Giải SBT Toán 7 Bài 14. Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác có đáp án

Hướng dẫn giải

*) Hình a:

Xét ∆ABC và ∆DCB có:

AB = CD (giả thiết)

BC chung

$\widehat {ABC} = \widehat {DCB}$ (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆DCB (c – g – c).

*) Hình b:

Xét ∆EFH và ∆EGH có:

EF = EG (giả thiết)

EH chung

$\widehat {FEH} = \widehat {GEH}$ (giả thiết)

Do đó, ∆EFH = ∆EGH (c – g – c)

*) Hình c:

Xét ∆MON và ∆POQ có:

MO = PO (giả thiết)

NO = QO (giả thiết)

$\widehat {MON} = \widehat {POQ}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆MON = ∆POQ (c – g – c).

Hướng dẫn giải

Vì $\widehat {ABC} = \widehat {DFE}$ nên đỉnh B tương ứng với đỉnh F;

Vì AB = FE mà đỉnh B ứng với đỉnh F thì đỉnh A ứng với đỉnh E.

Suy ra đỉnh C ứng với đỉnh D.

Xét tam giác ABC và tam giác EFD có:

AB = FE;

BC = DF;

$\widehat {ABC} = \widehat {DFE}$.

Do đó, ∆ABC = ∆EFD (c – g – c).

Vậy chỉ có đáp án d) đúng.

Hướng dẫn giải

Vì $\widehat {ABC} = \widehat {PNM}$ nên đỉnh B tương ứng với đỉnh N;

Vì $\widehat {ACB} = \widehat {NPM}$ nên đỉnh C tương ứng với đỉnh P.

Suy ra đỉnh A tương ứng với đỉnh M.

Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

$\widehat {ABC} = \widehat {PNM}$

$\widehat {ACB} = \widehat {NPM}$

BC = PN

Do đó, ∆ABC = ∆MNP (g – c – g).

Trong bốn đáp án chỉ có đáp án d chính xác.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC và ∆BAD có:

AC = BD (giả thiết)

AB chung

$\widehat {CAB} = \widehat {DBA}$ (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆BAD (c – g – c)

Suy ra, BC = AD (hai cạnh tương ứng).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có:

$$\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 180^\circ$$

$\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {BCA}$(1)

Xét tam giác ABD có:

$$\widehat {ABD} + \widehat {BAD} + \widehat {BDA} = 180^\circ$$

$\widehat {ABD} = 180^\circ - \widehat {BAD} - \widehat {BDA}$(2)

Mà $\widehat {BAC} = \widehat {BAD}$; $\widehat {BCA} = \widehat {BDA}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra $\widehat {ABC} = \widehat {ABD}$.

Xét ∆ABC và ∆ABD có:

$\widehat {ABC} = \widehat {ABD}$ (chứng minh trên)

AB chung

$\widehat {BAC} = \widehat {BAD}$ (giả thiết)

Do đó, ∆ABC = ∆ABD (g – c – g).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABE có:

$$\widehat {BAE} + \widehat {ABE} + \widehat {AEB} = 180^\circ$$

$\widehat {ABE} = 180^\circ - \widehat {BAE} - \widehat {AEB}$ (1)

Xét tam giác CDE có:

$$\widehat {DCE} + \widehat {DEC} + \widehat {EDC} = 180^\circ$$

$\widehat {EDC} = 180^\circ - \widehat {DCE} - \widehat {DEC}$ (2)

Mà $\widehat {BAE} = \widehat {DCE}$ (giả thiết); $\widehat {AEB} = \widehat {DEC}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {EDC}$.

Xét ∆ABE và ∆CDE có:

$\widehat {ABE} = \widehat {EDC}$ (chứng minh trên)

AB = CD (giả thiết)

$\widehat {BAE} = \widehat {DCE}$ (giả thiết)

Do đó, ∆ABE = ∆CDE (g – c – g).

Suy ra, AE = CE; BE = DE (các cặp cạnh tương ứng)

Vì AE = CE và E nằm giữa A và C nên E là trung điểm của AC;

Vì BE = DE và B nằm giữa D và B nên E là trung điểm của BD.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆ACD và ∆CAB có:

CD = AB (giả thiết)

AC chung

$\widehat {BAC} = \widehat {DCA}$ (giả thiết)

Do đó, ∆ACD = ∆CAB (c – g – c).

Hướng dẫn giải:

Vì ∆ACD = ∆CAB nên $\widehat {DAC} = \widehat {BCA}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD song song với BC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác AED có:

$\widehat {ADE} + \widehat {DAE} + \widehat {AED} = 180^\circ$

$\widehat {DAE} = 180^\circ - \widehat {ADE} - \widehat {AED}$ (1)

Xét tam giác BEC có:

$\widehat {BCE} + \widehat {EBC} + \widehat {BEC} = 180^\circ$

$\widehat {EBC} = 180^\circ - \widehat {BCE} - \widehat {BEC}$ (2)

Mà $\widehat {ADE} = \widehat {BCE}$; $\widehat {AED} = \widehat {BEC}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra, $\widehat {DAE} = \widehat {EBC}$ hay $\widehat {DAC} = \widehat {CBD}$ (điều phải chứng minh).

Hướng dẫn giải:

Xét ∆AED và ∆BEC ta có:

$\widehat {DAE} = \widehat {EBC}$ (chứng minh trên)

$\widehat {ADE} = \widehat {BCE}$ (giả thiết)

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆AED = ∆BEC (g – c – g).

Hướng dẫn giải:

Vì ∆AED = ∆BEC nên AE = BE; ED = EC.

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.

Do đó, AC = BD.

Xét ∆ABD và ∆BAC ta có:

AC = BD (chứng minh trên)

AB chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ABD = ∆BAC (c – c – c)

Suy ra $\widehat {ABD} = \widehat {BAC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác AEB có:

$\widehat {ABE} + \widehat {BAE} + \widehat {AEB} = 180^\circ$

Do đó, $2\widehat {ABE} = 180^\circ - \widehat {AEB}$ (vì $\widehat {ABE} = \widehat {BAE}$ do $\widehat {ABD} = \widehat {BAC}$)

Suy ra $\widehat {ABE} = \frac{{180^\circ - \widehat {AEB}}}{2}$ (4)

Xét ∆ACD và ∆BDC ta có:

AC = BD (chứng minh trên)

CD chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ACD = ∆BDC (c – c – c)

Suy ra $\widehat {ACD} = \widehat {BDC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác DEC có:

$\widehat {DCE} + \widehat {EDC} + \widehat {DEC} = 180^\circ$

Do đó, $2\widehat {EDC} = 180^\circ - \widehat {DEC}$ (vì $\widehat {EDC} = \widehat {DCE}$ do $\widehat {ACD} = \widehat {BDC}$)

Suy ra $\widehat {EDC} = \frac{{180^\circ - \widehat {DEC}}}{2}$ (5)

Lại có, $\widehat {AEB},\,\,\widehat {DEC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {AEB} = \widehat {DEC}$ (6)

Từ (4); (5); (6) suy ra $\widehat {ABE}$ = $\widehat {EDC}$ hay $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$.

Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Hướng dẫn giải

Vì ∆ABC = ∆DEF nên

$\left\{ \begin{array}{l}\widehat {ABC} = \widehat {DEF};\,\,\,\widehat {BAC} = \widehat {EDF};\,\,\widehat {ACB} = \widehat {DFE}\\AB = DE;\,\,BC = EF;\,\,AC = DF\end{array} \right.$

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}BC$.

Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = $\frac{1}{2}EF$.

Mà BC = EF (chứng minh trên) nên BM = EN.

Xét ∆ABM và ∆DEN ta có:

BM = EN (chứng minh trên)

AB = DE (chứng minh trên)

$\widehat {ABM} = \widehat {DEN}$ (do $\widehat {ABC} = \widehat {DEF}$ chứng minh trên)

Do đó, ∆ABM = ∆DEN (c – g – c).

Suy ra, AM = DN (hai cạnh tương ứng).

Hướng dẫn giải

Vì BP là tia phân giác của góc $\widehat {ABP}$ nên $\widehat {ABP} = \widehat {PBC} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}$

Vì EQ là tia phân giác của góc$\widehat {DEF}$ nên $\widehat {DEQ} = \widehat {QEF} = \frac{{\widehat {DEF}}}{2}$

Mà $\widehat {ABC}$ = $\widehat {DEF}$ nên $\widehat {PBC}$ = $\widehat {QEF}$.

Xét ∆PBC và ∆QEF ta có:

BC = EF (chứng minh trên)

$\widehat {PBC}$ = $\widehat {QEF}$ (chứng minh trên)

$\widehat {PCB} = \widehat {QFE}$ (do $\widehat {ACB} = \widehat {DFE}$chứng minh trên)

Do đó, ∆PBC = ∆QEF (g – c – g)

Suy ra, BP = EQ (hai cạnh tương ứng).

Hướng dẫn giải

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{{BC}}{2}$

Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = $\frac{{EF}}{2}$

Mà BC = EF (giả thiết) nên BM = EN.

Xét ∆ABM và ∆DEN ta có:

AB = DE (giả thiết)

BM = EN (chứng minh trên)

AM = DN (giả thiết)

Do đó, ∆ABM = ∆DEN (c – c – c).

Suy ra, $\widehat {ABM} = \widehat {DEN}$(hai góc tương ứng) hay $\widehat {ABC} = \widehat {DEF}$.

Xét ∆ABC và ∆DEF ta có:

AB = DE (giả thiết)

BC = EF (giả thiết)

$\widehat {ABC} = \widehat {DEF}$ (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABC = ∆DEF (c – g – c).

Hướng dẫn giải

Xét ∆OAB và ∆OCD ta có:

OA = OC (giả thiết)

$\widehat {AOB} = \widehat {COD}$ (hai góc đối đỉnh)

OB = OD (giả thiết)

Do đó, ∆OAB = ∆OCD (c – g – c).

Suy ra AB = DC và $\widehat {BAO} = \widehat {OCD}$ hay $\widehat {BAC} = \widehat {ACD}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AB // DC (1).

Xét ∆OAD và ∆OCB ta có:

OA = OC (giả thiết)

$\widehat {AOD} = \widehat {BOC}$ (hai góc đối đỉnh)

OD = OB (giả thiết)

Do đó, ∆OAD = ∆OCB (c – g – c).

Suy ra AD = BC và $\widehat {OAD} = \widehat {OCB}$ hay $\widehat {CAD} = \widehat {ACB}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

Ta có: OA = OC = OB = OD, AC = OA + OC, BD = OB + OD.

Do đó, AC = BD.

Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:

AB = DC (chứng minh trên)

AD: cạnh chung

BD = AC (chứng minh trên)

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra $\widehat {BAD} = \widehat {CDA}$.

Lại có: $\widehat {BAD} + \widehat {CDA} = 180^\circ$ (do AB // DC, hai góc ở vị trí trong cùng phía)

Do đó: $\widehat {BAD} = \widehat {CDA} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$.

Vậy hình bình hành ABCD có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.