Giải SBT Toán 7 Bài 28. Phép chia đa thức một biến có đáp án

Đa thức đã cho chia hết cho x$^{n}$ nếu từng hạng tử của nó chia hết cho x$^{n}$, nói riêng là 3,7x$^{2}$ chia hết cho x$^{n}$. Điều này xảy ra khi n ≤ 2.

Mà n là số tự nhiên nên n $\in$ {0; 1; 2}.

Vậy n $\in$ {0; 1; 2} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) (−4x$^{5}$ + 3x$^{3}$ − 2x$^{2}$) : (−2x$^{2}$)

= (−4x$^{5}$) : (−2x$^{2}$) + (3x$^{3}$) : (−2x$^{2}$)+ (−2x$^{2}$) : (−2x$^{2}$)

= 2x$^{3}$ − 1,5x + 1

b) (0,5x$^{3}$ − 1,5x$^{2}$ + x) : 0,5x

= 0,5x$^{3}$ : 0,5x + (−1,5x$^{2}$) : 0,5x + x : 0,5x

= x$^{2}$ − 3x + 2

c) (x$^{3}$ + 2x$^{2}$ − 3x + 1) : $\frac{1}{3}$x$^{2}$

Ta có thể viết : x$^{3}$ + 2x$^{2}$ − 3x + 1 = (3x + 6)$\frac{1}{3}$x$^{2}$ + (−3x + 1)

Do đa thức – 3x + 1 có bậc là 1, nhỏ hơn bậc 2 của đa thức chia nên đẳng thức này chứng tỏ 3x + 6 là thương và – 3x + 1 là dư trong phép chia đã cho.

a) (x$^{3}$ − 4x$^{2}$ − x + 12) : (x − 3)

$\begin{matrix} & {x}^{3} & - & 4{x}^{2} & - & x & + & 12 \\ \overline{} & {x}^{3} & - & 3{x}^{2} & & & & \\ & & & -{x}^{2} & - & x & + & 12 \\ & & \overline{} & -{x}^{2} & + & 3x & & \\ & & & & & -4x & + & 12 \\ & & & & \overline{} & -4x & + & 12 \\ & & & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}x & - & 3 & & \\ {x}^{2} & - & x & - & 4 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Vậy kết quả của phép chia (x$^{3}$ − 4x$^{2}$ − x + 12) : (x − 3) bằng x$^{2}$ − x − 4.

b) (2x$^{4}$ − 3x$^{3}$ + 3x$^{2}$ + 6x − 14) : (x$^{2}$ − 2)

$\begin{matrix} & 2{x}^{4} & - & 3{x}^{3} & + & 3{x}^{2} & + & 6x & - & 14 \\ \overline{} & 2{x}^{4} & & & - & 4{x}^{2} & & & & \\ & & - & 3{x}^{3} & + & 7{x}^{2} & + & 6x & - & 14 \\ & \overline{} & - & 3{x}^{3} & & & + & 6x & & \\ & & & & & 7{x}^{2} & & & - & 14 \\ & & & & \overline{} & 7{x}^{2} & & & - & 14 \\ & & & & & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}{x}^{2} & - & 2 & & \\ 2{x}^{2} & - & 3x & + & 7 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Vậy kết quả phép chia (2x$^{4}$ − 3x$^{3}$ + 3x$^{2}$ + 6x − 14) : (x$^{2}$ − 2) bằng 2x$^{2}$ −3x + 7

b) (6x$^{3}$− 7x$^{2}$ − x + 2) : (2x + 1)

$\begin{matrix} & 6{x}^{3} & - & 7{x}^{2} & - & x & + & 2 \\ \overline{} & 6{x}^{3} & + & 3{x}^{2} & & & & \\ & & & -10{x}^{2} & - & x & + & 2 \\ & & \overline{} & -10{x}^{2} & - & 5x & & \\ & & & & & 4x & + & 2 \\ & & & & \overline{} & 4x & + & 2 \\ & & & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}2x & + & 1 & & \\ 3{x}^{2} & - & 5x & + & 2 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Vậy thương của phép chia (6x$^{3}$− 7x$^{2}$ − x + 2) : (2x + 1) bằng 3x$^{2}$ − 5x + 2 dư 0.

Thực hiện phép chia (3x$^{4}$ + x$^{3}$ + 6x −5) : (x$^{2}$ + 1)

$\begin{matrix} & 3{x}^{4} & + & {x}^{3} & & & + & 6x & - & 5 \\ \overline{} & 3{x}^{4} & & & + & 3{x}^{2} & & & & \\ & & & {x}^{3} & - & 3{x}^{2} & + & 6x & - & 5 \\ & & \overline{} & {x}^{3} & & & + & x & & \\ & & & & & -3{x}^{2} & + & 5x & - & 5 \\ & & & & \overline{} & -3{x}^{2} & & & - & 3 \\ & & & & & & & 5x & - & 2\end{matrix}\begin{matrix}{x}^{2} & + & 1 & & \\ 3{x}^{2} & + & x & - & 3 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

$\Rightarrow$Vậy phép chia (3x$^{4}$ + x$^{3}$ + 6x −5) : (x$^{2}$ + 1) có thương Q = 3x$^{2}$ + x − 3 và dư R = 5x − 2

Kiểm nghiệm BQ + R = (x$^{2}$ + 1)(3x$^{2}$ + x − 3) + 5x − 2

= x$^{2}$( 3x$^{2}$ + x − 3) + 1. (3x$^{2}$ + x − 3) + 5x − 2

= 3x$^{4}$ + x$^{3}$ − 3x$^{2}$ + 3x$^{2}$ + x − 3 + 5x − 2

= 3x$^{4}$ + x$^{3}$ + (−3x$^{2}$ + 3x$^{2}$) + (x + 5x) + (−3 − 2)

= 3x$^{4}$ + x$^{3}$ + 6x −5 = A

Vậy A = BQ + R là một đẳng thức đúng.

a) (2x$^{4}$ + x$^{3}$ − 3x$^{2}$ + 5x − 2) : (x$^{2}$ − x + 1)

$\begin{matrix} & 2{x}^{4} & + & {x}^{3} & - & 3{x}^{2} & + & 5x & - & 2 \\ \overline{} & 2{x}^{4} & - & 2{x}^{3} & + & 2{x}^{2} & & & & \\ & & & 3{x}^{3} & - & 5{x}^{2} & + & 5x & - & 2 \\ & & \overline{} & 3{x}^{3} & - & 3{x}^{2} & + & 3x & & \\ & & & & & -2{x}^{2} & + & 2x & - & 2 \\ & & & & \overline{} & -2{x}^{2} & + & 2x & - & 2 \\ & & & & & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}{x}^{2} & - & x & + & 1 \\ 2{x}^{2} & + & 3x & - & 2 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Vậy phép chia (2x$^{4}$ + x$^{3}$ − 3x$^{2}$ + 5x − 2) : (x$^{2}$ − x + 1) có thương là 2x$^{2}$ + 3x − 2.

b) (x$^{4}$ − x$^{3}$ − x$^{2}$ + 3x) : (x$^{2}$ − 2x +3)

$\begin{matrix} & {x}^{4} & - & {x}^{3} & - & {x}^{2} & + & 3x & & \\ \overline{} & {x}^{4} & - & 2{x}^{3} & + & 3{x}^{2} & & & & \\ & & & {x}^{3} & - & 4{x}^{2} & + & 3x & & \\ & & \overline{} & {x}^{3} & - & 2{x}^{2} & + & 3x & & \\ & & & & & -2{x}^{2} & & & & \\ & & & & \overline{} & -2{x}^{2} & + & 4x & - & 6 \\ & & & & & & & -4x & + & 6\end{matrix}\begin{matrix}{x}^{2} & - & 2x & + & 3 \\ {x}^{2} & + & x & - & 2 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Vậy phép chia (x$^{4}$ − x$^{3}$ − x$^{2}$ + 3x) : (x$^{2}$ − 2x +3) có thương là x$^{2}$ + x − 2 và dư −4x + 6.

Ta có A(x) = (3x$^{2}$ + 2x − 5).H(x)

H(x) = A(x) : (3x$^{2}$ + 2x − 5) = (3x$^{4}$+ 11x$^{3}$ − 5x$^{2}$ − 19x − 5) : (3x$^{2}$ + 2x − 5)

$\begin{matrix} & 3{x}^{4} & + & 11{x}^{3} & - & 5{x}^{2} & - & 19x & + & 10 \\ \overline{} & 3{x}^{4} & + & 2{x}^{3} & - & 5{x}^{2} & & & & \\ & & & 9{x}^{3} & & & - & 19x & + & 10 \\ & & \overline{} & 9{x}^{3} & + & 6{x}^{2} & - & 15x & & \\ & & & & & -6{x}^{2} & - & 4x & + & 10 \\ & & & & \overline{} & -6{x}^{2} & - & 4x & + & 10 \\ & & & & & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}3{x}^{2} & + & 2x & - & 5 \\ {x}^{2} & + & 3x & - & 2 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Vậy H(x) = x$^{2}$ + 3x − 2.

Thực hiện phép chia P(x) : (x + 2)

$\begin{matrix} & 2{x}^{3} & - & 3{x}^{2} & + & x & + & m & & \\ \overline{} & 2{x}^{3} & + & 4{x}^{2} & & & & & & \\ & & & -7{x}^{2} & + & x & + & m & & \\ & & \overline{} & -7{x}^{2} & - & 14x & & & & \\ & & & & & 15x & + & m & & \\ & & & & \overline{} & 15x & + & 30 & & \\ & & & & & & & m & - & 30\end{matrix}\begin{matrix}x & + & 2 & & \\ 2{x}^{2} & - & 7x & + & 15 \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{matrix}$

Để phép chia này là phép chia hết thì m − 30 = 0.

Vậy m = 30.

a) Giả sử P(x) chia hết cho x – a. Gọi Q(x) là đa thức thương, ta có:

P(x) = (x − a)Q(x) (1)

Từ đẳng thức (1), ta có P(a) = (a − a)Q(a) = 0.

Vậy a là một nghiệm của P(x).

b) Ngược lại, cho a là một nghiệm của P(x). Giả sử chia P(x) cho x – a, ta được thương là Q(x) và dư là R(x), nghĩa là ta có:

P(x) = (x – a)Q(x) + R(x) (2)

Trong đó hoặc R(x) = 0, hoặc nếu R(x) ≠ 0 thì R(x) phải có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức x – a, tức là nhỏ hơn 1.

Sau đây, ta sẽ chứng tỏ rằng chỉ có thể xảy ra R(x) = 0.

Thật vậy, nếu R(x) ≠ 0 thì do bậc của R(x) nhỏ hơn 1 nên R(x) có bậc 0. Nói cách khác, R(x) là một số khác 0 nào đó. Nhưng điều đó là vô lí vì khi đó đẳng thức (2) không thể xảy ra, chẳng hạn khi x = a thì vế trái bằng 0 trong khi vế phải khác 0.

Vậy chỉ có thể xảy ra R(x) = 0, nghĩa là P(x) chia hết cho x – a.