Giải SBT Toán 9 Bài 2. Hình nón có đáp án

Bán kính đường tròn đáy là: 12 : 2 = 6 (cm).

Đường sinh của hình nón là: $l = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = \sqrt {100} = 10$ (cm).

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S = πrl = π.6.10 = 60π ≈ 60.3,14 = 188,4 (cm$^{2}$).

Bán kính đường tròn đáy của hình nón là: 4a : 2 = 2a.

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S = πrl = π.2a.5a = 10πa$^{2}$ ≈ 10.3,14.a$^{2}$ = 31,4a$^{2}$ (đơn vị diện tích).

a) Gọi bán kính đường tròn đáy bằng r (cm) (r > 0).

Khi đó, diện tích xung quanh của hình nón đó là: πr.15 = 15πr (cm$^{3}$).

Theo bài, diện tích xung quanh của hình nón là 135π cm$^{2}$ nên ta có:

135π = 15πr, suy ra r = 9 cm.

Vậy diện tích toàn phần của hình nón đó là:

135π + π.9$^{2}$ = 216π (cm$^{2}$).

b) Ta có công thức tính độ dài đường sinh qua chiều cao và bán kính đáy của hình nón là:

l$^{2}$ = h$^{2}$ + r$^{2}$. Suy ra h$^{2}$ = l$^{2}$ – r$^{2}$.

Do đó, chiều cao của hình nón đó là:

$h = \sqrt {{{15}^2} - {9^2}} = \sqrt {225 - 81} = \sqrt {144} = 12\;$ (cm).

Ta có diện tích của tam giác OHA vuông tại H là $\frac{1}{2}OH \cdot HA$ (cm$^{2}$).

Theo bài, tam giác OHA vuông cân tại H có diện tích bằng 4 cm$^{2}$ nên $\frac{1}{2}OH \cdot HA = 4$

Suy ra OH.HA = 8

Do đó $OH = HA = 2\sqrt 2$ cm (do ∆OHA vuông cân tại H).

Xét ∆OHA vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OA$^{2}$ = OH$^{2}$ + HA$^{2}$

Suy ra $OA = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {8 + 8} = \sqrt {16} = 4$ (cm).

Vậy diện tích xung quanh của hình nón đó là:

$\pi \cdot HA \cdot OA = \pi \cdot 2\sqrt 2 \cdot 4 = 8\sqrt 2 \pi \approx 8\sqrt 2 \cdot 3{,}14 \approx 36\;$ (cm$^{2}$).

Vì ABCD là hình chóp tứ giác đều nên AB = AC = AD = BC = CD = DB = a.

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD nên bán kính R của đường tròn tâm O là $R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$

Hình nón (N) có bán kính đáy là $R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ và đường sinh là AB = a nên diện tích toàn phần của nó là:

$\pi \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot a + \pi \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{3}.$

Giả sử hình nón có bán kính đáy là r, chiều cao là h.

Khi đó thể tích của hình nón là: $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h.$

⦁ Nếu bán kính đáy của một hình nón tăng lên hai lần và giữ nguyên chiều cao thì thể tích của hình nón đó là: ${V_1} = \frac{1}{3}\pi \cdot {\left( {2r} \right)^2}h = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi {r^2}h = 4V.$

Tức là thể tích lúc này của hình nón đã tăng lên 4 lần. Do đó phát biểu a) là sai.

⦁ Nếu chiều cao của một hình nón tăng lên hai lần và giữ nguyên bán kính đáy thì thể tích của hình nón đó là: ${V_2} = \frac{1}{3}\pi \cdot {r^2} \cdot 2h = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi {r^2}h = 2V.$

Tức là thể tích lúc này của hình nón đã tăng lên 2 lần. Do đó phát biểu b) là đúng.

⦁ Nếu bán kính đáy và chiều cao của một hình nón cùng tăng lên hai lần thì thể tích của hình nón đó là: ${V_2} = \frac{1}{3}\pi \cdot {\left( {2r} \right)^2} \cdot 2h = 8 \cdot \frac{1}{3}\pi {r^2}h = 8V.$

Tức là thể tích lúc này của hình nón đã tăng lên 8 lần. Do đó phát biểu c) là sai.

Vậy phát biểu a) và c) là sai.

Gọi bán kính đáy của hình nón đó là r (cm) (r > 0).

Kí hiệu diện tích đáy, diện tích toàn phần và diện tích xung quanh của hình nón đó lần lượt là S$_{đáy}$, S$_{tp}$, S$_{xq}$.

Diện tích đáy của hình nón đó là: S$_{đáy}$ = πr$^{2}$ (cm$^{2}$).

Ta có S$_{tp}$ = S$_{xq}$ + S$_{đáy}$.

Nên 115π = 65π + πr$^{2}$

Suy ra πr$^{2}$ = 50π

Do đó r$^{2}$ = 50, từ đó suy ra $r = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \;$ (m) (do r > 0).

Mặt khác, diện tích xung quanh của hình nón là 65π cm$^{2}$ nên đường sinh l của nó thỏa mãn: $\pi \cdot 5\sqrt 2 \cdot l = 65\pi .$

Suy ra $l = \frac{{65\pi }}{{5\sqrt 2 \cdot \pi }} = \frac{{13\sqrt 2 }}{2}\;$ (cm).

Ta có công thức tính độ dài đường sinh qua chiều cao và bán kính đáy của hình nón là:

l$^{2}$ = h$^{2}$ + r$^{2}$. Suy ra h$^{2}$ = l$^{2}$ – r$^{2}$.

Vậy chiều cao của hình nón đó là:

$h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{13\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{169 \cdot 2}}{4} - 50} = \sqrt {\frac{{69}}{2}} \approx 6\;$ (cm).

a) Do hình nón đỉnh B và hình nón đỉnh C có cùng đáy nên ta gọi bán kính đáy của hai hình nón là: r (r > 0).

Thể tích của hình nón đỉnh B là: $V = \frac{1}{3}\pi {r^2} \cdot BH.$

Thể tích của hình nón đỉnh C là: $V' = \frac{1}{3}\pi {r^2} \cdot CH.$

Tỉ số thể tích của hình nón đỉnh B và hình nón đỉnh C là: $\frac{V}{{V'}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi {r^2} \cdot BH}}{{\frac{1}{3}\pi {r^2} \cdot CH}} = \frac{{BH}}{{CH}}.$

Vậy tỉ số thể tích của hình nón đỉnh B và thể tích của hình nón đỉnh C bằng tỉ số đường cao BH và đường cao CH.

b) Theo chứng minh ở câu a) ta có phát biểu đã nêu là đúng.

Lượng kem ở phía trong cốc của một chiếc kem chính là thể tích của hình nón có bán kính là $\frac{6}{2} = 3$ cm và chiều cao là 10 cm, và bằng:

$$\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot {3^2} \cdot 10 = 30\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}).$$

Lượng kem đổ dư thêm lên phía trên miệng cốc của một chiếc kem là:

30π. 10% = 3π (cm$^{3}$).

Lượng kem mà cơ sở sản xuất A cần chuẩn bị để làm ra 1 500 chiếc kem là:

(30π + 3π) .1 500 = 49 500π ≈ 49 500 . 3,14 = 155 430 (cm$^{3}$).

Gọi bán kính đường tròn đáy của đống cát hình nón đó là r (m) (r > 0).

Do hình nón có chu vi đáy bằng 9,42 m nên ta có 2πr = 9,42 (m).

Suy ra: $r = \frac{{9{,}42}}{{2\pi }} \approx \frac{{9{,}42}}{{2 \cdot 3{,}14}} = 1{,}5\;$ (m).

Thể tích đống cát có dạng hình nón là:

$\frac{1}{3}\pi {r^2}h \approx \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 1,{5^2} \cdot 1{,}2 = 2{,}826\;$ (m$^{3}$).

Thể tích thùng chứa của xe có dạng hình hộp chữ nhật là:

1,57 . 0,8 . 0,4 = 0,5024 (m$^{3}$).

Mỗi chuyến xe thực chở là:

0,5024.(100% – 5%) = 0,5024 . 95% = 0,47728 (m$^{3}$).

Ta có: 2,826 : 0,47728 ≈ 5,921.

Vậy để chuyển hết đống cát trên bác Hà cần sử dụng ít nhất 6 chuyến xe và phải dùng số tiền ít nhất là: 6 . 90 000 = 540 000 (đồng).

Một số hình ảnh hình nón trong thực tế: