Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn có đáp án

Phương trình bậc hai một ẩn (ẩn x) là phương trình có dạng ax$^{2}$ + bx + c = 0, trong đó x là ẩn số; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

Do đó, các phương trình b) và d) là các phương trình bậc hai một ẩn.

Ở phương trình $- 3{x^2} + 17x - \sqrt 7 = 0,$ ta có $a = - 3,\,\,b = 17,\,\,c = - \sqrt 7 .$

Ở phương trình $\frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}{x^2} = 0,$ ta có $a = - \frac{1}{{\sqrt 5 }},\,\,b = 0,\,\,c = 0.$

Để phương trình (m$^{2}$ – 1)x$^{2}$ – 5x + 7m + 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn thì:

m$^{2}$ ‒ 1 ≠ 0, hay (m – 1)(m + 1) ≠ 0, suy ra m ≠ 1 và m ≠ ‒1.

a) 2x$^{2}$ – 7x = 0

x(2x ‒ 7) = 0

x = 0 hặc 2x ‒ 7 = 0

x = 0 hoặc $x = \frac{7}{2}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là x$_{1}$ = 0, ${x_2} = \frac{7}{2}.$

b) $- {x^2} + \sqrt 8 x - \sqrt {21} = 0;$

Phương trình trên có $\Delta = {\left( {\sqrt 8 } \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - \sqrt {21} } \right) = 8 - 4\sqrt {21} < 0.$

Suy ra phương trình $- {x^2} + \sqrt 8 x - \sqrt {21} = 0$ vô nghiệm.

c) $- \sqrt 5 {x^2} + 2x + 3\sqrt 5 = 0;$

Phương trình trên có $\Delta ' = {1^2} - \left( { - \sqrt 5 } \right) \cdot 3\sqrt 5 = 16 > 0$ và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {16} = 4.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$${x_1} = \frac{{ - 1 + 4}}{{ - \sqrt 5 }} = \frac{3}{{ - \sqrt 5 }} = \frac{{ - 3\sqrt 5 }}{5}.$$

$${x_2} = \frac{{ - 1 - 4}}{{ - \sqrt 5 }} = \frac{{ - 5}}{{ - \sqrt 5 }} = \sqrt 5 .$$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{{ - 3\sqrt 5 }}{5};{x_2} = \sqrt 5 .$

d) 1,5x$^{2}$ – 0,4x – 1,2 = –1,1x$^{2}$ + 1

2,6x$^{2}$ – 0,4x ‒ 2,2 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = (‒0,2)$^{2}$ ‒ 2,6.(‒2,2) = 5,76 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {5{,}76} = 2{,}4.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$${x_1} = \frac{{0{,}2 + 2{,}4}}{{2{,}6}} = \frac{{2{,}6}}{{2{,}6}} = 1;$$

$${x_2} = \frac{{0{,}2 - 2{,}4}}{{2{,}6}} = \frac{{ - 2{,}2}}{{2{,}6}} = \frac{{ - 11}}{{13}}.$$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{{ - 11}}{{13}}.$

e) $\left( {\sqrt 7 - 2} \right){x^2} + 3x + 10 = {x^2} + 10$

$\left( {\sqrt 7 - 2 - 1} \right){x^2} + 3x = 0$

$\left( {\sqrt 7 - 3} \right){x^2} + 3x = 0$

$$x\left[ {\left( {\sqrt 7 - 3} \right)x + 3} \right] = 0$$

x = 0 hoặc $\left( {\sqrt 7 - 3} \right)x + 3 = 0$

x = 0 hoặc $x = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 - 3}}$

x = 0 hoặc $x = \frac{{ - 3\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}{{7 - 9}} = \frac{{3\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}{2}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = 0;\,\,{x_2} = \frac{{3\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}{2}.$

g) $- \sqrt {32} {x^2} - 4x + \sqrt 2 = \sqrt 2 {x^2} + x - \sqrt 8$

$$\left( {\sqrt 2 + \sqrt {32} } \right){x^2} + 5x - \sqrt 2 - \sqrt 8 = 0$$

$$\left( {\sqrt 2 + 4\sqrt 2 } \right){x^2} + 5x - \sqrt 2 - \sqrt 8 = 0$$

$$5\sqrt 2 {x^2} + 5x - \sqrt 2 - \sqrt 8 = 0.$$

Phương trình trên có $\Delta = {5^2} - 4 \cdot 5\sqrt 2 \cdot \left( { - \sqrt 2 - \sqrt 8 } \right)$

$$= 25 - 20\sqrt 2 \cdot \left( { - \sqrt 2 - \sqrt 8 } \right)$$

= 25 + 40 + 80 = 145.

$${x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {145} }}{{2 \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{\left( { - 5 + \sqrt {145} } \right)\sqrt 2 }}{{10 \cdot 2}} = \frac{{ - 5\sqrt 2 + \sqrt {290} }}{{20}};$$

$${x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {145} }}{{2 \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{\left( { - 5 - \sqrt {145} } \right)\sqrt 2 }}{{10 \cdot 2}} = \frac{{ - 5\sqrt 2 - \sqrt {290} }}{{20}}.$$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{{ - 5\sqrt 2 + \sqrt {290} }}{{20}};$ ${x_2} = \frac{{ - 5\sqrt 2 - \sqrt {290} }}{{20}}.$

Xét phương trình: mx$^{2}$ – 2x + 7 = 0.

Trường hợp 1. m = 0, khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc nhất:

– 2x + 7 = 0

– 2x = – 7

x = 3,5.

Do đó với m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3,5 nên m = 0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trường hợp 2. m ≠ 0, phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x.

Khi đó, phương trình vô nghiệm ∆ < 0.

Ta có: ∆ = (‒2)$^{2}$ ‒ 4.m.7 = 4 ‒ 28m.

Do đó, ∆ < 0 khi 4 ‒ 28m < 0, suy ra ‒ 28m < ‒4 nên $m > \frac{1}{7}$ (thỏa mãn m ≠ 0).

Vậy $m > \frac{1}{7}$ thì phương trình vô nghiệm

a) Tổng số S các khối hàng ở một hình tháp n tầng là:

$S = 1 + 2 + 3 + \ldots + \left( {n - 1} \right) + n = \frac{{\left( {n + 1} \right) \cdot n}}{2}$ (khối hàng).

b) Ta có: S = 120, suy ra: $\frac{{\left( {n + 1} \right) \cdot n}}{2} = 120$ hay n$^{2}$ + n – 240 = 0.

Phương trình n$^{2}$ + n – 240 = 0 có ∆ = 1$^{2}$ ‒ 4.1.(‒240) = 961 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt {961} = 31.$

Do đó, phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là

${n_1} = \frac{{ - 1 + 31}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{30}}{2} = 15$ (thoả mãn);

${n_2} = \frac{{ - 1 - 31}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 32}}{2} = - 16$ (không thoả mãn).

Vậy n = 15.