Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 27. Thể tích có đáp án

Gọi x (m) là độ dài cạnh hình vuông nhỏ tại mỗi góc của tấm tôn được cắt bỏ đi (với $0<x<\frac{1}{2}$). Thể tích hình hộp chữ nhật nhận được là:

$V={(1-2x)}^{2}\cdot x=\frac{1}{4}\cdot (1-2x)\cdot (1-2x)\cdot 4x\le \frac{1}{4}\cdot {(\frac{1-2x+1-2x+4x}{3})}^{3}=\frac{2}{27}$.

Dấu “=” xảy ra khi 1 – 2x = 4x $\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}$.

Vậy để thể tích chiếc thùng là lớn nhất thì các cạnh của hình vuông được cắt bỏ đi là $\frac{1}{6}$ m.

Đặt SA = a, AB = b, AC = c.

Khi đó ${V}_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot {S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot bc\cdot \sin 60^{\circ}\cdot a=\frac{abc\sqrt{3}}{12}$.

Theo đề bài, ${S}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot bc\cdot \sin 60^{\circ}=3\sqrt{3}\Rightarrow bc=12$.

Do SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AB hay tam giác SAB vuông tại A.

Khi đó ${S}_{SAB}=\frac{ab}{2}=9\Rightarrow ab=18$.

Do SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AC hay tam giác SAC vuông tại A.

Khi đó ${S}_{SAC}=\frac{ac}{2}=12\Rightarrow ac=24$.

Do đó (abc)$^{2}$ = 12 × 18 × 24 = 72$^{2}$, suy ra abc = 72.

Vậy ${V}_{S.ABC}=\frac{72\sqrt{3}}{12}=6\sqrt{3}$