Giải SBT Toán 8 KNTT Ôn tập chương 6 có đáp án

Đáp án đúng là: D

Biểu thức không phải là phân thức đại số là $\sqrt x$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{{16{x^4} - 1}}{{12{x^3} - 3x}} = \frac{{\left( {4{x^2} - 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)}}{{3x\left( {4{x^2} - 1} \right)}} = \frac{{4{x^2} + 1}}{{3x}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{x}{{3\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{x}{{3\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$$\frac{{{x^3} - x + 1}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^3} + 1} \right)}} = \frac{{{x^3} - x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}$$

Do đó, mẫu thức chung là:

3(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)(x$^{2}$ – x + 1) = 3(x$^{2}$ – 1)(x$^{2}$ – 4)(x$^{2}$ – x + 1)

Do đó, không thể chọn mẫu thức chung là: 3(x$^{2}$ – 1)(x$^{2}$ – 4)(x$^{2}$ + x + 1).

Đáp án đúng là: A

Thay x = –0,5 vào phân thức $\frac{{8x - 4}}{{8{x^3} - 1}}$ ta được: $\frac{{8.\left( { - 0{,}5} \right) - 4}}{{8.{{\left( { - 0{,}5} \right)}^3} - 1}} = \frac{{ - 8}}{{ - 2}} = 4$.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\frac{{x - 1}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{1 - 2x}}{{x - 1}} - \frac{{3x + 2}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{1 - x}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{3x}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{1 - 2x}}{{1 - x}}$

= $\left( {\frac{{x - 1}}{{{x^3} + 1}} - \frac{{3x + 2}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{1 - x}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{3x}}{{{x^3} + 1}}} \right) + \left( {\frac{{1 - 2x}}{{x - 1}} + \frac{{1 - 2x}}{{1 - x}}} \right)$

$= \left( {\frac{{x - 1}}{{{x^3} + 1}} - \frac{{3x + 2}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{1 - x}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{3x}}{{{x^3} + 1}}} \right) + \left( {\frac{{1 - 2x}}{{x - 1}} - \frac{{1 - 2x}}{{x - 1}}} \right)$

$= \left( {\frac{{x - 1 - 3x - 2 + 1 - x + 3x}}{{{x^3} + 1}}} \right) + \left( {\frac{{1 - 2x - 1 + 2x}}{{x - 1}}} \right)$

$= \frac{{ - 2}}{{{x^3} + 1}} + 0 = \frac{{ - 2}}{{{x^3} + 1}}$.

Điều kiện xác định của phân thức là: x$^{2}$ – 9 ≠ 0 hay (x – 3)(x + 3) ≠ 0, suy ra x ≠ ±3.

Tập hợp tất cả các giá trị của x không thỏa mãn điều kiện xác định là: {3; –3}.

Ta có:

$P = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{{x^2} - 3x - x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {{x^2} - 3x} \right) - \left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

$= \frac{{x\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{x + 3}}$.

Với điều kiện xác định x ≠ ±3, ta có:

$P = \frac{{x - 1}}{{x + 3}} = \frac{{x + 3 - 4}}{{x + 3}} = 1 - \frac{4}{{x + 3}}$.

Để P là số nguyên thì (x + 3) ∈ Ư(4) = {1; –1; 2; –2; 4; –4}.

Suy ra x ∈ {–2; –4; –1; –5; 1; –7}.

Vậy x ∈ {–2; –4; –1; –5; 1; –7} thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có:

$P = \frac{1}{{2{x^2} + 7x - 15}} = \frac{1}{{2{x^2} + 10x - 3x - 15}} = \frac{1}{{\left( {2{x^2} + 10x} \right) - \left( {3x + 15} \right)}}$

$= \frac{1}{{2x\left( {x + 5} \right) - 3\left( {x + 5} \right)}} = \frac{1}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}$.

$\begin{array}{l}Q = \frac{1}{{{x^2} + 3x - 10}} = \frac{1}{{{x^2} + 5x - 2x - 10}} = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 5x} \right) - \left( {2x + 10} \right)}}\\ = \frac{1}{{x\left( {x + 5} \right) - 2\left( {x + 5} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right)}}\end{array}$

Do đó, mẫu thức chung là: (x – 2)(2x – 3)(x + 5) = 2x$^{3}$ + 3x$^{2}$ – 29x + 30 = M.

Vì vậy, có thể quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho với mẫu thức chung là M.

Với y ≠ 0, y ≠ x, y ≠ –x, ta có:

$P = \left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right).\left( {\frac{{2x}}{y} + \frac{{4x}}{{x - y}}} \right):\frac{1}{y}$

$= \left[ {\frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right].\left[ {\frac{{2x\left( {x - y} \right)}}{{y\left( {x - y} \right)}} + \frac{{4xy}}{{y\left( {x - y} \right)}}} \right]:\frac{1}{y}$

$= \left[ {\frac{{x\left( {x + y} \right) - {x^2} - {y^2}}}{{x + y}}} \right].\left[ {\frac{{2x\left( {x - y} \right) + 4xy}}{{y\left( {x - y} \right)}}} \right]:\frac{1}{y}$

$= \left[ {\frac{{{x^2} + xy - {x^2} - {y^2}}}{{x + y}}} \right].\left[ {\frac{{2{x^2} - 2xy + 4xy}}{{y\left( {x - y} \right)}}} \right]:\frac{1}{y}$

$$= \frac{{xy - {y^2}}}{{x + y}}.\frac{{2{x^2} + 2xy}}{{y\left( {x - y} \right)}}.y$$

$= \frac{{y\left( {x - y} \right)}}{{x + y}}.\frac{{2x\left( {x + y} \right)}}{{y\left( {x - y} \right)}}.y$ = 2xy.

Với a ≠ 0, y ≠ x, y ≠ –x, ta có:

$P = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {ay - ax} \right)}}$$= \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)a\left( {y - x} \right)}}$

$= \frac{{ - \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{a\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}$$= \frac{{ - 1}}{a}$.

Do đó, giá trị của P không phụ thuộc vào x, y mà chỉ phụ thuộc vào a.

Theo đề bài ta có: x + y + z = 0, suy ra z = –x – y.

Do đó, phân thức $\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}$ trở thành:

$\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {{\left( { - x - y} \right)}^2}}} = \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {{\left( {x + y} \right)}^2}}}$

$= \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {x^2} - 2xy - {y^2}}} = \frac{{xy}}{{ - 2xy}} = \frac{{ - 1}}{2}$.

Vậy phân thức $\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}$ có giá trị không đổi bằng $\frac{{ - 1}}{2}$.

Theo đề bài ta có: x + y + z = 0, suy ra z = –x – y.

Do đó, ta có:

$\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \frac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}$

$= \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {{\left( { - x - y} \right)}^2}}} + \frac{{y\left( { - x - y} \right)}}{{{y^2} + {{\left( { - x - y} \right)}^2} - {x^2}}} + \frac{{\left( { - x - y} \right)x}}{{{{\left( { - x - y} \right)}^2} + {x^2} - {y^2}}}$

$= \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \frac{{ - xy - {y^2}}}{{{y^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2} - {x^2}}} + \frac{{ - {x^2} - xy}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + {x^2} - {y^2}}}$

$= \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {x^2} - {y^2} - 2xy}} + \frac{{ - xy - {y^2}}}{{{y^2} + {x^2} + 2xy + {y^2} - {x^2}}} + \frac{{ - {x^2} - xy}}{{{x^2} + 2xy + {y^2} + {x^2} - {y^2}}}$

$= \frac{{xy}}{{ - 2xy}} + \frac{{ - xy - {y^2}}}{{2{y^2} + 2xy}} + \frac{{ - {x^2} - xy}}{{2{x^2} + 2xy}}$

$= \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{ - y\left( {x + y} \right)}}{{2y\left( {y + x} \right)}} + \frac{{ - x\left( {x + y} \right)}}{{2x\left( {x + y} \right)}}$

$= \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{ - 1}}{2}$$= \frac{{ - 3}}{2}$.

Ta có:

Do đó, (4x$^{2}$ + 2x + 3) : (2x + 1) = 2x (dư 3) hay 4x$^{2}$ + 2x + 3 = 2x(2x + 1) + 3.

Vì 4x$^{2}$ + 2x + 3 = 2x(2x + 1) + 3 nên

$P = \frac{{4{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}} = \frac{{2x\left( {2x + 1} \right) + 3}}{{2x + 1}}$ = $2x + \frac{3}{{2x + 1}}$.

Vì x là số nguyên nên 2x là số nguyên.

Để P là số nguyên thì (2x + 1) ∈ Ư(3) = {1; –1; 3; –3}.

Mà x là số nguyên.

Suy ra x ∈ {0; –1; 1; –2}. Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện $x \ne - \frac{1}{2}$.

Vậy x ∈ {0; –1; 1; –2}.

Điều kiện xác định của biểu thức P là x ≠ 0 và x ≠ – 2.

$P = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$

$= \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$

$= \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {\frac{{x + 2 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$

$= \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$

$= \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( { - {x^2} + x + 2} \right)}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$

$= \frac{{ - {x^3} + {x^2} + 2x - 2{x^2} + 2x + 4}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$

$= \frac{{ - {x^3} - {x^2} + 4x + 4}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$

$= \frac{{ - {x^3} - {x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 6x - 4}}{x}$

$= \frac{{ - {x^3} - 2{x^2} - 2x}}{x}$

$= - {x^2} - 2x - 2$.

P = –x$^{2}$ – 2x – 2 = –(x$^{2}$ + 2x + 2) = – (x$^{2}$ + 2x + 1 + 1) = – (x + 1)$^{2}$ – 1.

Vì – (x + 1)$^{2}$ ≤ 0 với mọi số thực x.

Suy ra – (x + 1)$^{2}$ – 1 ≤ – 1 với mọi số thực x.

Hay P ≤ – 1 với mọi số thực x.

Vậy giá trị lớn nhất của P là P = –1.

Dấu “=” xảy ra khi x + 1 = 0 hay x = –1 (thỏa mãn điều kiện xác định của P).

Vậy giá trị lớn nhất của P là – 1 (đạt được tại x = –1).

Ta có $P = \frac{{{x^2} - 4x + 12}}{{{x^2} - 4x + 10}} = \frac{{{x^2} - 4x + 4 + 8}}{{{x^2} - 4x + 4 + 6}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 6}}$.

Đặt t = x – 2 ta được: $P = \frac{{{t^2} + 8}}{{{t^2} + 6}}$.

Vì t$^{2}$ ≥ 0 với mọi số thực t.

Suy ra t$^{2}$ + 8 > 0 và t$^{2}$ + 6 > 0 với mọi số thực t.

Do đó, $P = \frac{{{t^2} + 8}}{{{t^2} + 6}}$ > 0 với mọi số thực t.

Gọi t (giờ) là thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) khi mở cả hai vòi.

Như vậy, trong một giờ cả hai vòi cùng mở sẽ xả được $\frac{1}{t}$ (bể).

Mặt khác, từ giả thiết suy ra trong một giờ, một mình vòi thứ nhất xả hết $\frac{1}{x}$ (bể), một mình vòi thứ hai xả được $\frac{1}{y}$ (bể).

Do đó, trong một giờ cả hai vòi cùng mở sẽ xả được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{{x + y}}{{xy}}$ (bể).

Từ đó suy ra: $\frac{1}{t} = \frac{{x + y}}{{xy}}$. Do đó $t = \frac{{xy}}{{x + y}}$.

Với x = 2, y = 3 thì $t = \frac{{2.3}}{{2 + 3}} = 1{,}2$ giờ = 1 giờ 12 phút.

Do đó, trong trường hợp khi mở một vòi, vòi thứ nhất xả hết nước trong 2 giờ, vòi thứ hai xả hết nước trong 3 giờ, khi mở cả hai vòi sẽ xả được hết nước trong bể sau 1 giờ 12 phút.