Giải SBT Toán 8 Cánh Diều Hình thang cân có đáp án

Gọi I là giao điểm của AD và BC.

Do $\widehat C = \widehat D$ nên tam giác ICD cân tại I. Suy ra ID = IC.

Mà AD = BC; ID = IA + AD; IC = IB + BC

Suy ra IA = IB.

Do đó, tam giác IAB cân tại I.

Xét DICD cân tại I có $\widehat D = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat I}}{2}$.

Xét DIAB cân tại I có $\widehat {IAB} = \widehat {IBA} = \frac{{180^\circ - \widehat I}}{2}$.

Do đó $\widehat {IAB} = \widehat D$, mà $\widehat {IAB}$ và $\widehat D$ nằm ở vị trí đồng vị

Suy ra AB // CD.

Tứ giác ABCD có AB // CD và $\widehat C = \widehat D$ nên ABCD là hình thang cân.

• Xét ∆ACD và ∆BDC có:

AD = BC;

$\widehat {ADC} = \widehat {BCD}$ (do ABCD là hình thang cân);

CD là cạnh chung

Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).

Suy ra $\widehat {ACD} = \widehat {BDC}$ (hai góc tương ứng)

Tam giác PCD có $\widehat {PCD} = \widehat {PDC}$ nên là tam giác cân tại P.

Suy ra PC = PD.

Mà AC = BD (do ∆ACD = ∆BDC);

AC = AP + PC; BD = PD + BD

Suy ra PA = PB nên P nằm trên đường trung trực của AB (1)

• Do AB // CD nên $\widehat {QAB} = \widehat {ADC};\widehat {QBA} = \widehat {BCD}$ (các cặp góc đồng vị).

Mặt khác, $\widehat {ADC} = \widehat {BCD}$ (do ∆ACD = ∆BDC) nên $\widehat {QAB} = \widehat {QBA}$.

Do đó, tam giác QAB cân tại Q.

Suy ra QA = QB nên Q nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra PQ là đường trung trực của AB.

• Ta có: AD = BC và PA = PB suy ra QD = QC.

Do đó Q nằm trên đường trung trực của CD.

Mặt khác PC = PD (chứng minh trên) nên P cũng nằm trên đường trung trực của CD.

Suy ra PQ là đường trung trực của CD.

Vậy PQ là đường trung trực của cả hai đoạn AB và CD.

• Xét ∆ADM vuông tại M và ∆BCN vuông tại N có:

AD = BC; $\widehat {ADM} = \widehat {BCN}$ (do ABCD là hình thang cân)

Do đó ∆ADM = ∆BCN (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AM = BN; DM = CN (các cặp cạnh tương ứng)

• Do AB // CD mà BN ⊥ CD nên BN ⊥ AB, do đó tam giác ABN vuông tại B.

Xét ∆ABN vuông tại B và ∆NMA vuông tại M có:

$\widehat {BAN} = \widehat {MNA}$ (2 góc so le trong của AB // CD);

Cạnh AN chung

Do đó ∆ABN = ∆NMA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AB = NM (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = 3 cm nên NM = 3 cm.

• Ta có DM + NM + CN = CD và DM = CN nên 2DM + 3 = 6.

Suy ra DM = 1,5 cm.

Mà DN = DM + NM = 1,5 + 3 = 4,5 cm.

Trong tam giác ADM vuông tại M, ta có: AD$^{2}$ = AM$^{2}$ + DM$^{2}$.

Suy ra AM$^{2}$ = AD$^{2}$ ‒ DM$^{2}$ = 2,5$^{2}$ ‒ 1,5$^{2}$ = 4.

Vậy $AM = \sqrt 4 = 2\;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Do AM = AN nên ∆AMN cân tại A.

Xét ∆AMN cân tại A có: $\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}$.

Xét ∆ABC đều hay cũng cân tại A có $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}$.

Suy ra $\widehat {AMN} = \widehat {ABC}\,\,\left( { = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}} \right)$

Mà $\widehat {AMN}$ và $\widehat {ABC}$ nằm ở vị trí đồng vị, suy ra MN // BC.

Tứ giác BMNC có MN // BC và $\widehat {MBC} = \widehat {NCB}$ nên BMNC là hình thang cân.

Do BM = MN nên tam giác MBN cân tại M. Suy ra $\widehat {MNB} = \widehat {MBN}$.

Mà MN // BC nên $\widehat {MNB} = \widehat {NBC}$ (hai góc so le trong), suy ra $\widehat {MBN} = \widehat {NBC}$.

Do đó, BN là tia phân giác của góc ABC.

Tương tự, ta cũng chứng minh được CM là tia phân giác của góc ACB.

Dễ thấy, nếu các điểm M, N được xác định sao cho BN, CM lần lượt là tia phân giác của góc ABC, ACB thì BN = MN = CN.

Vậy M là giao điểm của AB và tia phân giác của góc ACB, N là giao điểm của AC và tia phân giác của góc ABC thì BN = MN = CN.