Giải SBT Toán 7 Bài tập cuối chương 4 có đáp án

a) Các cặp góc đối đỉnh trong hình là: ${\widehat{A}}_{1}$ và ${\widehat{A}}_{3}$; ${\widehat{A}}_{2}$ và ${\widehat{A}}_{4}$

b) Các cặp góc đối đỉnh trong hình là: ${\widehat{B}}_{1}$ và ${\widehat{B}}_{3}$; ${\widehat{B}}_{2}$ và ${\widehat{B}}_{4}$

c) Trong hình không có cặp góc nào đối đỉnh do chỉ có tia Oa là tia đối của tia Ob nhưng tia Oc không là tia đối của tia Od.

– Tại đỉnh A:

• Vì ${\widehat{A}}_{2}$ và ${\widehat{A}}_{4}$ là hai góc đối đỉnh nên ${\widehat{A}}_{2}={\widehat{A}}_{4}=32^{\circ}.$

• Vì ${\widehat{A}}_{1}$ và ${\widehat{A}}_{4}$ là hai góc kề bù nên ta có:

${\widehat{A}}_{1}+{\widehat{A}}_{4}=180^{\circ}$

Suy ra ${\widehat{A}}_{1}=180^{\circ}-{\widehat{A}}_{4}=180^{\circ}-32^{\circ}=148^{\circ}$

• Vì ${\widehat{A}}_{1}$ và ${\widehat{A}}_{3}$ là hai góc đối đỉnh nên ${\widehat{A}}_{1}={\widehat{A}}_{3}=148^{\circ}.$

– Tại đỉnh B:

Vì a // b nên:

• ${\widehat{B}}_{1}={\widehat{A}}_{4}=32^{\circ}$ (hai góc so le trong)

• ${\widehat{B}}_{2}={\widehat{A}}_{1}=148^{\circ}$ (hai góc so le trong)

• ${\widehat{B}}_{3}={\widehat{A}}_{4}=32^{\circ}$ (hai góc đồng vị)

• ${\widehat{B}}_{4}={\widehat{A}}_{1}=148^{\circ}$ (hai góc đồng vị).

Vậy ${\widehat{A}}_{1}=148^{\circ},{\widehat{A}}_{2}=32^{\circ},{\widehat{A}}_{3}=148^{\circ};$ ${\widehat{B}}_{1}=32^{\circ},{\widehat{B}}_{2}=148^{\circ},{\widehat{B}}_{3}=32^{\circ},{\widehat{B}}_{4}=148^{\circ}.$

Hình vẽ minh họa:

Viết giả thiết và kết luận bằng kí hiệu:

Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD và AD // BC.

Do AB // CD nên $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (hai góc so le trong)

Do AD // BC nên $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}$ (hai góc so le trong)

Mà AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$ nên $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}$

Suy ra $\widehat{DCA}=\widehat{ACB}$

Do đó CA là tia phân giác của $\widehat{BCD}.$

Vậy CA là tia phân giác của $\widehat{BCD}.$

Hình vẽ minh họa:

Viết giả thiết và kết luận bằng kí hiệu:

Chứng minh định lí:

Vì $\widehat{A}=\widehat{B}=90^{\circ}$ nên AB ⊥ BC, AB ⊥ AD.

Do đó BC // AD (hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song)

Mà $\widehat{C}=90^{\circ}$ nên BC ⊥ CD.

Ta có BC // AD và BC ⊥ CD.

Do đó AD ⊥ CD (một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại).

Suy ra $\widehat{D}=90^{\circ}$

Vậy $\widehat{D}=90^{\circ}$

Đặt các góc A$_{1}$, A$_{2}$ và B$_{1}$ như hình vẽ.

Ta có ${\widehat{A}}_{1}$ và ${\widehat{A}}_{2}$ là hai góc kề bù nên:

${\widehat{A}}_{1}+{\widehat{A}}_{2}=180^{\circ}.$

Suy ra ${\widehat{A}}_{1}=180^{\circ}-{\widehat{A}}_{2}=180^{\circ}-56^{\circ}=124^{\circ}.$

Do đó ${\widehat{A}}_{1}={\widehat{B}}_{1}=124^{\circ}$

Mà ${\widehat{A}}_{1}$ và ${\widehat{B}}_{1}$ ở vị trí đồng vị

Nên xy // zt.

Vì $\widehat{MNE}$ và $\widehat{ENF}$ là hai góc kề nhau nên:

$\widehat{MNE}+\widehat{\text{ENF}}=\widehat{MNF}$

Suy ra $\widehat{MNF}=69^{\circ}+42^{\circ}=111^{\circ}.$

Vẽ tia Nx là tia đối của tia NF.

Khi đó $\widehat{xNM}$ và $\widehat{MNF}$ là hai góc kề bù nên:

$\widehat{xNM}+\widehat{MNF}=180^{\circ}$

Suy ra $\widehat{xNM}=180^{\circ}-\widehat{MNF}$

Hay $\widehat{xNM}=180^{\circ}-111^{\circ}=69^{\circ}$

Lại có $\widehat{NFE}=69^{\circ}$ nên $\widehat{xNM}=\widehat{NFE}=69^{\circ}$

Mà $\widehat{xNM}$ và $\widehat{NFE}$ là hai góc ở vị trí đồng vị.

Do đó MN // EF.

a) Ta có m ⊥ d và n ⊥ d.

Do đó m // n (hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song).

Vậy m // n.

b) Vì m // n nên ${\widehat{M}}_{2}={\widehat{N}}_{2}=70^{\circ}$ (hai góc đồng vị).

Mà ${\widehat{M}}_{2}$ và ${\widehat{M}}_{1}$ là hai góc kề bù nên:

${\widehat{M}}_{1}+{\widehat{M}}_{2}=180^{\circ}$

Suy ra ${\widehat{M}}_{1}=180^{\circ}-{\widehat{M}}_{2}=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}.$

Vậy ${\widehat{M}}_{2}=70^{\circ}$ và ${\widehat{M}}_{1}=110^{\circ}.$

a) Hình vẽ minh họa:

b) Viết giả thiết và kết luận bằng kí hiệu:

c) Chứng minh định lí:

• Vì ${\widehat{A}}_{1}$ và ${\widehat{A}}_{3}$ là hai góc đối đỉnh nên ${\widehat{A}}_{1}={\widehat{A}}_{3}.$

Mà ${\widehat{A}}_{3}={\widehat{B}}_{1}$ (giả thiết)

Suy ra ${\widehat{A}}_{1}={\widehat{B}}_{1}.$

Chứng minh tương tự ta có: ${\widehat{A}}_{3}={\widehat{B}}_{3}(={\widehat{B}}_{1})$

• Lại có ${\widehat{A}}_{1}$ và ${\widehat{A}}_{2}$ là hai góc kề bù nên:

${\widehat{A}}_{1}+{\widehat{A}}_{2}=180^{\circ}$

Suy ra ${\widehat{A}}_{2}=180^{\circ}-{\widehat{A}}_{1}$ (1)

${\widehat{B}}_{1}$ và ${\widehat{B}}_{2}$ là hai góc kề bù nên:

${\widehat{B}}_{1}+{\widehat{B}}_{2}=180^{\circ}$

Suy ra ${\widehat{B}}_{2}=180^{\circ}-{\widehat{B}}_{1}$ (2)

Mà ${\widehat{A}}_{1}={\widehat{B}}_{1}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ${\widehat{A}}_{2}={\widehat{B}}_{2}.$

Chứng minh tương tự ta cũng có ${\widehat{A}}_{4}={\widehat{B}}_{4}.$

Vậy định lí được chứng minh.