12 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 1. Đa giác đều có đáp án

Mỗi góc của ngũ giác đều bằng: $\frac{{(5 - 2){{.180}^0}}}{5}\, = \,{108^0}$

Mỗi góc của ngũ lục đều bằng: $\frac{{(6 - 2){{.180}^0}}}{6}\, = \,{120^0}$

Mỗi góc của bát giác đều bằng: $\frac{{(8 - 2){{.180}^0}}}{8}\, = \,{135^0}$

Gọi $n$ là số cạnh của đa giác đều.

Ta có $\frac{{\left( {n - 2} \right).180^\circ }}{n} = 135^\circ$

nên $\frac{{n - 2}}{n} = \frac{{135}}{{180}} = \frac{3}{4}$.

Do đó $4\left( {n - 2} \right) = 3n$.

Vậy $n = 8$.

Xét $\Delta HDC$ vuông tại $D$, $DM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $DM = HM$. Ta lại có $\widehat {{C_1}} = 30^\circ$ nên $\widehat {{H_1}} = 60^\circ$. Do đó $\Delta HDM$ là tam giác đều.

Tương tự các tam giác $HME$, $HEI$, $HIF$, $HFK$, $HKD$ là các tam giác đều.

Lục giác $DKFIEM$ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau (bằng $120^\circ$) nên là lục giác đều.

a) Từ mỗi đỉnh của hình n – giác lồi. kẻ được $n - 1$ đoạn thẳng đến các đỉnh còn lại, trong đó có hai đoạn thẳng là cạnh của đa giác, $n - 3$ đoạn thẳng là đường chéo.

Đa giác có $n$ đỉnh nên kẻ được $n\left( {n - 3} \right)$ đường chéo, trong đó mỗi đường chéo tính 2 lần. Vậy số đường chéo của hình $n$- giác lồi là $\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}$.

b) Giải phương trình $\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = n$. Ta được $n = 5$

Gọi $O$ là giao điểm của $AD$, $BE$, $CF$. Dễ dàng chứng minh $N$ là trung điểm của $OC$, $\Delta AFM = \Delta AON$ (c.g.c).

Từ đó $AM = AN$ và $\widehat {MAN} = 60^\circ$ nên $\Delta AMN$ là tam giác đều.