Giải SBT Toán 7 CD Bài 7. Tam giác cân có đáp án

Ta có:

a) • Vì AE là tia phân giác của $\widehat{BAD}$ nên $\widehat{BAE}=\widehat{EAD}$ .

Vì BC // AD nên $\widehat{BEA}=\widehat{EAD}$(hai góc so le trong)

Do đó $\widehat{BAE}=\widehat{BEA}$ .

Suy ra tam giác ABE cân tại B.

• Vì AB // CD nên $\widehat{BAE}=\widehat{F}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat{BAE}=\widehat{BEA}$ (chứng minh trên), $\widehat{CEF}=\widehat{BEA}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra $\widehat{CEF}=\widehat{F}$ .

Nên tam giác CEF cân tại C.

• Ta có $\widehat{BAF}=\widehat{\text{DAF}}$ và $\widehat{BAF}=\widehat{DFA}$ nên $\widehat{DAF}=\widehat{DFA}$ .

Do đó tam giác DAF cân tại D.

Vậy DABE cân tại B, DCEF cân tại C, DDAF cân tại D.

b) Vì AB // CD nên $\widehat{BAD}+\widehat{ADF}=180^{\circ}$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra $\widehat{ADF}=180^{\circ}-\widehat{BAD}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$

Xét DADF có $\widehat{ADF}+\widehat{DFA}+\widehat{DAF}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của một tam giác).

Mà $\widehat{ADF}=120^{\circ}$ , $\widehat{DAF}=\widehat{DFA}$ .

Nên $\widehat{DAF}=\widehat{DFA}=\frac{180^{\circ}-\widehat{ADF}}{2}=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$ .

Vậy $\widehat{DAF}=\widehat{DFA}=30^{\circ},\ \widehat{FDA}=120^{\circ}.$

• Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (hai góc ở đáy).

Xét tam giác ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của một tam giác)

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^{\circ}-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180^{\circ}-56^{\circ}}{2}=62^{\circ}$ .

• Ta có $\widehat{ACB}+\widehat{ACM}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{ACM}=180^{\circ}-\widehat{ACB}=180^{\circ}-62^{\circ}=118^{\circ}$ .

• Vì AC = CM (giả thiết) nên tam giác ACM cân tại C.

Suy ra $\widehat{CAM}=\widehat{CMA}$ (hai góc ở đáy).

Xét DAMC có: $\widehat{AMC}+\widehat{ACM}+\widehat{MAC}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của một tam giác).

Do đó $\widehat{CAM}=\widehat{CMA}=\frac{180^{\circ}-\widehat{ACM}}{2}=\frac{180^{\circ}-118^{\circ}}{2}=31^{\circ}$ .

Ta có $\widehat{BAM}=\widehat{BAC}+\widehat{CAM}=56^{\circ}+31^{\circ}=87^{\circ}$ .

Vậy $\widehat{BAM}=87^{\circ},\widehat{ABM}=62^{\circ},\widehat{AMB}=31^{\circ}.$

• Vì IA = IB nên tam giác IAB cân tại I.

Suy ra $\widehat{IBA}=\widehat{IAB}$

• Vì IA = IC nên tam giác IAC cân tại I.

Suy ra $\widehat{IAC}=\widehat{ICA}$

Xét DABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{CBA}+\widehat{BCA}=180^{\circ}$(tổng ba góc của một tam giác).

Hay $\widehat{BAC}+\widehat{IAB}+\widehat{IAC}=2\widehat{BAC}=180^{\circ}$

Do đó $\widehat{BAC}=90^{\circ}$

Vậy $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ .

Vì DMNP cân tại P nên ta có:

PM = PN (hai cạnh bên), $\widehat{PMN}=\widehat{PNM}$ (hai góc ở đáy).

Ta có PM = PA + AM, PN = PB + BN.

Mà PM = PN (chứng minh trên), PA = PB (giả thiết).

Suy ra AM = BN.

Xét DAMN và DBNM có:

AM = BN (chứng minh trên),

MN là cạnh chung,

$\widehat{AMN}=\widehat{BNM}$ (do $\widehat{PMN}=\widehat{PNM}$ )

Do đó ∆AMN = ∆BNM (c.g.c).

Suy ra $\widehat{ANM}=\widehat{BMN}$(hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{ONM}=\widehat{OMN}$

Do đó tam giác ONM cân tại O.

Vậy tam giác OMN là tam giác cân tại O.

a) Vì BD = BA (giả thiết) nên tam giác ABD cân tại B.

Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{BDA}$ (hai góc ở đáy).

Vì CE = CA (giả thiết) nên tam giác ACE cân tại C.

Suy ra $\widehat{CAE}=\widehat{CEA}$ (hai góc ở đáy).

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

• Xét DABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{CBA}+\widehat{BCA}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{BAC}=120^{\circ}$ (giả thiết), $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^{\circ}-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$ .

• Xét DABD có: $\widehat{BAD}+\widehat{DBA}+\widehat{BDA}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ABD}=30^{\circ}$ ,$\widehat{BAD}=\widehat{BDA}$

Suy ra $\widehat{ADB}=\frac{180^{\circ}-\widehat{ABD}}{2}=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$ .

• Xét DACE có: $\widehat{ACE}+\widehat{AEC}+\widehat{CAE}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ACE}=30^{\circ}$ , $\widehat{CAE}=\widehat{CEA}$

Suy ra $\widehat{AEC}=\frac{180^{\circ}-\widehat{ACE}}{2}=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$

Xét tam giác ADE có $\widehat{ADE}=\widehat{AED}$ (cùng bằng 75°).

Suy ra tam giác AED cân tại A.

Vậy DABD cân tại B, DACE cân tại C và DAED cân tại A.

b) Xét DADE có: $\widehat{ADE}+\widehat{AED}+\widehat{DAE}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{DAE}=180^{\circ}-\widehat{ADE}-\widehat{AED}=180^{\circ}-75^{\circ}-75^{\circ}=30^{\circ}$ .

Vậy DADE có $\widehat{ADE}=\widehat{AED}=75^{\circ},\widehat{EAD}=30^{\circ}.$

a) Xét DABD và DACE có:

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}=90^{\circ}$ (giả thiết),

AB = AC (giả thiết),

BD = CE (giả thiết).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng).

Nên tam giác AED cân tại A.

Vậy tam giác AED cân tại A.

b) • Vì AB = AC = BC (giả thiết) nên tam giác ABC đều.

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=60^{\circ}$ .

Vì AC = CE , $\widehat{ACE}=90^{\circ}$ (giả thiết) nên tam giác ACE vuông cân tại C.

Suy ra $\widehat{CEA}=\widehat{CAE}=\frac{180^{\circ}-90^{\circ}}{2}=45^{\circ}$ .

Vì AB = BD , $\widehat{ABD}=90^{\circ}$ (giả thiết) nên tam giác ABD vuông cân tại B.

Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{BDA}=\frac{180^{\circ}-90^{\circ}}{2}=45^{\circ}$ .

Ta có $\widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=45^{\circ}+60^{\circ}+45^{\circ}=150^{\circ}$ .

• Vì tam giác AED cân tại A nên $\widehat{ADE}=\widehat{AED}$

Xét DADE có: $\widehat{ADE}+\widehat{AED}+\widehat{DAE}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{EAD}=150^{\circ}$ , $\widehat{ADE}=\widehat{AED}$

Suy ra $\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180^{\circ}-150^{\circ}}{2}=15^{\circ}$ .

Vậy DADE có $\widehat{ADE}=\widehat{AED}=15^{\circ},\widehat{EAD}=150^{\circ}$ .

c) Ta có $\widehat{DBC}=\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}$ .

$\widehat{BCE}=\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}$.

Xét DCBD và DBCE có:

BC là cạnh chung,

$\widehat{DBC}=\widehat{BCE}$(cùng bằng 150°),

BD = CE (giả thiết),

Do đó ∆BDC = ∆CEB (c.g.c).

Suy ra DC = EB (hai cạnh tương ứng)

Vậy DC = BE.

Vì tam giác ABC đều (giả thiết)

Nên AB = BC = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{BAC}=\widehat{ACB}=60^{\circ}$ .

Ta có AB = AE + BE, AC = AD + DC, BC = BF + FC

Mà AB = BC = AC, AD = CF = BE.

Suy ra AE = BF = CD.

• Xét DADE và DBEF có:

AD = BE (giả thiết),

$\widehat{DAE}=\widehat{FBE}$ (cùng bằng 60°),

AE = BF (chứng minh trên).

Do đó ∆ADE = ∆BEF (c.g.c).

Suy ra DE = EF (hai cạnh tương ứng) (1)

• Xét DCFD và DBEF có:

CF = BE (giả thiết),

$\widehat{FCD}=\widehat{EBF}$ (cùng bằng 60°),

CD = BF (chứng minh trên).

Do đó DCFD = DBEF (c.g.c).

Suy ra FD = EF (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE = EF = FD.

Do đó tam giác DFE đều.

Vậy tam giác DEF là tam giác đều.

Qua D vẽ DK // AC (K ∈ BC) nên $\widehat{KDO}=\widehat{OEC}$ (hai góc so le trong).

Xét DOKD và DOCE có:

$\widehat{KDO}=\widehat{OEC}$(chứng minh trên),

OD = OE (giả thiết),

$\widehat{DOK}=\widehat{EOC}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆OKD = ∆OCE (g.c.g).

Suy ra KD = CE (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác BD = CE suy ra DB = DK hay tam giác DBK cân tại D.

Suy ra $\widehat{DBK}=\widehat{DKB}$ (1)

Do DK // AC nên $\widehat{DKB}=\widehat{ACB}$(hai góc đồng vị) (2)

Từ (1) và (2) ta có:$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Suy ra tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A.