Giải SBT Toán 7 CTST Bài 30. Tam giác cân có đáp án

Tam giác MNP cân tại M có: các cạnh bên là MN và MP; cạnh đáy là NP; góc ở đỉnh là $\widehat{M}$; góc ở đáy là $\widehat{N}$ và $\widehat{P}$.

a) Giả sử tam giác ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ}$ như hình vẽ dưới đây:

Xét DABC có: $\overset{︿}{\text{A}}+\overset{︿}{\text{B}}+\overset{︿}{\text{C}}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{A}=180^{\circ}-\widehat{C}-\widehat{B}$

Do đó $\overset{︿}{\text{A}}=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$

Tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ}$ nên là tam giác đều.

Vậy tam giác có hai góc bằng 60° thì góc còn lại là 60°. Tam giác này vừa là tam giác đều vừa là tam giác cân tại cả ba đỉnh.

b) Giả sử tam giác MNP có $\widehat{N}=\widehat{P}=45^{\circ}$ như hình vẽ dưới đây.

Tam giác MNP có $\widehat{N}=\widehat{P}=45^{\circ}$ nên là tam giác cân tại M.

Xét DMNP có: $\overset{︿}{M}+\overset{︿}{N}+\overset{︿}{P}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{M}=180^{\circ}-\widehat{N}-\widehat{P}$

Do đó $\overset{︿}{M}=180^{\circ}-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}$

Tam giác MNP cân tại M có $\widehat{M}=90^{\circ}$ nên là vừa là tam giác cân vừa là tam giác vuông.

Vậy tam giác có hai góc bằng 45° thì góc còn lại là 90°. Tam giác này là tam giác vuông cân.

Vì $\Delta$ABC có AB = AC (giả thiết) nên DABC cân tại A.

Suy ra $\overset{︿}{\text{C}}=\overset{︿}{\text{B}}$ (tính chất tam giác cân).

Xét $\Delta$ABC có: $\overset{︿}{\text{A}}+\overset{︿}{\text{B}}+\overset{︿}{\text{C}}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}=\frac{180^{\circ}-138^{\circ}}{2}=21^{\circ}$.

Vậy $\overset{︿}{\text{C}}=\overset{︿}{\text{B}}=21^{\circ}.$

Chứng minh (Hình 7):

a) Vì AB = AC (giả thiết) nên tam giác ABC cân tại A.

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất) (1)

Ta có BE là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ (giả thiết)

Nên $\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (tính chất tia phân giác) (2)

Lại có CF là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ (giả thiết)

Nên $\widehat{ACF}=\widehat{FCB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ (tính chất tia phân giác) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{ACF}=\widehat{FCB}=\widehat{ABE}=\widehat{EBC}$.

Xét ΔABE và ΔACF có:

$\widehat{A}$ là góc chung,

AB = BC (giả thiết),

$\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$ (chứng minh trên).

Do đó ΔABE = ΔACF (g.c.g).

Vậy ΔABE = ΔACF.

b) Vì ΔABE = ΔACF (chứng minh câu a).

Nên BE = CF (hai cạnh tương ứng).

Xét ΔOBC có $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$

Do đó ΔOBC cân tại O.

Suy ra OB = OC (tính chất tam giác cân).

Ta có: BE = OB + OE, CF = OC + OF.

Mà BE = CF, OB = OC (chứng minh trên).

Suy ra OE = OF

Do đó ΔOEF cân tại O.

Vậy tam giác OEF cân tại O.

a) Vì DMFE cân tại M (giả thiết).

Nên $\overset{︿}{E}=\overset{︿}{F}$ (tính chất tam giác cân).

Xét DMEF có: $\overset{︿}{M}+\overset{︿}{E}+\overset{︿}{F}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{E}=\widehat{F}=\frac{180^{\circ}-\widehat{M}}{2}=\frac{180^{\circ}-80^{\circ}}{2}=50^{\circ}$.

Vậy $\overset{︿}{E}=\overset{︿}{F}=50^{\circ}.$

b) Vì DMEF cân tại M (giả thiết) nên ME = MF (1)

Vì N là trung điểm của ME nên $MN=NE=\frac{ME}{2}$ (2)

Vì P là trung điểm của MF nên $MP=PF=\frac{MF}{2}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra MN = NE = MP = PE.

Tam giác MNP có MN = MP (chứng minh trên)

Do đó tam giác MNP cân tại M.

Vậy tam giác MNP cân tại M.

c) Vì tam giác MNP cân tại M (chứng minh câu b).

Nên $\widehat{MNP}=\widehat{MPN}$ (tính chất tam giác cân)

Xét DMNP có: $\widehat{M}+\widehat{MNP}+\widehat{MPN}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{MNP}=\widehat{MPN}=\frac{180^{\circ}-\widehat{M}}{2}=\frac{180^{\circ}-80^{\circ}}{2}=50^{\circ}$.

Ta có $\widehat{MNP}=\widehat{E}$ (cùng bằng 50°).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra NP // EF

Vậy NP // EF.

b) Xét ∆OBC có $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ (cùng bằng 22,5°).

Nên tam giác OBC cân tại O.

Vậy tam giác OBC cân tại O.

c) Xét DOBC có: $\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{BOC}=180^{\circ}$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Nên $\widehat{BOC}=180^{\circ}-\widehat{OBC}-\widehat{OCB}$

Suy ra $\widehat{BOC}=180^{\circ}-22{,}5^{\circ}-22{,}5^{\circ}=135^{\circ}$

Vậy $\widehat{BOC}=135^{\circ}.$