Giải SBT Toán 8 KNTT Bài 34. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác có đáp án

Lời giải

(1) Vì $\frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{{12}}$ nên hai tam giác này đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

(2) Vì $\frac{3}{6} = \frac{5}{{10}} \ne \frac{6}{{11}}$ nên hai tam giác này không đồng dạng với nhau.

(3) Vì $\frac{2}{2} = \frac{3}{3} \ne \frac{3}{2}$ nên hai tam giác này không đồng dạng với nhau.

(4) Vì $\frac{4}{3} = \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$ nên hai tam giác này đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

Lời giải

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{3}{4} = \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{AB + AC}}{{DE + DF}} = \frac{{15 - BC}}{{20 - FE}}$

Do đó,

4(15 – BC) = 3(20 – FE)

60 – 4BC = 60 – 3FE

4BC = 3FE

Suy ra $\frac{{BC}}{{FE}} = \frac{3}{4}$.

Tam giác ABC và tam giác DEF có:

$\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}}\left( { = \frac{3}{4}} \right)$.

Nên ∆ABC ᔕ ∆DEF (c.c.c).

Lời giải

Vì DE = 6 cm, DF = 4 cm, EF = 3 cm nên ta có: DE : DF : EF = 6 : 4 : 3.

Do đó $\frac{{DE}}{6} = \frac{{DF}}{4} = \frac{{EF}}{3}$. Suy ra $\frac{{2DE}}{{12}} = \frac{{3DF}}{{12}} = \frac{{4EF}}{{12}}$.

Suy ra 2DE = 3DF = 4EF.

Mà 2AB = 3AC = 4BC (gt)

Do đó, $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}}$.

Suy ra, ∆ABC ᔕ ∆DEF (c.c.c).

Lời giải

Vì OA = 3OM, OB = 3ON, OC = 3OP.

Nên $\frac{{OA}}{{OM}} = 3;\frac{{OB}}{{ON}} = 3;\frac{{OC}}{{OP}} = 3$. Suy ra $\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{OB}}{{ON}} = \frac{{OC}}{{OP}} = 3$.

Tam giác OMN có: $\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{OB}}{{ON}}$.

Nên suy ra AB song song với MN (định lí Thalès đảo).

Do đó, $\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{OA}}{{OM}} = 3$.

Chứng minh tương tự ta có: $\frac{{AC}}{{MP}} = 3;\frac{{BC}}{{NP}} = 3$.

Tam giác ABC và tam giác MNP có:

$\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{NP}} = 3$.

Do đó, ∆ABC ᔕ ∆MNP (c.c.c) với tỉ số đồng dạng 3.

Lời giải

Tam giác ABC có:

M, N lần lượt là trung điểm của BC, CA

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó, MN // AB và $\frac{{AB}}{{MN}} = 2$.

Chứng minh tương tự ta có: $\frac{{BC}}{{PN}} = 2$; $\frac{{AC}}{{PM}} = 2$.

Tam giác ABC và tam giác MNP có:

$\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{PN}} = \frac{{AC}}{{PM}}$ (= 2).

Nên ∆ABC ᔕ ∆MNP (c.c.c) theo tỉ số đồng dạng là 2.

Lời giải

Tam giác ABD và tam giác BDC có:

$\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AD}}{{BC}}$ (do $\frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$)

Do đó, ∆ABD ᔕ ∆BDC (c.c.c).

Suy ra: $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong. Do đó, AB song song với CD.

Lời giải

Vì tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC nên:

$\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{MP}}{{AC}}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ).

Mà trong tam giác ABC, cạnh AC lớn nhất nên trong tam giác MNP cạnh lớn nhất là MP.

Do đó, MP = 9 cm.

Khi đó $\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{MP}}{{AC}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Suy ra: $MN = \frac{3}{2}AB = \frac{3}{2}.4 = 6$ (cm), $NP = \frac{3}{2}BC = \frac{3}{2} \cdot 5 = \frac{{15}}{2}$ (cm).

Lời giải

Hai tam giác ABC và tam giác DEF có:

$\frac{{AB}}{{EF}} = \frac{{BC}}{{DF}}$

$\widehat {ABC} = \widehat {DFE}$

Do đó, ∆ABC ᔕ ∆EFD (c.g.c).

Khi đó, đỉnh A tương ứng với đỉnh E, đỉnh B tương ứng với đỉnh F và đỉnh C tương ứng với đỉnh D.

Suy ra các đáp án đúng là (2), (3), (6).

Lời giải

Tam giác ABC và tam giác MNP có:

$\widehat {ABC} = \widehat {NMP}$

$\widehat {ACB} = \widehat {MNP}$

Do đó, ∆ABC ᔕ ∆PMN (g.g).

Khi đó đỉnh A tương ứng với đỉnh P, đỉnh B tương ứng với đỉnh M, đỉnh C tương ứng với đỉnh N.

Suy ra, các khẳng định đúng là (2), (4), (5).

Lời giải

a)

Vì AM . AB = AN . AC nên $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}$.

Tam giác AMN và tam giác ABC có:

$\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}$,

$\widehat {BAC}$ chung.

Do đó, ∆AMN ᔕ ∆ACB (c.g.c).

b)

Vì ∆AMN ᔕ ∆ACB (cmt) nên $\widehat {AMN} = \widehat C$ và $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{CB}}$.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của MN, BC nên MN = 2ME, BC = 2FC.

Do đó: $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{CB}} = \frac{{2ME}}{{2FC}} = \frac{{ME}}{{FC}}$.

Tam giác MAE và tam giác CAF có:

$\widehat {AME} = \widehat C$ (do $\widehat {AMN} = \widehat C$);

$\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{ME}}{{FC}}$ (cmt).

Do đó, ∆AME ᔕ ∆ACF (c.g.c). Suy ra $\widehat {EAM} = \widehat {FAC}$ (hai góc tương ứng).

Vậy $\widehat {EAB} = \widehat {FAC}$.

Lời giải

a)

Xét tam giác APQ và tam giác ACB có:

$\widehat {PAQ} = \widehat {BAC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat {APQ} = \widehat {ACB}$ (giả thiết)

Do đó, ∆APQ ᔕ ∆ACB (g.g) nên $\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AQ}}{{AB}}$.

Suy ra: AP . AB = AQ . AC.

b)

Vì $\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AQ}}{{AB}}$ nên $\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AC}}{{AB}}$.

Xét tam giác APC và tam giác AQB có:

$\widehat {PAC} = \widehat {BAQ}$ (hai góc đối đỉnh),

$\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ (chứng minh trên).

Do đó, ∆APC ᔕ ∆AQB (c.g.c).

Lời giải

a)

Vì MN song song với BC (gt) nên

$\widehat {ENM} = \widehat C$ (hai góc đồng vị);

$\widehat {AMN} = \widehat {ABC}$ (hai góc đồng vị).

Mà ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC nên $\widehat {EMN} = \frac{1}{2}\widehat {AMN}$ và $\widehat {FBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}$. Do đó, $\widehat {EMN} = \widehat {FBC}$.

Tam giác MEN và tam giác BFC có:

$\widehat {ENM} = \widehat C$ (cmt)

$\widehat {EMN} = \widehat {FBC}$ (cmt)

Do đó, tam giác MEN đồng dạng với tam giác BFC (g.g).

b)

Tam giác ABC có:

MN song song với BC

Nên theo hệ quả định lý Thalès ta có:

$\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}}$ (1).

Vì ME, BF lần lượt là phân giác của $\widehat M$, $\widehat B$ của tam giác AMN và tam giác ABC nên $\widehat {EMA} = \frac{1}{2}\widehat {AMN} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \widehat {FBA}$.

Do đó, $\widehat {EMA} = \widehat {FBA}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ME song song với BF.

Tam giác ABF có ME song song với BF nên theo hệ quả định lý Thalès ta có:

$\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AB}}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{MN}}{{BC}}$.

Lời giải

Vì AB song song CD nên $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (hai góc so le trong).

Tam giác ABD và tam giác BDC có:

$\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DC}}$ (do $\frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$)

$\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (cmt)

Do đó, ∆ABD ᔕ ∆BDC (c.g.c).

Suy ra: $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{1}{2}$.

Do đó, BC = 2AD.

Lời giải

a)

Vì AB song song với đáy CD của tam giác EDC nên ∆EAB ᔕ ∆EDC.

Vì AB song song với đáy CD của tam giác FCD nên ∆FAB ᔕ ∆FCD.

b)

Vì ∆EAB ᔕ ∆EDC (cmt) nên $\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{{2AM}}{{2DN}} = \frac{{AM}}{{DN}}$ (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD).

Tam giác EAM và tam giác EDN có:

$\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{AM}}{{DN}}$ (cmt)

$\widehat {EAM} = \widehat {EDN}$ (AM song song với DN, hai góc đồng vị)

Do đó, ∆EAM ᔕ ∆EDN (c.g.c).

Suy ra $\widehat {AEM} = \widehat {DEN}$.

Do đó, tia EM trùng với tia EN hay 3 điểm M, E, N thẳng hàng (1).

Vì ∆FAB ᔕ ∆FCD nên $\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{AM}}{{CN}}$.

Hai tam giác FAM và tam giác FCN có:

$\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{AM}}{{CN}}$ (cmt)

$\widehat {FAM} = \widehat {FCN}$ (AM song song với CN, hai góc so le trong)

Do đó, ∆FAM ᔕ ∆FCN (c.g.c).

Nên $\widehat {AFM} = \widehat {CFN}$

Do đó, tia FM và tia FN là hai tia đối nhau.

Suy ra, F, M, N thẳng hàng (2).

Từ (1) và (2) ta có: 4 điểm M, E, F, N thẳng hàng.

Lời giải

Xét hai tam giác ABD và tam giác ACB có:

$\widehat A$ chung

$\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}$ (do $\frac{6}{9} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$)

Do đó, ∆ABD ᔕ ∆ACB (c.g.c).

Suy ra $\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Nên BC = $\frac{3}{2}$ BD.

Lời giải

Xét tam giác ABC và tam giác ACD có:

$\widehat {BAC} = \widehat {DAC}$ (vì AC là tia phân giác của $\widehat {DAB}$)

$\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AD}}$ (do $\frac{2}{4} = \frac{4}{8}$)

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆ACD (c.g.c).

Do đó, $\frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Suy ra CD = 2BC.

Lời giải

Xét tam giác ABD và tam giác ACB có:

$\widehat A$ chung

$\widehat {ABD} = \widehat {BCA}$ (gt)

Do đó, ∆ABD ᔕ ∆ACB (g.g).

Suy ra $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Nên AB$^{2}$ = AD . AC.

Lời giải

a)

Xét tam giác ABN và tam giác ACM có:

$\widehat A$ chung

$\widehat {ABN} = \widehat {ACM}$ (gt)

Do đó, ∆ABN ᔕ ∆ACM (g.g).

Suy ra $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AM}}$ nên AM . AB = AN . AC.

b)

Tam giác BOM và tam giác CON có:

$\widehat {MBO} = \widehat {NCO}$ (do $\widehat {ABN} = \widehat {ACM}$)

$\widehat {MOB} = \widehat {NOC}$ (hai góc đối đỉnh)

Nên ∆BOM ᔕ ∆CON (g.g).

Suy ra $\frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{OB}}{{OC}}$ nên OM . OC = ON . OB.

Lời giải

a)

Ta có: AD = AC + DC = AC + BC = 4 + 5 = 9 (cm).

Xét tam giác ABC và tam giác ADB có:

$\widehat A$ chung

$\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\,\,\left( {\frac{6}{9} = \frac{4}{6}} \right)$.

Do đó, ∆ABC ᔕ ∆ADB (c.g.c).

b)

Vì ∆ABC ᔕ ∆ADB (cmt) nên $\widehat {ABC} = \widehat {ADB}$.

Mà tam giác BCD cân tại C (do CD = CB) nên $\widehat {CBD} = \widehat {BDC}$ hay $\widehat {CBD} = \widehat {ADB}$.

Do đó, $\widehat {CBD} = \widehat {ABC}$.

Vì góc ACB là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác DBC nên ta có:

$\widehat {ACB} = \widehat {CDB} + \widehat {CBD} = 2\widehat {CBD} = 2\widehat {ABC}$.

Vậy $\widehat {ACB} = 2\widehat {ABC}$.