Giải SBT Toán 9 Bài 3. Hình cầu có đáp án

Gọi r là bán kính của hình cầu (r > 0).

Ta có diện tích hình tròn lớn của nó bằng πr$^{2}$ và bằng 8π nên πr$^{2}$ = 8π hay r$^{2}$ = 8.

Vậy diện tích của mặt cầu đó là: 4πr$^{2}$ = 4π.8 = 32π (cm$^{2}$).

Gọi bán kính quả bida là r (mm) (r > 0).

Thể tích quả bida là $\frac{4}{3}\pi {r^3}$ và bằng 36 000π mm$^{3}$ nên ta có:

$\frac{4}{3}\pi {r^3} = 36\,\,000\pi$

Suy ra ${r^3} = 36\,\,000:\frac{4}{3} = 27\,\,000$

Do đó r = 30 mm.

Vậy đường kính quả bida đó là 2.30 = 60 mm = 6 cm.

Từ 2R = l và 2*l* = 3r, suy ra $R = \frac{l}{2},\,\,r = \frac{{2l}}{3}.$

Diện tích mặt cầu (C) là: $4\pi {R^2} = 4\pi \cdot {\left( {\frac{l}{2}} \right)^2} = 4\pi \cdot \frac{l}{4} = \pi {l^2}.$

Diện tích toàn phần của hình nón (N) là:

$\pi rl + \pi {r^2} = \pi \cdot \frac{{2l}}{3} \cdot l + \pi \cdot {\left( {\frac{{2l}}{3}} \right)^2} = \frac{2}{3}\pi {l^2} + \frac{4}{9}\pi {l^2} = \frac{{10\pi {l^2}}}{9}.$

Do tổng diện tích mặt cầu (C) và diện tích toàn phần của hình nón (N) là 171π cm$^{2}$ nên:

$\pi {l^2} + \frac{{10\pi {l^2}}}{9} = 171\pi$ hay 19πl$^{2}$ = 171π.9

Suy ra l$^{2}$ = 81 nên l = 9 cm (do l > 0).

Khi đó, bán kính mặt cầu (C) là $R = \frac{l}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5$ (cm).

Vậy diện tích của mặt cầu (C) là:

4πR$^{2}$ = 4π.(4,5)$^{2}$ = 81π ≈ 81.3,14 = 254,34 ≈ 254 (cm$^{2}$).

Ta có bán kính hình cầu và bán kính đáy hình trụ đều là: 1,8 : 2 = 0,9 (m).

Tổng thể tích của hai nửa hình cầu chính là thể tích của một hình cầu có cùng bán kính và bằng:

$\frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot {\left( {0{,}9} \right)^3} = 0{,}972\pi$ (m$^{3}$).

Thể tích phần hình trụ là:

V = πR$^{2}$h = π.(0,9)$^{2}$.3,62 = 2,9322π (m$^{3}$).

Thể tích của bồn chứa là:

0,972π + 2,9322π = 3,9042π ≈ 3,9042.3,14 ≈ 12,3 (m$^{3}$).

Gọi bán kính đường tròn đáy của cái cốc là R (cm) (R > 0).

Thể tích viên bi có dạng hình cầu với bán kính là 3 cm là:

$\frac{4}{3}\pi \cdot {3^3} = 36\pi \;\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}).$

Dễ thấy khi viên bi chìm xuống đáy cốc thì lượng nước trong cốc được dâng thêm bằng thể tích viên bi. Mặt khác, khi viên bi chìm xuống đáy cốc thì chiều cao mực nước dâng thêm 1,5 cm, do đó ta có πR$^{2}$.1,5 = 36π.

Suy ra R$^{2}$ = 24.

Thể tích của khối nước ban đầu trong cốc là:

πR$^{2}$.7,2 = π.24.7,2 = 172,8π ≈ 172,8 . 3,14 ≈ 542,6 (cm$^{3}$).

Ta có lượng nước bị trào ra khỏi bể bằng thể tích hình cầu và bằng $\frac{4}{3}\pi {a^3}.$

Thể tích của bể nước có dạng hình lập phương đó là: (2a)$^{3}$ = 8a$^{3}$.

Do đó, lượng nước còn lại trong bể là:

$8{a^3} - \frac{4}{3}\pi {a^3} = \frac{{\left( {24 - 4\pi } \right){a^3}}}{3}.$

Ta có tỉ số phần trăm của lượng nước còn lại trong bể và lượng nước bị trào ra khỏi bể là:

$\left[ {\frac{{\left( {24 - 4\pi } \right){a^3}}}{3}:\left( {\frac{4}{3}\pi {a^3}} \right)} \right] \cdot 100\% = \left[ {\frac{{\left( {24 - 4\pi } \right){a^3}}}{3} \cdot \frac{3}{{4\pi {a^3}}}} \right] \cdot 100\%$

$= \frac{{6 - \pi }}{\pi } \cdot 100\% \approx 91{,}1\% .$

Vậy lượng nước còn lại trong bể bằng khoảng 91,1% lượng nước bị trào ra khỏi bể.

Tổng thể tích của hai quả cầu là:

$\frac{4}{3}\pi \cdot {1^3} + \frac{4}{3}\pi \cdot {3^3} = \frac{{112\pi }}{3}$ (cm$^{3}$).

Ta có công thức tính độ dài đường sinh l qua chiều cao h và bán kính đáy r của hình nón là:

l$^{2}$ = h$^{2}$ + r$^{2}$. Suy ra h$^{2}$ = l$^{2}$ – r$^{2}$.

Khi đó, chiều cao của hình nón là:

$\sqrt {{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt {108 - 27} = \sqrt {81} = 9$ (cm).

Thể tích hình nón là:

$\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} \cdot 9 = 81\pi \;$ (cm$^{3}$).

Tỉ số tổng thể tích của hai quả cầu và thể tích hình nón là:

$\frac{{112\pi }}{3}:\left( {81\pi } \right) = \frac{{112\pi }}{3} \cdot \frac{1}{{81\pi }} = \frac{{112}}{{243}}.$

Đáp án đúng là: B

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

S$_{tp}$ = 2πRh + 2πR$^{2}$

Hay S$_{tp}$ = 2πR$^{2}$ + 2πR$^{2}$ = 4πR$^{2}$.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Thể tích hình trụ là:

V = πr$^{2}$h = π.(3a)$^{2}$.4a = 36πa$^{3}$.

Đáp án đúng là: D

Bán kính đáy của hình nón là: r = 6 : 2 = 3 (cm).

Thể tích bằng 12π cm$^{3}$ nên ta có: $\frac{1}{3}\pi {r^2}h = 12\pi$

Suy ra $\frac{1}{3}\pi \cdot {3^2} \cdot h = 12\pi$ hay 3πh = 12π

Do đó h = 4 (cm).

Độ dài đường sinh của hình nón là:

$l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = \sqrt {25} = 5$ (cm).

Diện tích toàn phần của hình nón là:

S$_{tp}$ = πrl + πr$^{2}$ = π.3.5 + π.3$^{2}$ = 24π (cm$^{2}$).