Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài tập cuối chương VII có đáp án

Đáp án đúng là: D

Giả sử hàm số cần tìm có dạng y = ax$^{2}$ (a ≠ 0).

Từ Hình 11, ta thấy đồ thị của hàm số đi qua điểm $\left( {\sqrt 2 ;4} \right)$ nên ta có:

$4 = a \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2},$ hay 2a = 4, suy ra a = 2.

Vậy hàm số cần tìm là y = 2x$^{2}$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình 4x$^{2}$ – ax + 9 = 0 có ∆ = (‒a)$^{2}$ ‒ 4.4.9 = a$^{2}$ ‒ 144.

Để phương trình có nghiệm kép thì ∆ = 0, tức là a$^{2}$ ‒ 144 = 0, hay a$^{2}$ = 144, suy ra a = 12 hoặc a = ‒12.

Đồ thị hàm số y = (m + 2)x$^{2}$ (m ≠ –2) đi qua điểm A(–1; –2) nên thay x = ‒1 và y = ‒2 vào hàm số ta có:

–2 = (m + 2) .(–1)$^{2}$ hay m + 2 = –2, suy ra m = –4 (thỏa mãn m ≠ –2).

Do đó, hàm số là y = –2x$^{2}$.

a) Thay x = 3 vào hàm số y = –2x$^{2}$, ta có: y = –2.3$^{2}$ = –18.

Vậy giá trị của hàm số tại x = 3 là y = ‒18.

b) Xét điểm B(0,5; –0,25):

Thay x = 0,5 vào hàm số y = –2x$^{2}$, ta có y = –2.0,5$^{2}$ = –0,5 ≠ –0,25.

Do đó điểm B(0,5; –0,25) không thuộc đồ thị hàm số y = –2x$^{2}$.

c) Xét hàm số y = –2x$^{2}$.

• Ta có bảng giá trị của y tương ứng với giá trị của t như sau:

Do đó các điểm A(‒2; ‒8); B (‒1; ‒2); C(1; ‒2); D(2; ‒8) thuộc đồ thị hàm số y = –2x$^{2}$.

• Vẽ các điểm A(‒2; ‒8); B (‒1; ‒2); O(0; 0); C(1; ‒2); D(2; ‒8) thuộc đồ thị hàm số y = –2x$^{2}$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

• Vẽ đường parabol đi qua 5 điểm A, B, O, C, D, ta nhận được đồ thị của hàm số y = –2x$^{2}$ (hình vẽ).

Từ Hình 12, ta thấy C(2; –4).

Đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ đi qua C(2; –4) nên thay x = 2; y = ‒4 vào hàm số ta có:

–4 = a.2$^{2}$ hay 4a = –4, suy ra a = –1.

Do đó, y = –x$^{2}$.

Chiều cao của chiếc xe tải là 3m nên mái xe của chiếc xe tải còn cách vị trí cao nhất của cổng một khoảng là 4 – 3 = 1 (m).

Gọi K(0; –1) nằm trên trục Oy.

Thay y = –1 vào hàm số y = –x$^{2}$, ta được –1 = –x$^{2}$, hay x$^{2}$ = 1 nên x = –1 hoặc x = 1.

Để chiếc xe tải có chiều cao 3 m và chiều ngang p đi vào chính giữa cổng mà không chạm vào cổng thì p < 1 + 1 hay p < 2.

Dễ thấy, nếu p < 2 thì chiếc xe tải có chiều cao 3 m và chiều ngang p đi vào chính giữa cổng sẽ không chạm vào cổng.

Vậy p < 2.

a) $\left( {\sqrt 2 - 1} \right){x^2} + x = 0$

$$x\left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x + 1} \right] = 0$$

x = 0 hoặc $\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x + 1 = 0$

Từ $\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x + 1 = 0,$ suy ra $x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 - 1}} = \frac{{ - \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} = \frac{{ - \sqrt 2 - 1}}{{2 - 1}} = - \sqrt 2 - 1.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = 0;\,\,{x_2} = - \sqrt 2 - 1.$

b) 9x$^{2}$ – 17x + 4 = 0

Phương trình trên có ∆ = (‒17)$^{2}$ ‒ 4.9.4 = 145 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{17 - \sqrt {145} }}{{2 \cdot 9}} = \frac{{17 - \sqrt {145} }}{{18}};$

${x_2} = \frac{{17 + \sqrt {145} }}{{2 \cdot 9}} = \frac{{17 + \sqrt {145} }}{{18}}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{{17 - \sqrt {145} }}{{18}};\,\,{x_2} = \frac{{17 + \sqrt {145} }}{{18}}.$

c) –x$^{2}$ + 5,5x = 2x$^{2}$ – 3,3x + 4,84

–x$^{2}$ + 5,5x ‒ 2x$^{2}$ + 3,3x ‒ 4,84 = 0

‒3x$^{2}$ + 8,8x ‒ 4,84 = 0

Phương trình trên có ∆’ = 4,4$^{2}$ ‒ (‒3).(‒4,84) = 4,84 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {4{,}84} = 2{,}2.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 4{,}4 + 2{,}2}}{{ - 3}} = \frac{{ - 2{,}2}}{{ - 3}} = \frac{{22}}{{30}} = \frac{{11}}{{15}};$$

$${x_2} = \frac{{ - 4{,}4 - 2{,}2}}{{ - 3}} = \frac{{ - 6{,}6}}{{ - 3}} = 2{,}2.$$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{{11}}{{15}};\,\,{x_2} = 2{,}2.$

d) $\left( {\sqrt 3 - 5} \right){x^2} + 3x + 4 = \sqrt 3 {x^2} - 1.$

$\sqrt 3 {x^2} - 5{x^2} + 3x + 4 = \sqrt 3 {x^2} - 1$

5x$^{2}$ ‒ 3x ‒ 5 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (‒3)$^{2}$ ‒ 4.5.(‒5) = 109 > 0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{3 + \sqrt {109} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{3 + \sqrt {109} }}{{10}};\,\,{x_2} = \frac{{3 - \sqrt {109} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{3 - \sqrt {109} }}{{10}}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{{3 + \sqrt {109} }}{{10}};\,\,{x_2} = \frac{{3 - \sqrt {109} }}{{10}}.$

a) $- 3{x^2} + 2\sqrt 5 x + 3 + 2\sqrt 5 = 0$

Phương trình đã cho có các hệ số: a = ‒3; $b = 2\sqrt 5 ;\,\,c = 3 + 2\sqrt 5 .$

Ta thấy: $a - b + c = - 3 - 2\sqrt 5 + 3 + 2\sqrt 5 = 0.$

Do đó, phương trình có hai nghiệm ${x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{{3 + 2\sqrt 5 }}{{ - 3}} = \frac{{3 + 2\sqrt 5 }}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = - 1;\,\,{x_2} = \frac{{3 + 2\sqrt 5 }}{3}.$

b) $\frac{1}{3}{x^2} - \frac{7}{{12}}x + \frac{1}{4} = 0$

Phương trình đã cho có các hệ số: $a = \frac{1}{3};\,\,b = - \frac{7}{{12}};\,\,c = \frac{1}{4}.$

Ta thấy: $a + b + c = \frac{1}{3} + \left( { - \frac{7}{{12}}} \right) + \frac{1}{4} = \frac{4}{{12}} - \frac{7}{{12}} + \frac{3}{{12}} = 0.$

Do đó phương trình có hai nghiệm ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{4}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{3}{4}.$

c) 7x$^{2}$ + (3m – 1)x + 3m – 8 = 0.

Phương trình đã cho có các hệ số: a = 7; b = 3m ‒ 1; c = 3m ‒ 8.

Ta thấy: a ‒ b + c = 7 ‒ (3m – 1) + 3m ‒ 8 = 7 – 3m + 1 + 3m – 8 = 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{{3m - 8}}{7} = \frac{{ - 3m + 8}}{7}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = - 1,{x_2} = \frac{{ - 3m + 8}}{7}.$

Đặt t = –v, khi đó ta có: u + t = 10.

Từ t = –v, ta có v = –t nên u(–t) = 11 hay ut = –11.

Hai số u và t có tổng bằng 10 và tích bằng –11 nên hai số này là hai nghiệm của phương trình: x$^{2}$ – 10x – 11 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = 5$^{2}$ ‒ 1.(‒11) = 36 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {36} = 6.$

Do đó phương trình có hai nghiêm phân biệt là:

$${x_1} = \frac{{ - 5 + 6}}{1} = 1;$$

$${x_2} = \frac{{ - 5 - 6}}{1} = - 11.$$

Khi đó, u = 1; t = –11 hoặc u = –11; t = 1.

⦁ Với u = 1 và t = –11 hay v = 11, ta có |u + v| = |1 + 11| = 12.

⦁ Với u = ‒11 và t = 1 hay v = –1, ta có |u + v| = |–11 + (–1)| = |–12| = 12.

Vậy |u + v| = 12.

a) Doanh thu từ bán đường bằng 0 tức là –550x$^{2}$ + 22 000x = 0.

Giải phương trình:

–550x$^{2}$ + 22 000x = 0

x(‒550x + 22 000) = 0

x = 0 hoặc ‒550x + 22 000 = 0

x = 0 hoặc x = 40.

Ta thấy chỉ có giá trị x = 40 thoả mãn điều kiện x > 20.

Vậy mức giá bán một kilôgam đường mía bằng 40 nghìn đồng sẽ là quá cao dẫn đến việc doanh thu từ bán đường mía bằng 0 .

b) Doanh thu là 211 200 nghìn đồng nên ta có phương trình:

–550x$^{2}$ + 22 000x = 211 200 hay x$^{2}$ ‒ 40x + 384 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = (‒20)$^{2}$ ‒ 1.384 = 16 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {16} = 4.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{20 + 4}}{1} = 26;$$

$${x_2} = \frac{{20 - 4}}{1} = 16.$$

Ta thấy chỉ có giá trị x = 26 thoả mãn điều kiện x > 20.

Vậy giá bán mỗi kilôgam đường mía là 26 nghìn đồng.

Khối lượng xuất khẩu cà phê Robusta của công ty năm 2022 là:

12 000 – 12 000.x% = 12 000 – 120x (tấn).

Khối lượng xuất khẩu cà phê Robusta của công ty năm 2023 là:

12 000 – 120x – (12 000 – 120x).x%

= 12 000 – 120x – 120x + 1,2x$^{2}$

= 1,2x$^{2}$ – 240x + 12 000 (tấn).

Theo bài, khối lượng xuất khẩu cà phê Robusta của công ty năm 2023 là 10 830 tấn nên ta có phương trình: 1,2x$^{2}$ – 240x + 12 000 = 10 830.

Giải phương trình:

1,2x$^{2}$ – 240x + 12 000 = 10 830

1,2x$^{2}$ – 240x + 1 170 = 0

x$^{2}$ – 200x + 975 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = (–100)$^{2}$ – 1.975 = 9 025 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {9\,\,025} = 95.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{100 + 95}}{1} = 195;$

${x_2} = \frac{{100 - 95}}{1} = 5.$

Ta thấy chỉ có giá trị x$_{2}$= 5 thỏa mãn điều kiện x < 10.

Vậy x = 5.

a) Độ dài AL là: $\frac{{y - x}}{2} = \frac{{25 + x - x}}{2} = \frac{{25}}{2} = 12{,}5\,\,(cm).$

Do AL = AB = CD = DE = FG = GH = IJ = JK nên diện tích phần không phải chữ thập (diện tích 4 hình vuông có cạnh bằng 12, 5 cm) là:

4.12,5$^{2}$ = 625 (cm$^{2}$).

Diện tích biển báo giao thông có dạng hình vuông cạnh y (cm) là:

y$^{2}$ = (x + 25)$^{2}$ (cm$^{2}$).

Diện tích phần hình chữ thập của biển báo giao thông đó là:

(x + 25)$^{2}$ ‒ 625 = x$^{2}$ + 50x ‒ 625 + 625 = x$^{2}$ + 50x (cm$^{2}$).

b) Theo bài, diện tích phần hình chữ thập của biển báo giao thông đó là 975 cm$^{2}$ nên ta có phương trình: x$^{2}$ + 50x = 975 hay x$^{2}$ + 50x ‒ 975 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = 25$^{2}$ ‒ 1.(‒975) = 1 600 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {1\,\,600} = 40.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$${x_1} = \frac{{ - 25 + 40}}{1} = 15;$$

$${x_2} = \frac{{ - 25 - 40}}{1} = - 65.$$

Ta thấy chỉ có giá trị x$_{1}$ = 15 thỏa mãn điều kiện x > 0.

Vậy nếu diện tích phần hình chữ thập của biển báo giao thông đó là 975 cm$^{2}$ thì x = 15 cm.

a) Đặt t = –y, ta có y = –t.

Khi đó $x + t = \frac{1}{4} - \sqrt 7$ và $xy = x\left( { - t} \right) = \frac{{\sqrt 7 }}{4},$ suy ra $xt = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}.$

Hai số x và t có tổng bằng $\frac{1}{4} - \sqrt 7$ và tích bằng $- \frac{{\sqrt 7 }}{4}$ nên hai số này là hai nghiệm của phương trình: ${X^2} - \left( {\frac{1}{4} - \sqrt 7 } \right)X - \frac{{\sqrt 7 }}{4} = 0$ hay $4{X^2} - \left( {1 - 4\sqrt 7 } \right)X - \sqrt 7 = 0.$

Phương trình trên có: $\Delta = {\left[ { - \left( {1 - 4\sqrt 7 } \right)} \right]^2} - 4 \cdot 4 \cdot \left( { - \sqrt 7 } \right)$

$$= 1 - 8\sqrt 7 + 112 + 16\sqrt 7 = 1 + 8\sqrt 7 + 112$$

$$= {\left( {1 + \sqrt 7 } \right)^2} > 0$$

Ta có $\sqrt \Delta = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 7 } \right)}^2}} = 1 + \sqrt 7 .$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$${X_1} = \frac{{1 - 4\sqrt 7 + 1 + 4\sqrt 7 }}{{2 \cdot 4}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4};$$

$${X_2} = \frac{{1 - 4\sqrt 7 - \left( {1 + 4\sqrt 7 } \right)}}{{2 \cdot 4}} = \frac{{1 - 4\sqrt 7 - 1 - 4\sqrt 7 }}{8} = \frac{{ - 8\sqrt 7 }}{8} = - \sqrt 7 .$$

Khi đó, $x = \frac{1}{4};\,\,t = - \sqrt 7$ hoặc $x = - \sqrt 7 ;\,\,t = \frac{1}{4}.$

⦁ Với $t = - \sqrt 7$ thì $y = \sqrt 7 ,$ ta có $x = \frac{1}{4};\,\,y = \sqrt 7$

⦁ Với $t = \frac{1}{4}$ thì $y = - \frac{1}{4},$ ta có $x = - \sqrt 7 ;\,\,y = - \frac{1}{4}.$

Vậy $x = \frac{1}{4};\,\,y = \sqrt 7$ hoặc $x = - \sqrt 7 ;\,\,y = - \frac{1}{4}.$

b) Hai số x và y có tổng bằng $\frac{1}{6}$ và tích bằng $- \frac{1}{6}$ nên hai số này là hai nghiệm của phương trình: ${X^2} - \frac{1}{6}X - \frac{1}{6} = 0.$

Phương trình trên có $\Delta = {\left( { - \frac{1}{6}} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{6}} \right) = \frac{1}{{36}} + \frac{2}{3} = \frac{{25}}{{36}} > 0$ và $\sqrt \Delta = \sqrt {\frac{{25}}{{36}}} = \frac{5}{6}.$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$${X_1} = \frac{{\frac{1}{6} + \frac{5}{6}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{\frac{6}{6}}}{2} = \frac{1}{2};$$

$${X_2} = \frac{{\frac{1}{6} - \frac{5}{6}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - \frac{4}{6}}}{2} = - \frac{1}{3}.$$

Vậy $x = \frac{1}{2};\,\,y = - \frac{1}{3}$ hoặc $x = - \frac{1}{3};\,\,y = \frac{1}{2}.$

Xét phương trình: 2x$^{2}$ + 2(m + 1)x – 3 = 0.

a) Phương trình đã cho có ∆’ = (m + 1)$^{2}$ ‒ 2.(‒3) = (m + 1)$^{2}$ + 6.

Với mọi m, ta có (m + 1)$^{2}$ ≥ 0 nên (m + 1)$^{2}$ + 6 ≥ 6 hay ∆’ > 0.

Vậy phương trình đó luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète, ta có:

${x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{2} = - m - 1$ và ${x_1}{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}.$

Ta có: $A = x_1^2 + x_2^2 + 3{x_1}{x_2}$

= (x$_{1}$ + x$_{2}$)$^{2}$ + x$_{1}$x$_{2}$

Thay x$_{1}$ + x$_{2}$ = – m – 1 và ${x_1}{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}$ vào biểu thức trên ta có:

$A = {\left( { - m - 1} \right)^2} + \frac{{ - 3}}{2} = {\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2}.$

Với mọi m ta luôn có: (m + 1)$^{2}$ ≥ 0 nên ${\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2} \ge - \frac{3}{2}.$

Khi đó, A có giá trị nhỏ nhất bằng $- \frac{3}{2}$ khi m + 1 = 0 hay m = –1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là $- \frac{3}{2}$ tại m = –1.