Giải SBT Toán 11 CTST Bài 2. Giá trị lượng giác của một góc lượng giác có đáp án

a) sin(‒1693°) = ‒sin(1693°)

= ‒sin(4.360° + 180° + 73°)

= sin73°

= cos(90° ‒ 73°) = cos17°.

b) $\text{cos}\frac{1003π}{3}=\text{cos}(334π+\frac{π}{3})=\text{cos}\frac{π}{3}=\text{sin}\frac{π}{6}$

c) tan 885° = tan(180.4 + 165°) = tan165° = tan(180° ‒ 15°) = ‒tan15°.

d) $\cot (-\frac{53π}{10})=-\cot (\frac{53π}{10})=-\cot (\frac{50π}{10}+\frac{3π}{10})$

$=-\cot (5π+\frac{3π}{10})=-\cot (\frac{3π}{10})$

$-\cot (\frac{π}{2}-\frac{π}{5})=-\tan (\frac{π}{5}).$

Vì $\text{sin}α=\frac{3}{5}$ và $\frac{π}{2}<α<π$ nên $\text{cos}α=-\frac{4}{5},\text{tan}α=-\frac{3}{4}$ và $\text{cot}α=-\frac{4}{3}$.

a) $A=\frac{3\cdot \frac{3}{5}}{2\cdot (-\frac{4}{5})-(-\frac{3}{4})}=\frac{\frac{9}{5}}{-\frac{8}{5}+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{9}{5}}{-\frac{17}{20}}=-\frac{36}{17}.$

b) $B=\frac{{(-\frac{4}{3})}^{2}-\frac{3}{5}}{-\frac{3}{4}+2\cdot (-\frac{4}{5})}=\frac{\frac{16}{9}-\frac{3}{5}}{-\frac{3}{4}-\frac{8}{5}}=\frac{\frac{53}{45}}{-\frac{47}{20}}=-\frac{212}{423}.$

a) sin605° = sin(3.180° + 65°) = ‒sin65°.

sin1645° = sin(9.180° + 25°) = ‒sin25° = ‒sin(90° ‒ 65°) = ‒cos65°.

cot25° = cot(90° ‒ 65°) = tan65°.

sin2605° + sin21645° + cot225°

= (‒sin65°)2 + (‒cos65°)2 + (tan65°)2

= 1 + tan265°

$=\frac{1}{{\text{cos}}^{2}{65}^{∘}}$

b) sin530° = sin(3.180° ‒ 10°) = sin10°.

sin640° = sin(4.180° ‒ 80°) = ‒sin80° = ‒sin(90° ‒ 10°) = ‒cos10°.

$\frac{\text{sin}530^{\circ}}{1+\text{sin}640^{\circ}}=\frac{\text{sin}10^{\circ}}{1-\text{cos}10^{\circ}}=\frac{{\text{sin}}^{2}10^{\circ}}{\text{sin}10^{\circ}(1-\text{cos}10^{\circ})}$

$=\frac{1-{\text{cos}}^{2}10^{\circ}}{\text{sin}10^{\circ}(1-\text{cos}10^{\circ})}=\frac{(1+\text{cos}10^{\circ})(1-\text{cos}10^{\circ})}{\text{sin}10^{\circ}(1-\text{cos}10^{\circ})}$

$=\frac{1+\text{cos}10^{\circ}}{\text{sin}10^{\circ}}=\frac{111}{\text{sin}10^{\circ}}+\text{cot}10^{\circ}\text{.}$

a) Ta có:

sin197° = sin(180° + 17°) = ‒sin17°.

sin73° = sin(90° ‒ 17°) = cos17°.

cos163° = cos(180° ‒ 17°) = ‒cos17°.

Suy ra:

sin 17°sin197° + sin73°cos163°

= sin 17°.(‒sin17°) + cos17°.(‒cos17°)

= ‒(sin$^{2}$17° + cos$^{2}$17°) = ‒1.

a) tan$^{3}$α + cot$^{3}$α = (tanα + cotα)$^{3}$ ‒ 3tanαcotα(tanα + cotα)

= (tanα + cotα)$^{3}$ ‒ 3 (tanα + cotα) (*)

Thay tanα + cotα = 2 vào biểu thức (*) ta có: 2$^{3}$ ‒ 3.2 = 2.

b) (sinα + cosα)$^{2}$ = sin$^{2}$α + cos$^{2}$α + 2 sinαcosα = 1 + 2 sinαcosα.

Do đó $\text{sin}α\text{cos}α=\frac{1}{2}[{(\text{sin}α+\text{cos}α)}^{2}-1]=\frac{1}{2}[{(\frac{1}{4})}^{2}-1]=-\frac{15}{32}$.

c) sin$^{3}$α + cos$^{3}$α

= (sinα + cosα)(sin$^{2}$α ‒ sinαcosα + cos$^{2}$α)

= (sinα + cosα)(1 ‒ sinαcosα)

Mà $\text{sin}α\text{cos}α=\frac{1}{2}[{(\text{sin}α+\text{cos}α)}^{2}-1]=\frac{1}{2}[{(\frac{1}{2})}^{2}-1]=-\frac{3}{8}$, nên

${\text{sin}}^{3}α+{\text{cos}}^{3}α=\frac{1}{2}\cdot [1-(-\frac{3}{8})]=\frac{1}{2}\cdot \frac{11}{8}=\frac{11}{16}$.

Vì tanx xác định nên cosx ≠ 0. Chia tử và mẫu của phân thức cho luỹ thừa thích hợp của cosx để biểu diễn biểu thức theo tanx.

a) $\frac{3\text{sin}x-4\text{cos}x}{5\text{sin}x+2\text{cos}x}=\frac{3\cdot \frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}-4}{5\cdot \frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}+2}=\frac{3\text{tan}x-4}{5\text{tan}x+2}=\frac{3.2-4}{5.2+2}=\frac{1}{6}$.

b) $\frac{{\text{sin}}^{3}x+2{\text{cos}}^{3}x}{2\text{sin}x+3\text{cos}x}=\frac{\frac{{\text{sin}}^{3}x}{{\text{cos}}^{3}x}+2}{(2\frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}+3)\cdot \frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}}=\frac{{\text{tan}}^{3}x+2}{(2\text{tan}x+3)({\text{tan}}^{2}x+1)}$

$=\frac{{2}^{3}+2}{(2\cdot 2+3)({2}^{2}+1)}=\frac{2}{7}$

Thay t = 31 vào công thức trên ta có:

$d(31)=4\sin [\frac{2π}{365}(31-80)]+12\approx 9{,}01$ (giờ)

Vậy thành phố X vào ngày 31 tháng 1 có 9,01 giờ có Mặt Trời chiếu sáng.