Giải SBT Toán 8 CTST Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác có đáp án

Ta có ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC, suy ra

$\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}$hay $\frac{{A'B'}}{9} = \frac{{A'C'}}{{12}} = \frac{{B'C'}}{{14}}$.

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, có:

$\frac{{A'B'}}{9} = \frac{{A'C'}}{{12}} = \frac{{B'C'}}{{14}}$= $\frac{{A'B' + A'C' + B'C'}}{{9 + 12 + 14}} = \frac{{61{,}25}}{{35}} = \frac{7}{4}$.

Suy ra $\frac{{A'B'}}{9} = \frac{7}{4}$ ; $\frac{{A'C'}}{{12}} = \frac{7}{4}$ và $\frac{{B'C'}}{{14}} = \frac{7}{4}$.

Do đó $A'B' = \frac{{7.9}}{4} = 15{,}75$; $A'C' = \frac{{7.12}}{4} = 21$ và $B'C' = \frac{{7.14}}{4} = 24{,}5$.

Vậy A’B’ = 15,75 cm ; A’C’ = 21 cm và B’C’ = 24,5 cm.

Ta có AB = AM + MB = x + 2x = 3x.

Ta lại có $\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{x}{{3x}} = \frac{1}{3}$; $\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{y}{{3y}} = \frac{1}{3}$và $\frac{{NB}}{{BC}} = \frac{z}{{3z}} = \frac{1}{3}$.

Xét ∆MBN và ∆ABC có: $\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BC}}$.

Suy ra ∆MBN ᔕ ∆ABC (c.c.c).

Ta có MBN ᔕ ∆ABC.

Khi đó, tỉ số chu vi của hai tam giác bằng tỉ số đồng dạng là:

$\frac{{{P_{MBN}}}}{{{P_{ABC}}}} = \frac{1}{3}$ hay $\frac{{{P_{MBN}}}}{{15}} = \frac{1}{3}$.

Do đó ${P_{MBN}} = \frac{{1.15}}{3} = 5$.

Vậy chu vi tam giác MBN là 5 cm.

Ta có $\frac{{MA}}{{AB}} = \frac{{10}}{8} = \frac{5}{4}$; $\frac{{AB}}{{BN}} = \frac{8}{{6{,}4}} = \frac{5}{4}$; $\frac{{MB}}{{AN}} = \frac{{15}}{{12}} = \frac{5}{4}$.

Xét ∆MAB và ∆ABN có $\frac{{MA}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BN}} = \frac{{MB}}{{AN}}$.

Do đó ∆MAB ᔕ ∆ABN (c.c.c).

Ta có ∆MAB ᔕ ∆ABN, suy ra $\widehat {MAB} = \widehat {NBA}$.

Mà $\widehat {MAB}$ và $\widehat {NBA}$ là hai góc so le trong, suy ra MA // BN.

Suy ra tứ giác AMBN là hình thang.

Ta có ∆ABC ᔕ ∆DEF, suy ra $\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{{P_{\Delta ABC}}}}{{{P_{\Delta DEF}}}} = \frac{{7{,}5}}{{4{,}5}} = \frac{5}{3}$.

Suy ra $\frac{{3{,}5}}{{EF}} = \frac{5}{3}$, suy ra $EF = \frac{{3.3{,}5}}{5} = 2{,}1$ (m).

Vậy độ dài cạnh dài nhất của bồn hoa thứ hai là 2,1 m.

Ta có $\frac{{OB}}{{OA}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$; $\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$, suy ra $\frac{{OB}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OC}}$.

Xét ∆OAB và ∆OCA có $\frac{{OB}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OC}}$ và $\widehat O$ chung.

Do đó ∆OAB ᔕ ∆OCA (c.g.c).

Suy ra $\widehat {OBA} = \widehat {OAC}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$; $\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}$, suy ra $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}}$.

Xét ∆ABC và ∆DEF có

$\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}}$và $\widehat B = \widehat E$

Do đó ∆ABC ᔕ ∆DEF (c.g.c).

Ta có ∆ABC ᔕ ∆DEF nên

$\frac{{AM}}{{DN}} = \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{3}{4}$, suy ra $\frac{{5{,}1}}{{DN}} = \frac{3}{4}$.

Do đó $DN = \frac{{4.5{,}1}}{3} = 6{,}8$ .

Vậy DN = 6,8 cm.

Xét ∆ANM và ∆ABC có

$\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{2}$, $\widehat {\rm{A}}$ chung.

Do đó ∆ABC ᔕ ∆DEF (c.g.c).

Ta có $\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}}$, suy ra $\frac{{AN}}{{AM}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Xét ∆ANB và ∆AMC có

$\frac{{AN}}{{AM}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ và $\widehat A$ chung.

Do đó ∆ANB ᔕ ∆AMC (c.g.c).

Suy ra $\widehat {ABN} = \widehat {ACM}$ (hai góc tương ứng).

Xét ∆MCF có AE // CM (vì AB // CM), theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{CA}}{{CF}} = \frac{{ME}}{{MF}}$ (1)

Xét ∆BEM có AF // BM (vì AC // BM), theo hệ quả của định lí Thalès ta có:

$\frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{EF}}{{ME}}$.

Ta có $\frac{{AE}}{{BE}} + 1 = \frac{{EF}}{{ME}} + 1$ hay $\frac{{AE}}{{BE}} + \frac{{BE}}{{BE}} = \frac{{EF}}{{ME}} + \frac{{ME}}{{ME}}$.

Suy ra $\frac{{BA}}{{BE}} = \frac{{MF}}{{ME}}$ hay $\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{ME}}{{MF}}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\frac{{CA}}{{CF}} = \frac{{BE}}{{BA}}$, mà AB = BC = AC. Suy ra $\frac{{BC}}{{CF}} = \frac{{BE}}{{BC}}$.

Xét ∆BCE và ∆CFB có $\frac{{BC}}{{CF}} = \frac{{BE}}{{BC}}$ và $\widehat {EBC} = \widehat {BCF}$ (∆ABC đều).

Do đó ∆BCE ᔕ ∆CFB (c.g.c).

Xét ∆ABC và ∆MNQ có

$\widehat A = \widehat M$ và $\widehat C = \widehat Q$

Do đó ∆ABC ᔕ ∆MNQ (g.g)

Ta có ∆ABC ᔕ ∆MNQ, suy ra

$\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MQ}} = \frac{{BC}}{{NQ}}$ hay $\frac{{y - 1}}{5} = \frac{{3{,}5}}{{x + 2}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $\frac{{y - 1}}{5} = \frac{1}{2}$ và $\frac{{3{,}5}}{{x + 2}} = \frac{1}{2}$.

Do đó $y - 1 = \frac{5}{2} = 2{,}5$và x + 2 =7.

Suy ra y = 2,5 + 1 = 3,5 và x = 7 – 2 = 5.

Vây x = 5 và y = 3,5.

Ta có $\widehat {CDx} + \widehat {CDI} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat {CDI} = 180^\circ - \widehat {CDI} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Xét ∆IAB và ∆ICD có

$\widehat {ABI} = \widehat {CDI}$ (= 60°) và $\widehat {AIB} = \widehat {CID}$ (đối đỉnh).

Suy ra ∆IAB ᔕ ∆ICD (g.g).

Suy ra $\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{AB}}{{CD}}$ hay $\frac{6}{{10}} = \frac{{4{,}2}}{{CD}}$.

Do đó $CD = \frac{{4{,}2.10}}{6} = 7$.

Vậy CD = 7.

Xét ∆MNP và ∆ABC có

$\widehat N = \widehat B$ (= 45°) và $\widehat P = \widehat C$ (= 75°).

Do đó ∆MNP ᔕ ∆ABC (g.g).

Ta có MP = 4 cm.

Ta có ∆MNP ᔕ ∆ABC suy ra $\frac{{MP}}{{AC}} = \frac{{NP}}{{BC}}$ hay $\frac{4}{{AC}} = \frac{6}{{36}}$.

Do đó $AC = \frac{{4.36}}{6} = 24$.

Vậy AC = 24 cm.

Xét ∆ABD và ∆BDC có

$\widehat {DAB} = \widehat {DBC}$ và $\widehat {ADB} = \widehat {BDC}$ (DB là tia phân giác của $\widehat {ADC}$).

Do đó ∆ABD ᔕ ∆BDC (g.g).

Ta có ∆ABD ᔕ ∆BDC, suy ra $\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DC}}$.

Do đó BD$^{2}$ = AB . DC (đpcm).

Xét ∆AED và ∆ABC có

$\widehat A$ chung; $\widehat {ADE} = \widehat {ACB}$.

Do đó ∆AED ᔕ ∆ABC (g.g)

Ta có ∆AED ᔕ ∆ABC suy ra $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}$ hay $\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ (1)

• Vì AM là tia phân giác của $\widehat {DAE}$ nên $\frac{{ME}}{{MD}} = \frac{{AE}}{{AD}}$ (2)

• Vì AN là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ nên $\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra $\frac{{ME}}{{MD}} = \frac{{NB}}{{NC}}$ hay ME . NC = MD . NB (đpcm).