Giải SBT Toán 7 Bài 15. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông có đáp án

Hướng dẫn giải

+) Hình a:

Xét ∆ABC và ∆ADC ta có:

AB = AD (giả thiết)

$\widehat {ABC}$ = $\widehat {ADC}$ = 90° (giả thiết)

BC = CD (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ADC (hai cạnh góc vuông).

+) Hình b

Xét ∆EFG và ∆KHG ta có:

GF = GH (giả thiết)

$\widehat {FEG}$ = $\widehat {HKG}$ = 90° (giả thiết)

$\widehat {EGF}$ = $\widehat {HGK}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆EFG = KHG (góc nhọn – cạnh huyền)

+) Hình c:

Tam giác OMN vuông tại M nên $\widehat {ONM} + \widehat O = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ONM} = 90^\circ - \widehat O$.

Tam giác OQP vuông tại Q nên $\widehat {OPQ} + \widehat O = 90^\circ \Rightarrow \widehat {OPQ} = 90^\circ - \widehat O$.

Do đó, $\widehat {ONM} = \widehat {OPQ}$.

Xét ∆OMN và ∆OQP ta có:

MN = PQ (giả thiết)

$\widehat {OMN}$ = $\widehat {OQP}$ = 90$^{o}$ (giả thiết)

$\widehat {ONM} = \widehat {OPQ}$ (chứng minh trên)

Do đó, ∆OMN = ∆OQP (góc nhọn – cạnh góc vuông).

+) Hình d:

Xét ∆XYZ và ∆STZ ta có:

YZ = TZ (giả thiết)

$\widehat {YXZ}$ = $\widehat {TSZ}$ = 90° (giả thiết)

XZ = SZ (giả thiết)

Do đó, ∆XYZ = ∆STZ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABE và ∆DCE ta có:

BE = CE (giả thiết)

$\widehat {ABE}$ = $\widehat {ECD}$ = 90° (giả thiết)

$\widehat {AEB}$ = $\widehat {CED}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆ABE = ∆CDE (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Hướng dẫn giải

Xét ∆AED và ∆BEC ta có:

AE = BE (giả thiết)

$\widehat {AED}$ = $\widehat {BEC}$ = 90° (do AC và DB vuông góc với nhau)

ED = EC (giả thiết)

Do đó, ∆AED = ∆BEC (hai cạnh góc vuông).

Hướng dẫn giải

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED. Mà AE = BE; EC = ED nên AC = BD.

Vì ∆AED = ∆BEC nên AD = BC (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆ABC và ∆BAD có:

BC = AD (chứng minh trên)

AB chung

AC = BD (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABC = ∆BAD (c – c – c).

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì N là trung điểm của AD nên AN = ND = $\frac{{AD}}{2}$.

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = $\frac{{AB}}{2}$.

Mà AB = AD nên AN = BM.

Xét ∆ANB và ∆BMC có:

AN = BM (chứng minh trên)

AB = BC (chứng minh trên)

$\widehat {NAB}$ = $\widehat {MBC}$ = 90° (do ABCD là hình vuông)

Do đó, ∆ANB = ∆BMC (hai cạnh góc vuông)

Suy ra, BN = CM (hai cạnh tương ứng).

Gọi E là giao điểm của BN và CM.

Do ∆ANB = ∆BMC nên $\widehat {EMB} = \widehat {CMB} = \widehat {BNA}$.

Từ định lí tổng ba góc trong tam giác BME và tam giác ABN, ta suy ra:

$\widehat {BEM} = 180^\circ - \widehat {EMB} - \widehat {MBE} = 180^\circ - \widehat {BNA} - \widehat {ABN} = \widehat {BAN} = 90^\circ$.

Vậy BN vuông góc với CM tại E.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC và ∆ABD có:

AB chung

$\widehat {CAB}$ = $\widehat {DAB}$ (giả thiết)

$\widehat {ACB}$ = $\widehat {ADB}$ = 90° (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ABD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CB = DB.

Hướng dẫn giải

Vì ∆ABC = ∆DEF nên

$\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BAC} = \widehat {EDF};\,\,\,\widehat B = \widehat E;\,\,\,\widehat C = \widehat F\\AB = DE;\,\,\,AC = DF;\,\,BC = EF\end{array} \right.$ (các góc tương ứng và các cạnh tương ứng bằng nhau).

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, $\widehat {AHB} = 90^\circ$.

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, $\widehat {DKE} = 90^\circ$.

Xét ∆ABH và ∆DEK có:

$\widehat {AHB} = \widehat {DKE} = 90^\circ$ (chứng minh trên)

AB = DE (chứng minh trên)

$\widehat B = \widehat E$ (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = DK.

Hướng dẫn giải

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, $\widehat {AHB} = 90^\circ$.

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, $\widehat {DKE} = 90^\circ$.

Xét ∆ABH và ∆DEK có:

$\widehat {AHB} = \widehat {DKE} = 90^\circ$ (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, $\widehat B = \widehat E$ (hai góc tương ứng).

Xét ∆ABC và ∆DEF có:

$\widehat B = \widehat E$ (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

BC = EF (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – g – c).

Hướng dẫn giải

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, $\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ$.

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, $\widehat {DKE} = \widehat {DKF} = 90^\circ$.

Xét ∆ABH và ∆DEK có:

$\widehat {AHB} = \widehat {DKE} = 90^\circ$ (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, BH = EK.

Xét ∆ACH và ∆DFK có:

$\widehat {AHC} = \widehat {DKF} = 90^\circ$ (chứng minh trên)

AC = DF (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, ∆ACH = ∆DFK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, CH = FK.

Ta có: BC = BH + HC; EF = EK + FK. Mà BH = EK; HC = FK nên BC = EF.

Xét ∆ABC và ∆DEF có:

BC = EF (chứng minh trên)

AC = DF (giả thiết)

AB = DE (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – c – c).

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của AC và BD là O.

Xét ∆ABC và ∆DCB có:

$\widehat {BAC} = \widehat {CDB} = 90^\circ$ (giả thiết)

AB = CD (giả thiết)

BC chung

Do đó, ∆ABC = ∆DCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, AC = BD (hai cạnh tương ứng).

Hướng dẫn giải

Vì ∆ABC = ∆DCB nên $\widehat {ACB} = \widehat {DBC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác OBC có:

$\widehat {OCB} + \widehat {CBO} + \widehat {BOC}$ = 180°.

Mà $\widehat {OCB} = \widehat {CBO}$ do $\widehat {ACB} = \widehat {DBC}$ nên $2\widehat {CBO} + \widehat {BOC}$= 180°

Suy ra $2\widehat {CBO}$ = 180° – $\widehat {BOC}$

Do đó, $\widehat {CBO} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOC}}}{2}$ (1)

Xét ∆ABD và ∆DCA có:

AB = CD (giả thiết)

BD = AC (chứng minh trên)

AD chung

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra, $\widehat {ADB} = \widehat {DAC}$.

Xét tam giác OAD có:

$\widehat {OAD} + \widehat {ADO} + \widehat {AOD}$ = 180°.

Mà $\widehat {OAD} = \widehat {ADO}$ do $\widehat {ADB} = \widehat {DAC}$ nên $2\widehat {ADO} + \widehat {AOD}$= 180°

Suy ra $2\widehat {ADO}$ = 180° – $\widehat {AOD}$

Do đó, $\widehat {ADO} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOD}}}{2}$ (2)

Mà $\widehat {AOD}$ = $\widehat {BOC}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra, $\widehat {CBO} =$$\widehat {ADO}$ hay $\widehat {CBD} = \widehat {ADB}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC; AB = CD.

Ta có: AD = AE + ED; BC = BF + FC mà FC = AE (gt) và AD = BC nên ED = BF.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDA} = \widehat {DAB} = 90^\circ$.

Xét ∆ABF và ∆CDE có:

AB = CD (chứng minh trên)

BF = ED (chứng minh trên)

$\widehat {ABF} = \widehat {CDE} = 90^\circ$(do $\widehat {ABC} = \widehat {CDA} = 90^\circ$)

Do đó, ∆ABF = ∆CDE (hai cạnh góc vuông).

Suy ra, AF = CE.

Hướng dẫn giải:

Vì ∆ABF = ∆CDE nên $\widehat {AFB} = \widehat {CED}$ (hai góc tương ứng).

Lại có ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC nên $\widehat {CED} = \widehat {ECF}$(hai góc so le trong).

Ta có: $\widehat {AFB} = \widehat {CED}$; $\widehat {CED} = \widehat {ECF}$ nên $\widehat {AFB} = \widehat {ECF}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Nên AF // CE (điều phải chứng minh).

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABD và ∆CED có:

$\widehat {ADB} = \widehat {CDE} = 90^\circ$ (giả thiết)

DA = DC (giả thiết)

DB = DE (giả thiết)

Do đó, ∆ABD = ∆CED (hai cạnh góc vuông).

Suy ra, AB = CE (hai cạnh tương ứng).

Hướng dẫn giải:

Vì ∆ABD = ∆CED nên $\widehat {BAD} = \widehat {ECD}$(hai góc tương ứng).

Lại có: $\widehat {BAD} + \widehat {ABC} = 90^\circ$ (do tam giác ABD vuông ở D) nên $\widehat {ECD} + \widehat {ABC} = 90^\circ$.

Xét tam giác BFC có:

$\widehat {BFC} + \widehat {CBF} + \widehat {BCF} = 180^\circ$

Mà $\widehat {CBF}$chính là góc $\widehat {ABC}$ và $\widehat {BCF}$ chính là góc $\widehat {ECD}$.

Do đó, $\widehat {CBF}$ + $\widehat {BCF}$ = 90°.

Nên $\widehat {BFC}$ + 90° = 180°

Suy ra $\widehat {BFC}$ = 180° – 90° = 90° (điều phải chứng minh).