Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 6. Cấp số cộng có đáp án

a) Từ u$_{n}$ = 4 – 3n suy ra u$_{n + 1}$ = 4 – 3(n + 1) = 4 – 3n – 3 = 1 – 3n.

Như vậy u$_{n + 1}$ – u$_{n}$= (1 – 3n) – (4 – 3n) = – 3 không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 4 – 3 = 1 và công sai d = – 3.

b) Từ u$_{n}$ = n$^{2}$ + 1 suy ra u$_{n + 1}$ = (n + 1)$^{2}$ + 1 = n$^{2}$ + 2n + 2.

Như vậy u$_{n + 1}$ – u$_{n}$= (n$^{2}$ + 2n + 2) – (n$^{2}$ + 1) = 2n + 1, phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng.

c) Từ u$_{n}$ = 2n + 5 suy ra u$_{n + 1}$ = 2(n + 1) + 5 = 2n + 7.

Như vậy u$_{n + 1}$– u$_{n}$= (2n + 7) – (2n + 5) = 2 không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 2 + 5 = 7 và công sai d = 2.

d) Từ hệ thức truy hồi ta có u$_{n + 1}$ = u$_{n}$ + n, suy ra u$_{n + 1}$ – u$_{n}$= n, phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng.

a) Do số hạng thứ tám của một cấp số cộng là 75 và số hạng thứ hai mươi là 39 nên ta có

$\{\begin{matrix}{u}_{8}=75 \\ {u}_{20}=39\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}+7d=75 \\ {u}_{1}+19d=39\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=96 \\ d=-3\end{matrix}$

Vậy cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 96 và công sai d = – 3.

b) Ta có u$_{n + 1}$ = u$_{n}$+ d = u$_{n}$ – 3.

Vậy hệ thức truy hồi của cấp số cộng này là $\{\begin{matrix}{u}_{1}=96 \\ {u}_{n+1}={u}_{n}-3\end{matrix}$.

c) Công thức tổng quát của cấp số cộng này là

u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 96 – (n – 1).3 = 99 – 3n.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng với n = 20 và d = 3 ta có

$650={S}_{20}=\frac{20}{2}[2{u}_{1}+(20-1).3]$

⇔ 2u$_{1}$ + 57 = 65

⇔ u$_{1}$ = 4.

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng đã cho là u$_{1}$ = 4.

Vì 2x, 3x + 2, 5x + 3 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta suy ra

(3x + 2) – 2x = (5x + 3) – (3x + 2)

⇔ x + 2 = 2x + 1

⇔ x = 1.

Thử lại, ta có ba số tìm được là 2, 5, 8 thoả mãn bài toán.

Vậy x = 1.

Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng ta có

$702={S}_{n}=\frac{n}{2}[2.78+(n-1).(-4)]$

⇔ n(160 – 4n) = 1 404

⇔ 160n – 4n$^{2}$ – 1 404 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}n=27 \\ n=13\end{matrix}$

Suy ra n = 13 hoặc n = 27, tức là ta cần lấy 13 hoặc 27 số hạng đầu.

Đổi 2,4 m = 240 cm; 1,2 m = 120 cm.

Số viên gạch ở hàng đầu tiên (ứng với đáy lớn) là u$_{1}$ = 240 : 10 = 24 (viên).

Số viên gạch ở hàng trên cùng (ứng với đáy nhỏ) là u$_{n}$ = 120 : 10 = 12 (viên).

Vì mỗi hãng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó nên số viên gạch ở mỗi hàng (tính từ dưới lên) lập thành một cấp số cộng có công sai d = – 1 và số hạng đầu u$_{1}$ = 24.

Như vậy, u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 24 + (n – 1) . (– 1) = 25 – n. Mà u$_{n}$ = 12 nên 25 – n = 12.

Suy ra n = 13.

Vậy số viên gạch hình vuông cần thiết để ốp hết bức tường đó là

${S}_{13}=\frac{({u}_{1}+{u}_{13}).13}{2}=\frac{(12+24).13}{2}=234$ (viên gạch).

Theo bài ra ta có số viên gạch ở mỗi bậc thang (tính từ dưới lên) lập thành một cấp số cộng gồm 30 số với số hạng đầu u$_{1}$ = 100 và công sai d = – 2.

Do đó, công thức của cấp số cộng biểu thị số viên gạch cho mỗi bậc cầu thang như sau:

u$_{1}$ = 100; u$_{n + 1}$ = u$_{n}$+ (– 2) với n ≥ 1.

a) Bậc trên cùng là bậc thứ 30. Do đó, số viên gạch cần cho bậc trên cùng là

u$_{30}$ = u$_{1}$ + (30 – 1)d = 100 + 29 . (– 2) = 42 (viên gạch).

b) Ta có S$_{30}$ = u$_{1}$ + u$_{2}$ + ... + u$_{30}$ = $\frac{30}{2}[2.100+(30-1).(-2)]=2\ 130$.

Như vậy, ta cần 2 130 viên gạch để xây cầu thang.

Số ghế ở mỗi hàng của góc khán đài lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 10 và công sai d = 4.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng với S$_{n}$ = 2 040, u$_{1}$ = 10, d = 4 để tìm n, ta có

$2\ 040={S}_{n}=\frac{n}{2}[2.10+(n-1).4]$

⇔ n(16 + 4n) = 4 080

⇔ 4n$^{2}$ + 16n – 4 080 = 0

⇔ n = 30 hoặc n = – 34 (loại).

Suy ra n = 30, tức là góc khán đài đó có 30 hàng ghế.

Lương mỗi năm của anh Nam lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 35 000 và công sai d = 1 400.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng với S$_{n}$ = 319 200, u$_{1}$ = 35 000, d = 1 400, ta có

319 200 = S$_{n}$ = [2 . 35 000 + (n – 1) .1 400]

⇔ n(68 600 + 1 400n) = 638 400

⇔ 1 400n$^{2}$ + 68 600n – 638 400 = 0

Suy ra n = 8 hoặc n = – 57 (loại). Do đó n = 8.

Vậy sau 8 năm làm việc thì tổng lương mà anh Nam nhận được là 319 200 đô la.

a) Theo định nghĩa, chèn ba trung bình cộng vào giữa 4 và 12 ta được cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 4 và u$_{2 + 3}$ = u$_{5}$ = 12.

Do tính chất của cấp số cộng nên u$_{5}$ = u$_{1}$ + (5 – 1)d = 4 + 4d. Suy ra d = 2.

Khi đó u$_{2}$ = 4 + 2 = 6, u$_{3}$ = 6 + 2 = 8, u$_{4}$ = 8 + 2 = 10.

Vậy chèn ba trung bình cộng vào giữa 4 và 12 ta được cấp số cộng là: 4, 6, 8, 10, 12.

b) Theo định nghĩa, chèn bốn trung bình cộng vào giữa 16 và 91 ta được cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 16 và u$_{2 + 4}$ = u$_{6}$ = 91.

Do tính chất của cấp số cộng nên u$_{6}$ = u$_{1}$ + (16 – 1)d = 16 + 5d. Suy ra d = 15.

Khi đó u$_{2}$ = 16 + 15 = 31, u$_{3}$ = 31 + 15 = 46, u$_{4}$ = 46 + 15 = 61, u$_{5}$ = 61 + 15 = 76.

Vậy chèn bốn trung bình cộng vào giữa 16 và 91 ta được cấp số cộng là 16, 31, 46, 61, 76, 91.

Vậy bốn số cần tìm là 31, 46, 61, 76.