Giải SBT Toán 12 Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x - 2}}$= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}$(x + 5) = 7.

Hơn nữa y = f(x) liên tục tại mọi điểm x ≠ 2. Do đó, đồ thị hàm f(x) không có tiệm cận đứng.

a) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = \frac{1}{2}$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = \frac{1}{2}$.

Do đó, đường thẳng y = $\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = + \infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = - \infty$.

Do đó, đường thẳng x = $\frac{3}{2}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 1}}{{x + 2}} = 3$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 1}}{{x + 2}} = 3$.

Do đó, đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3x - 1}}{{x + 2}} = - \infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3x - 1}}{{x + 2}} = + \infty$.

Do đó, đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

a) $y = \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}};$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}} = - \infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}} = + \infty$.

Do đó, đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x - 5}}{{\left( {x - 2} \right)x}} = 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 5}}{{x - 2}} = 1$.

Do đó đường thẳng y = x + 1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) y = $\frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}} = + \infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}} = - \infty$

Do đó đường thẳng x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{\left( {x + 3} \right)x}} = 3$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}} - 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x - 2}}{{x - 2}} = - 1$.

Do đó đường thẳng y = 3x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y$ = −∞; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y$ = +∞.

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y$ = 3, do đó đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)$ = 1 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$ = −1.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{2 + f(x)}}$ = $\frac{1}{3}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{2 + f(x)}}$ = −1

Do đó, đường thẳng y = −1 và y = $\frac{1}{3}$ là hai đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x).