Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn có đáp án

Phương trình bậc hai một ẩn (ẩn x) là phương trình có dạng ax$^{2}$ + bx + c = 0, trong đó x là ẩn số; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

Do đó, các phương trình b) và d) là các phương trình bậc hai một ẩn.

Ở phương trình $- 3{x^2} + 17x - \sqrt 7 = 0,$ ta có $a = - 3,\,\,b = 17,\,\,c = - \sqrt 7 .$

Ở phương trình $\frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}{x^2} = 0,$ ta có $a = - \frac{1}{{\sqrt 5 }},\,\,b = 0,\,\,c = 0.$

Để phương trình (m$^{2}$ – 1)x$^{2}$ – 5x + 7m + 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn thì:

m$^{2}$ ‒ 1 ≠ 0, hay (m – 1)(m + 1) ≠ 0, suy ra m ≠ 1 và m ≠ ‒1.

a) 2x$^{2}$ – 7x = 0

x(2x ‒ 7) = 0

x = 0 hặc 2x ‒ 7 = 0

x = 0 hoặc $x = \frac{7}{2}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là x$_{1}$ = 0, ${x_2} = \frac{7}{2}.$

b) $- {x^2} + \sqrt 8 x - \sqrt {21} = 0;$

Phương trình trên có $\Delta = {\left( {\sqrt 8 } \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - \sqrt {21} } \right) = 8 - 4\sqrt {21} < 0.$

Suy ra phương trình $- {x^2} + \sqrt 8 x - \sqrt {21} = 0$ vô nghiệm.

c) $- \sqrt 5 {x^2} + 2x + 3\sqrt 5 = 0;$

Phương trình trên có $\Delta ' = {1^2} - \left( { - \sqrt 5 } \right) \cdot 3\sqrt 5 = 16 > 0$ và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {16} = 4.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$${x_1} = \frac{{ - 1 + 4}}{{ - \sqrt 5 }} = \frac{3}{{ - \sqrt 5 }} = \frac{{ - 3\sqrt 5 }}{5}.$$

$${x_2} = \frac{{ - 1 - 4}}{{ - \sqrt 5 }} = \frac{{ - 5}}{{ - \sqrt 5 }} = \sqrt 5 .$$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{{ - 3\sqrt 5 }}{5};{x_2} = \sqrt 5 .$

d) 1,5x$^{2}$ – 0,4x – 1,2 = –1,1x$^{2}$ + 1

2,6x$^{2}$ – 0,4x ‒ 2,2 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = (‒0,2)$^{2}$ ‒ 2,6.(‒2,2) = 5,76 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {5{,}76} = 2{,}4.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$${x_1} = \frac{{0{,}2 + 2{,}4}}{{2{,}6}} = \frac{{2{,}6}}{{2{,}6}} = 1;$$

$${x_2} = \frac{{0{,}2 - 2{,}4}}{{2{,}6}} = \frac{{ - 2{,}2}}{{2{,}6}} = \frac{{ - 11}}{{13}}.$$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{{ - 11}}{{13}}.$

e) $\left( {\sqrt 7 - 2} \right){x^2} + 3x + 10 = {x^2} + 10$

$\left( {\sqrt 7 - 2 - 1} \right){x^2} + 3x = 0$

$\left( {\sqrt 7 - 3} \right){x^2} + 3x = 0$

$$x\left[ {\left( {\sqrt 7 - 3} \right)x + 3} \right] = 0$$

x = 0 hoặc $\left( {\sqrt 7 - 3} \right)x + 3 = 0$

x = 0 hoặc $x = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 - 3}}$

x = 0 hoặc $x = \frac{{ - 3\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}{{7 - 9}} = \frac{{3\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}{2}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = 0;\,\,{x_2} = \frac{{3\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}{2}.$

g) $- \sqrt {32} {x^2} - 4x + \sqrt 2 = \sqrt 2 {x^2} + x - \sqrt 8$

$$\left( {\sqrt 2 + \sqrt {32} } \right){x^2} + 5x - \sqrt 2 - \sqrt 8 = 0$$

$$\left( {\sqrt 2 + 4\sqrt 2 } \right){x^2} + 5x - \sqrt 2 - \sqrt 8 = 0$$

$$5\sqrt 2 {x^2} + 5x - \sqrt 2 - \sqrt 8 = 0.$$

Phương trình trên có $\Delta = {5^2} - 4 \cdot 5\sqrt 2 \cdot \left( { - \sqrt 2 - \sqrt 8 } \right)$

$$= 25 - 20\sqrt 2 \cdot \left( { - \sqrt 2 - \sqrt 8 } \right)$$

= 25 + 40 + 80 = 145.

$${x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {145} }}{{2 \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{\left( { - 5 + \sqrt {145} } \right)\sqrt 2 }}{{10 \cdot 2}} = \frac{{ - 5\sqrt 2 + \sqrt {290} }}{{20}};$$

$${x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {145} }}{{2 \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{\left( { - 5 - \sqrt {145} } \right)\sqrt 2 }}{{10 \cdot 2}} = \frac{{ - 5\sqrt 2 - \sqrt {290} }}{{20}}.$$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{{ - 5\sqrt 2 + \sqrt {290} }}{{20}};$ ${x_2} = \frac{{ - 5\sqrt 2 - \sqrt {290} }}{{20}}.$

Xét phương trình: mx$^{2}$ – 2x + 7 = 0.

Trường hợp 1. m = 0, khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc nhất:

– 2x + 7 = 0

– 2x = – 7

x = 3,5.

Do đó với m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3,5 nên m = 0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trường hợp 2. m ≠ 0, phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x.

Khi đó, phương trình vô nghiệm ∆ < 0.

Ta có: ∆ = (‒2)$^{2}$ ‒ 4.m.7 = 4 ‒ 28m.

Do đó, ∆ < 0 khi 4 ‒ 28m < 0, suy ra ‒ 28m < ‒4 nên $m > \frac{1}{7}$ (thỏa mãn m ≠ 0).

Vậy $m > \frac{1}{7}$ thì phương trình vô nghiệm

a) Tổng số S các khối hàng ở một hình tháp n tầng là:

$S = 1 + 2 + 3 + \ldots + \left( {n - 1} \right) + n = \frac{{\left( {n + 1} \right) \cdot n}}{2}$ (khối hàng).

b) Ta có: S = 120, suy ra: $\frac{{\left( {n + 1} \right) \cdot n}}{2} = 120$ hay n$^{2}$ + n – 240 = 0.

Phương trình n$^{2}$ + n – 240 = 0 có ∆ = 1$^{2}$ ‒ 4.1.(‒240) = 961 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt {961} = 31.$

Do đó, phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là

${n_1} = \frac{{ - 1 + 31}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{30}}{2} = 15$ (thoả mãn);

${n_2} = \frac{{ - 1 - 31}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 32}}{2} = - 16$ (không thoả mãn).

Vậy n = 15.

a) Quãng đường ô tô đó đi được sau 7 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

s = 7$^{2}$ + 16.7 = 161 (m).

b) Thời gian để đi được quãng đường 80 m kể từ khi bắt đầu tăng tốc là nghiệm của phương trình t$^{2}$ + 16t = 80 hay t$^{2}$ + 16t ‒ 80 = 0.

Phương trình t$^{2}$ + 16t ‒ 80 = 0 có ∆’ = 8$^{2}$ ‒ 1.(‒80) = 144 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {144} = 12.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${t_1} = \frac{{ - 8 + 12}}{1} = \frac{4}{1} = 4$ (thỏa mãn);

${t_2} = \frac{{ - 8 - 12}}{1} = \frac{{ - 20}}{1} = - 20$ (không thỏa mãn).

Vậy thời gian để đi được quãng đường 80 m kể từ khi bắt đầu tăng tốc là 4 giây.

Doanh thu từ tiền bán vé của ngày hôm đó là 12 249 nghìn đồng nên ta có:

–10x$^{2}$ + 700x – 1 = 12 249

Hay 10x$^{2}$ ‒ 700x + 12 250 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = (‒350)$^{2}$ ‒ 10.12 250 = 0, nên phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{350}}{{10}} = 35.$

Vậy giá vé bán trong ngày 1 tháng 6 của rạp chiếu phim đó là 35 nghìn đồng.

Giá bán của một kilôgam thịt lợn sau lần tăng giá thứ nhất là:

100 + 100.x% = 100 + x (nghìn đồng).

Giá bán của một kilôgam thịt lợn sau lần tăng giá thứ hai là:

100 + x + (100 + x).x% = 100 + x + x + 0,01x$^{2}$ = 0,01x$^{2}$ + 2x + 100 (nghìn đồng).

Theo bài, sau hai đợt tăng giá, giá của một kilôgam thịt lợn là 108 nghìn đồng nên ta có phương trình: 0,01x$^{2}$ + 2x + 100 = 108.

Giải phương trình:

0,01x$^{2}$ + 2x + 100 = 108

0,01x$^{2}$ + 2x – 8 = 0

Phương trình trên có ∆’ = 1$^{2}$ – 0,01.(–8) = 1,08 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {1{,}08} }}{{0{,}01}} \approx 4{,}0$ (thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {1{,}08} }}{{0{,}01}} \approx - 204$ (không thỏa mãn).

Vậy x ≈ 4%.

Gọi số xe lớn công ty dự định thuê là x (x ∈ ℕ$^{*}$, đơn vị: chiếc) thì số xe nhỏ công ty thuê là x + 2 (chiếc).

Mỗi xe lớn công ty dự định thuê chở số người là $\frac{{210}}{x}$ (người).

Mỗi xe nhỏ thực tế công ty thuê chở số người là $\frac{{210}}{{x + 2}}$ (người).

Mỗi xe nhỏ chở ít hơn mỗi xe lớn là 12 người nên ta có phương trình: $\frac{{210}}{x} - \frac{{210}}{{x + 2}} = 12.$

Giải phương trình:

$\frac{{210}}{x} - \frac{{210}}{{x + 2}} = 12$

$\frac{{210\left( {x + 2} \right) - 210x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 12$

210x + 420 – 210x = 12(x$^{2}$ + 2x)

420 = 12x$^{2}$ + 24x

x$^{2}$ + 2x ‒ 35 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = 1$^{2}$ – 1.(‒35) = 36 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {36} = 6.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 + 6}}{1} = 5$ (thoả mãn);

${x_2} = \frac{{ - 1 - 6}}{1} = - 7$ (không thoả mãn).

Vậy số xe nhỏ công ty đã thuê là 5 + 2 = 7 chiếc.

Diện tích bốn mặt thân hộp là các hình chữ nhật may bằng vải màu đỏ có chiều dài 22 cm là: 4.(22.a) = 88a (cm$^{2}$).

Diện tích hai đáy hộp là các hình vuông cạnh a cm may bằng vải màu xanh là: 2.a$^{2}$ (cm$^{2}$).

Do tổng diện tích vải màu đỏ nhiều hơn ba lần tổng diện tích vải màu xanh là 312 cm$^{2}$ nên ta có phương trình: 88a ‒ 3.2a$^{2}$ = 312.

Giải phương trình:

88a ‒ 3.2a$^{2}$ = 312

3a$^{2}$ – 44a + 156 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = (‒22)$^{2}$ ‒ 3.156 = 16 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {16} = 4.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{22 + 4}}{3} = \frac{{26}}{3};$$

$${x_2} = \frac{{22 - 4}}{3} = \frac{{18}}{3} = 6.$$

Ta thấy giá trị x = 6 thỏa mãn điều kiện 0 < a < 8.

Vậy a = 6 cm.

a) Công thức tính diện tích xung quanh của một hình chóp tam giác đều, biết độ dài cạnh đáy là x (dm) và độ dài trung đoạn là (x + 2) là:

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot x \cdot \left( {x + 2} \right) = \frac{{3x\left( {x + 2} \right)}}{2}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

b) Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là 36 dm$^{2}$ nên ta có:

$\frac{{3x\left( {x + 2} \right)}}{2}\,\, = 36$

3x$^{2}$ + 6x = 72

3x$^{2}$ + 6x ‒ 72 = 0

x$^{2}$ + 2x ‒ 24 = 0

Phương trình trên có ∆’ = 1$^{2}$ ‒ 1.(‒24) = 25 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 1 + 5}}{1} = 4;$$

$${x_2} = \frac{{ - 1 - 5}}{1} = - 6.$$

Ta thấy giá trị x = 4 thỏa mãn điều kiện.

Vậy x = 4 dm để diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là 36 dm$^{2}$.

a) Do bác Na dùng 200 m rào dây thép gai để rào một mảnh đất đủ rộng thành một mảnh vườn hình chữ nhật nên chu vi hình chữ nhật là 200 m.

Nửa chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là: 200 : 2 = 100 (m).

Chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật là: 100 – x (m).

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là: x(10 ‒ x) (m$^{2}$). Điều kiện: 0 < x < 100.

b) Ta có: S(x) = x(100 – x )

= 100x ‒ x$^{2}$ = ‒ (x$^{2}$ ‒ 100x)

= ‒ (x$^{2}$ ‒ 2.50x + 50$^{2}$ ‒ 50$^{2}$)

= – (x – 50)$^{2}$ + 2 500.

Với 0 < x < 100, ta có: (x – 50)$^{2}$ ≥ 0.

Suy ra – (x – 50)$^{2}$ + 2 500 ≤ 2 500 hay S(x) ≤ 2 500.

S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 2 500 khi x ‒ 50 = 0 hay x = 50.

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn có thể rào được là 2 500 m$^{2}$.

Đổi 80 cm = 0,8 m.

Diện tích lát đá là: 1 000 . (0,8 . 0,8) = 640 (m$^{2}$).

Diện tích sân có dạng hình chữ nhật là: a(a + 8) (m$^{2}$).

Diện tích còn lại để trồng cỏ là: a(a + 8) – 640 (m$^{2}$).

Mặt khác, diện tích trồng cỏ là: 4 480 000 : 35 000 = 128 (m$^{2}$).

Từ đó, ta có phương trình: a(a + 8) – 640 = 128 hay a$^{2}$ + 8a – 768 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = 4$^{2}$ ‒ 1.(‒768) = 784 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {784} = 28.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${a_1} = \frac{{ - 4 + 28}}{1} = 24$ (thỏa mãn điều kiện a > 0);

${a_2} = \frac{{ - 4 - 28}}{1} = - 32$ (không thỏa mãn điều kiện a > 0).

Vậy a = 24 (m).