Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án

Lời giải

Ta có: $20^\circ = 20.\frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{9}$; $150^\circ = 150.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{5\pi }}{6}$; $500^\circ = 500.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{25\pi }}{9}$;

$\frac{{11\pi }}{2} = \frac{{11\pi }}{2}.\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = 990^\circ$; $\frac{{ - 5\pi }}{6} = \frac{{ - 5\pi }}{6}.\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = - 150^\circ$; $\frac{{7\pi }}{{15}} = \frac{{7\pi }}{{15}}.\left( {\frac{{180^\circ }}{\pi }} \right) = 84^\circ$.

Khi đó ta có

Lời giải

a) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là $\frac{\pi }{6}$ được xác định như hình dưới đây.

b) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là $\frac{{ - 5\pi }}{7}$ được xác định như hình dưới đây.

c) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là 270° được xác định như hình dưới đây.

d) Điểm Q trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là – 415° được xác định như hình dưới đây.

Lời giải

a) Ta có l = Rα = 20 . $\frac{{2\pi }}{7} = \frac{{40\pi }}{7}$ (m).

b) Ta có l = R . $\frac{{\pi a}}{{180}} = 20.\frac{{\pi .36}}{{180}} = 4\pi$ (m).

Lời giải

Từ đẳng thức sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x = 1, suy ra

sin$^{2}$ x = 1 – cos$^{2}$ x = $1 - {\left( { - \frac{5}{{13}}} \right)^2} = \frac{{144}}{{169}}$

Mặt khác 90° < x < 180° nên sinx > 0. Do đó sin x = $\sqrt {\frac{{144}}{{169}}} = \frac{{12}}{{13}}$.

Suy ra tan x = $\frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{12}}{{13}}:\left( { - \frac{5}{{13}}} \right) = - \frac{{12}}{5}$, cot x = $\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \left( { - \frac{5}{{13}}} \right):\frac{{12}}{{13}} = - \frac{5}{{12}}$.

Lời giải

a) Ta có: sin a + cos a = m nên (sin a + cos a)$^{2}$ = m$^{2}$

hay sin$^{2}$ a + cos$^{2}$ a + 2sin a cos a = m$^{2}$ hay 1 + 2sin a cos a = m$^{2}$.

Từ đó suy ra sin a cos a = $\frac{{{m^2} - 1}}{2}$.

b) sin$^{3}$ a + cos$^{3}$ a = (sin a + cos a)$^{3}$ – 3sin a cos a(sin a + cos a)

= m$^{3}$ – 3m$\frac{{{m^2} - 1}}{2} = \frac{{3m - {m^3}}}{2}$.

c) sin$^{4}$ a + cos$^{4}$ a = (sin$^{2}$ a + cos$^{2}$ a)$^{2}$ – 2sin$^{2}$ a cos$^{2}$ a

= 1 – 2(sin a cos a)$^{2}$ = $1 - 2.{\left( {\frac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)^2} = 1 - \frac{{{{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2}}}{2}$.

Lời giải

a) Ta có VT = cos$^{4}$ x – sin$^{4}$ x = (cos$^{2}$ x – sin$^{2}$ x)(cos$^{2}$ x + sin$^{2}$ x) = cos$^{2}$ x – sin$^{2}$ x

= cos$^{2}$ x – (1 – cos$^{2}$ x) = 2 cos$^{2}$ x – 1 = VP.

b) Ta có

VT = tan$^{2}$ x – sin$^{2}$ x = $\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - {\sin ^2}x$$= \frac{{{{\sin }^2}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}$$= \frac{{{{\sin }^2}x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}$

$= \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}.{\sin ^2}x$ = tan$^{2}$ x . sin² x = VP.

c) Ta có

VT = (sin x + cos x)$^{2}$ + (sin x – cos x)²

= sin$^{2}$ x + 2sin x cos x + cos$^{2}$ x + sin$^{2}$ x – 2sin x cos x + cos$^{2}$ x

= 2 sin$^{2}$ x + 2 cos$^{2}$ x = 2(sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x) = 2 . 1 = 2 = VP.

Lời giải

A = 2cos$^{4}$ x – sin$^{4}$ x + sin$^{2}$ x cos$^{2}$ x + 3 sin$^{2}$ x

= cos$^{4}$ x – sin$^{4}$ x + cos$^{4}$ x + sin$^{2}$ x cos$^{2}$ x + 3 sin$^{2}$ x

= (cos$^{2}$ x – sin$^{2}$ x)(cos$^{2}$ x + sin$^{2}$ x) + cos$^{2}$ x (cos$^{2}$ x + sin$^{2}$ x) + 3sin$^{2}$ x

= cos$^{2}$ x – sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x + 3 sin$^{2}$ x

= 2cos$^{2}$ x + 2 sin$^{2}$ x

= 2(cos$^{2}$ x + sin$^{2}$ x)

= 2 . 1 = 2.

Lời giải

a) Trong 1 giây, bánh xe quay được $\frac{{12}}{6}$ = 2 vòng, tức là quay được một góc 4π (rad) hay 720°.

b) Bán kính xe đạp là: 860 : 2 = 430 (mm).

Trong 1 phút, quãng đường mà người đi xe đã đi được là:

l = 430 . 4π . 60 = 103 200π (mm).

Lời giải

Một giờ, kim phút quét được một góc lượng giác 2π; kim giờ quét được một góc $\frac{\pi }{6}$.

Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là $2\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}$.

Vào lúc 4 giờ hai kim tạo với nhau một góc là $\frac{{2\pi }}{3}$.

Khoảng thời gian ít nhất để hai kim vuông góc với nhau là

$\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{2}} \right):\frac{{11\pi }}{6} = \frac{1}{{11}}$ (giờ).

Vậy sau $\frac{1}{{11}}$ (giờ) hai kim sẽ vuông góc với nhau.

Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là

l = R .α = $6.\frac{1}{{11}}.\frac{\pi }{6} + 11.\frac{1}{{11}}.2\pi = \frac{{23\pi }}{{11}}$ (cm).