Giải SBT Toán 9 Bài 1. Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn có đáp án

a) Bốn điểm B, D, F, C tạo thành tứ giác BDFC, đây là tứ giác lồi vì tứ giác BDFC nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kí của tứ giác đó.

Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ giác ABCD, đây không phải là tứ giác lồi vì tứ giác ABCD nằm về hai phía của đường thẳng AD (hoặc đường thẳng CD).

b) Các điểm A, B, C, D, E tạo thành ngũ giác ABCDE, đây không phải là ngũ giác lồi vì ngũ giác ABCDE nằm về hai phía của đường thẳng CD (hoặc đường thẳng DE).

Ta có thể vẽ một số đa giác lồi như sau: tứ giác A$_{1}$A$_{2}$A$_{3}$A$_{9}$; tứ giác A$_{3}$A$_{4}$A$_{7}$A$_{9}$; tứ giác A$_{4}$A$_{5}$A$_{6}$A$_{7}$; ngũ giác A$_{1}$A$_{2}$A$_{3}$A$_{7}$A$_{9}$; ngũ giác A$_{3}$A$_{4}$A$_{5}$A$_{6}$A$_{7}$; ngũ giác A$_{3}$A$_{4}$A$_{5}$A$_{6}$A$_{9}$; lục giác A$_{3}$A$_{4}$A$_{5}$A$_{6}$A$_{8}$A$_{9}$; …

Diện tích của tam giác ABM là: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^2}).$

Diện tích của tam giác CBN là: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^2}).$

Diện tích của tam giác CPD là: $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^2}).$

Diện tích của tam giác AQE là: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^2}).$

Tổng diện tích các tam giác ABM, CBN, C PD, AQE là:

4 + 2 + 3 + 1 = 10 (đơn vị diện tích).

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: 6.4 = 24 (đơn vị diện tích).

Diện tích ngũ giác ABCDE là hiệu diện tích hình chữ nhật MNPQ và tổng diện tích các tam giác ABM, CBN, C PD, AQE, và bằng:

24 – 10 = 14 (đơn vị diện tích).

Tỉ số diện tích ngũ giác ABCDE và diện tích hình chữ nhật MNPQ là: $\frac{{14}}{{24}} = \frac{7}{{12}} \approx 0{,}6.$

Áp dụng các bất đẳng thức tam giác ta có:

AF + FE > AE (trong tam giác AEF);

AJ + JB > AB (trong tam giác ABJ);

BI + IC > BC (trong tam giác BCI);

CH + HD > CD (trong tam giác CDH);

GE + GD > ED (trong tam giác GDE).

Do đó, ta có:

AF + FE + AJ + JB + BI + IC + CH + HD + GE + GD > AE + AB + BC + CD + ED. (1)

Mặt khác:

(AF + GD) + (JB + FE) + (AJ + IC) + (BI + HD) + (EG + CH) < AD + BE + AC + BD + EC.

Hay AF + FE + AJ + JB + BI + IC + CH + HD + GE + GD < AB + BC + CD + DE + EA. (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AC + AD + BD + BE + EC > AB + BC + CD + DE + EA.