Giải SBT Toán 9 Bài 3. Hình cầu có đáp án

Gọi r là bán kính của hình cầu (r > 0).

Ta có diện tích hình tròn lớn của nó bằng πr$^{2}$ và bằng 8π nên πr$^{2}$ = 8π hay r$^{2}$ = 8.

Vậy diện tích của mặt cầu đó là: 4πr$^{2}$ = 4π.8 = 32π (cm$^{2}$).

Gọi bán kính quả bida là r (mm) (r > 0).

Thể tích quả bida là $\frac{4}{3}\pi {r^3}$ và bằng 36 000π mm$^{3}$ nên ta có:

$\frac{4}{3}\pi {r^3} = 36\,\,000\pi$

Suy ra ${r^3} = 36\,\,000:\frac{4}{3} = 27\,\,000$

Do đó r = 30 mm.

Vậy đường kính quả bida đó là 2.30 = 60 mm = 6 cm.

Từ 2R = l và 2*l* = 3r, suy ra $R = \frac{l}{2},\,\,r = \frac{{2l}}{3}.$

Diện tích mặt cầu (C) là: $4\pi {R^2} = 4\pi \cdot {\left( {\frac{l}{2}} \right)^2} = 4\pi \cdot \frac{l}{4} = \pi {l^2}.$

Diện tích toàn phần của hình nón (N) là:

$\pi rl + \pi {r^2} = \pi \cdot \frac{{2l}}{3} \cdot l + \pi \cdot {\left( {\frac{{2l}}{3}} \right)^2} = \frac{2}{3}\pi {l^2} + \frac{4}{9}\pi {l^2} = \frac{{10\pi {l^2}}}{9}.$

Do tổng diện tích mặt cầu (C) và diện tích toàn phần của hình nón (N) là 171π cm$^{2}$ nên:

$\pi {l^2} + \frac{{10\pi {l^2}}}{9} = 171\pi$ hay 19πl$^{2}$ = 171π.9

Suy ra l$^{2}$ = 81 nên l = 9 cm (do l > 0).

Khi đó, bán kính mặt cầu (C) là $R = \frac{l}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5$ (cm).

Vậy diện tích của mặt cầu (C) là:

4πR$^{2}$ = 4π.(4,5)$^{2}$ = 81π ≈ 81.3,14 = 254,34 ≈ 254 (cm$^{2}$).

Ta có bán kính hình cầu và bán kính đáy hình trụ đều là: 1,8 : 2 = 0,9 (m).

Tổng thể tích của hai nửa hình cầu chính là thể tích của một hình cầu có cùng bán kính và bằng:

$\frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot {\left( {0{,}9} \right)^3} = 0{,}972\pi$ (m$^{3}$).

Thể tích phần hình trụ là:

V = πR$^{2}$h = π.(0,9)$^{2}$.3,62 = 2,9322π (m$^{3}$).

Thể tích của bồn chứa là:

0,972π + 2,9322π = 3,9042π ≈ 3,9042.3,14 ≈ 12,3 (m$^{3}$).

Gọi bán kính đường tròn đáy của cái cốc là R (cm) (R > 0).

Thể tích viên bi có dạng hình cầu với bán kính là 3 cm là:

$\frac{4}{3}\pi \cdot {3^3} = 36\pi \;\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}).$

Dễ thấy khi viên bi chìm xuống đáy cốc thì lượng nước trong cốc được dâng thêm bằng thể tích viên bi. Mặt khác, khi viên bi chìm xuống đáy cốc thì chiều cao mực nước dâng thêm 1,5 cm, do đó ta có πR$^{2}$.1,5 = 36π.

Suy ra R$^{2}$ = 24.

Thể tích của khối nước ban đầu trong cốc là:

πR$^{2}$.7,2 = π.24.7,2 = 172,8π ≈ 172,8 . 3,14 ≈ 542,6 (cm$^{3}$).