Giải SBT Toán 12 Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x - 2}}$= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}$(x + 5) = 7.

Hơn nữa y = f(x) liên tục tại mọi điểm x ≠ 2. Do đó, đồ thị hàm f(x) không có tiệm cận đứng.

a) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = \frac{1}{2}$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = \frac{1}{2}$.

Do đó, đường thẳng y = $\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = + \infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = - \infty$.

Do đó, đường thẳng x = $\frac{3}{2}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 1}}{{x + 2}} = 3$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 1}}{{x + 2}} = 3$.

Do đó, đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3x - 1}}{{x + 2}} = - \infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3x - 1}}{{x + 2}} = + \infty$.

Do đó, đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

a) $y = \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}};$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}} = - \infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}} = + \infty$.

Do đó, đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x - 5}}{{\left( {x - 2} \right)x}} = 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 5}}{{x - 2}} = 1$.

Do đó đường thẳng y = x + 1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) y = $\frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}} = + \infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}} = - \infty$

Do đó đường thẳng x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{\left( {x + 3} \right)x}} = 3$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}} - 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x - 2}}{{x - 2}} = - 1$.

Do đó đường thẳng y = 3x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y$ = −∞; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y$ = +∞.

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y$ = 3, do đó đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)$ = 1 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$ = −1.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{2 + f(x)}}$ = $\frac{1}{3}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{2 + f(x)}}$ = −1

Do đó, đường thẳng y = −1 và y = $\frac{1}{3}$ là hai đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x).

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1$.

Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = + \infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = - \infty$.

Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận ngang

y = 1.

Lấy M(x$_{0}$; y$_{0}$) ∈ (C) với ${y_0} = \frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}$.

Ta có: khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng là d$_{1}$ = | x$_{0}$ – 1|, khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là d$_{2}$ = $\left| {\frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}} - 1} \right| = \frac{2}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}$.

Vậy tích khoảng cách là:d$_{1}$d$_{2}$ = $\left| {{x_0}--1} \right|$. $\frac{2}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}$ = 2.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x + 3}}{{x - 2}} = + \infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x + 3}}{{x - 2}} = - \infty$.

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 2}} = 2$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 2}} = 2$.

Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Suy ra điểm I(2; 2).

Đường thẳng đi qua I(2; 2) và K(3; 5) có hệ số góc là: a = $\frac{{5 - 2}}{{3 - 2}} = 3$.

Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm I và K là 3.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} }}{{x - 1}} = + \infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} }}{{x - 1}} = - \infty$.

Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} }}{{x - 1}} = - 1$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} }}{{x - 1}} = 1$.

Do đó, đường thẳng y = 1 và y = −1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số f(x) có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3 và đường tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Khoảng cách từ điểm M(x; y) ∈ (C), x > 3 đến tiệm cận đứng là d$_{1}$ = x – 3.

Khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang là d$_{2}$ = $\frac{{x + 2}}{{x - 3}} - 1 = \frac{5}{{x - 3}}$.

Vậy g(x) = d$_{1}$ + d$_{2}$ = x – 3 + $\frac{5}{{x - 3}}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x--3 + \frac{5}{{x - 3}}\;} \right] = - \infty .$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x--3 + \frac{5}{{x - 3}}\;} \right] = + \infty .$

Do đó đồ thị hàm số g(x) không có tiệm cận ngang

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ {x--3 + \frac{5}{{x - 3}}\;} \right] = - \infty .$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {x--3 + \frac{5}{{x - 3}}\;} \right] = + \infty .$

Do đó, đường thẳng x = 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {g\left( x \right) - (x - 3)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x--3 + \frac{5}{{x - 3}} - (x - 3)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{x - 3}} = 0.$

Do đó đường thẳng y = x – 3 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

a) Nồng độ dung dịch muối sau khi thêm vào x ml dung dịch muối với nồng độ 10 mg/ml là: C(x) = $\frac{{200.5 + 10.x}}{{200 + x}} = \frac{{1000 + 10x}}{{200 + x}}$.

b) Để dung dịch muối với nồng độ 9mg/ml, ta phải thêm vào bình x ml với x thỏa mãn

C(x) = 9 ⇔$\frac{{1000 + 10x}}{{200 + x}}$ = 9 ⇔ x = 800 (ml).

Ta có: C(x) = $\frac{{1000 + 10x}}{{200 + x}}$

C*'*(x) = $\frac{{1000}}{{x + 200}}$ > 0, ∀x ∈ (0; +∞).

Hàm C(x) luôn đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Nhận thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1000 + 10x}}{{200 + x}} = 10$.

Do đó, nồng độ muối trong bình không thể đạt đến 10 mg/ml.