giải phương trình:

$\frac{8}{{x + 0{,}2}} + \frac{6}{x} = 20$

$\frac{{8x}}{{x\left( {x + 0{,}2} \right)}} + \frac{{6\left( {x + 0{,}2} \right)}}{{x\left( {x + 0{,}2} \right)}} = \frac{{20x\left( {x + 0{,}2} \right)}}{{x\left( {x + 0{,}2} \right)}}$

8x + 6(x + 0,2) = 20x(x + 0,2)

8x + 6x + 1,2 = 20x$^{2}$ + 4x

20x$^{2}$ – 10x – 1,2 = 0.

Phương trình trên có a = 20, b’ = ‒5, c = –1,2; ∆ = (‒5)$^{2}$ ‒ 20.(–1,2) = 25 + 24 = 49 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt {49} }}{{20}} = \frac{{5 + 7}}{{20}} = \frac{{12}}{{20}} = 0{,}6;$

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt {49} }}{{20}} = \frac{{5 - 7}}{{20}} = \frac{{ - 2}}{{20}} = - 0{,}1.$

Ta thấy chỉ có giá trị x$_{1}$ = 0,6 thoả mãn điều kiện,

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng B là 0,6 g/cm$^{3}$; của chất lỏng A là 0,6 + 0,2 = 0,8 g/cm$^{3}$.