Giải SBT Toán 11 CTST Bài 2. Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất có đáp án

a) Không gian mẫu của phép thử là $n(Ω)=63$.

Xác suất của biến cố “Đoàn viên được gặp đến từ miền Nam” là $\frac{19}{63}$.

Xác suất của biến cố “Đoàn viên được gặp đến từ miền Trung” là $\frac{19}{63}$.

Xác suất của biến cố “Đoàn viên được gặp đến từ miền Nam hoặc miền Trung” là:

$\frac{19}{63}+\frac{19}{63}=\frac{38}{63}$.

b) Không gian mẫu của phép thử là $n(Ω)={C}_{63}^{2}.$

Số trường hợp xảy ra của biến cố “ Hai đoàn viên được gặp cùng đến từ miền Bắc” là ${C}_{25}^{2}$.

Xác suất của biến cố “ Hai đoàn viên được gặp cùng đến từ miền Bắc” là

$\frac{{C}_{25}^{2}}{{C}_{63}^{2}}=\frac{100}{651}$.

Số trường hợp xảy ra của biến cố “ Hai đoàn viên được gặp cùng đến từ miền Nam” là ${C}_{19}^{2}$.

Xác suất của biến cố “ Hai đoàn viên được gặp cùng đến từ miền Nam” là

$\frac{{C}_{19}^{2}}{{C}_{63}^{2}}=\frac{19}{217}$ .

Xác suất của biến cố “Hai đoàn viên được gặp cùng đến từ miền Bắc hoặc cùng đến từ miền Nam” là

$\frac{100}{651}+\frac{19}{217}=\frac{157}{651}$ .

a) Không gian mẫu của phép thử là $n(Ω)={C}_{10}^{2}.$

Số trường hợp xảy ra của biến cố “Cả 3 viên bi lấy ra đều có màu đỏ” là ${C}_{5}^{3}$.

Xác suất của biến cố “Cả 3 viên bi lấy ra đều có màu đỏ” là

$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{12}$.

Số trường hợp xảy ra của biến cố “Cả 3 viên bi lấy ra đều có màu đỏ” là ${C}_{3}^{3}$.

Xác suất của biến cố “Cả 3 viên bi lấy ra đều có màu vàng” là

$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{120}$.

Xác suất của biến cố “Cả 3 viên bi lấy ra đều có cùng màu” là

$\frac{1}{12}+\frac{1}{120}=\frac{11}{120}$.

b) Số trường hợp xảy ra của biến cố “Không có viên bi xanh nào được lấy ra” là ${C}_{8}^{3}$.

Xác suất của biến cố “Không có viên bi xanh nào được lấy ra” là

$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{7}{15}$.

Số trường hợp xảy ra của biến cố “Không có viên bi xanh nào được lấy ra” là $2{C}_{8}^{2}$.

Xác suất của biến cố “Chỉ có một viên bi xanh được lấy ra” là

$\frac{2{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{7}{15}$.

Xác suất của biến cố “Có không quá 1 viên bi xanh trong 3 viên bi lấy ra” là

$\frac{7}{15}+\frac{7}{15}=\frac{14}{15}$.

c) Gọi A là biến cố “Có đúng 2 màu trong 3 viên bi lấy ra”; B là biến cố “Cả 3 viên bi lấy ra có cùng màu” và C là biến cố “3 viên bi lấy ra có cả 3 màu”.

Ta thấy $A=B\cup C$. Khi đó: $P(B)=\frac{11}{120}$;

Số trường hợp xảy ra của biến cố C là $n(C)={C}_{2}^{1}{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{1}$.

$P(C)=\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{4}$.

Do B và C là hai biến cố xung khắc nên

$P(A)=P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\frac{11}{120}+\frac{1}{4}=\frac{41}{120}$.

Vậy xác suất của biến cố “Có đúng 2 màu trong 3 viên bi lấy ra” là $\frac{41}{120}$.

Không gian mẫu của phép thử là $n(Ω)=4.3.2=24$ (số).

Gọi B là biến cố “Số tạo thành chia hết cho 2”, C là biến cố “Số tạo thành chia hết cho 3”.

Do đó, BC là biến cố “Số tạo thành chia hết cho 6”.

Biến cố B xảy ra khi chữ số hàng đơn vị của số tạo thành là 4, có thể xếp được $n(B)=3.2=6$ số chia hết cho 2 nên $P(B)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$.

Biến cố B xảy ra khi 3 chữ số của số tạo thành là 1, 4, 7, có thể xếp được $n(B)=3.2=6$ số chia hết cho 3 nên $P(C)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$.

Có thể tạo thành 2 số chia hết cho 6 là 714 và 174 nên $P(BC)=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$.

Vậy $P(A)=P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(BC)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{5}{12}$.

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và B; A và $\overline{B}$; $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.

a) Ta có $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}4=0{,}6$.

• $\overline{A}$ và B độc lập nên $P(B)=\frac{P(\overline{A}B)}{P(A)}=\frac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5$.

• A và B độc lập nên $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$

.

b) Vì $\overline{A}$ và B độc lập nên $P(\overline{A}B)=P(\overline{A}).P(B)=0{,}4$

Hay $P(B)=\frac{0{,}4}{P(\overline{A})}=\frac{0{,}4}{1-P(A)}$.

Khi đó $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0{,}9$

$\Leftrightarrow P(A)+\frac{0{,}4}{1-P(A)}-P(A).\frac{0{,}4}{1-P(A)}=0{,}9$

$\Leftrightarrow \frac{5P(A)+2}{5}=0{,}9$

$\Leftrightarrow P(A)=0{,}5$.

Với $P(A)=0{,}5\Rightarrow P(B)=\frac{0{,}4}{0{,}5}=0{,}8$; $P(AB)=P(A).P(B)=0{,}5.0{,}8=0{,}4$

Không gian mẫu của phép thử là ${C}_{20}^{5}$.

Sơ đồ hình cây số trường hợp của các biến cố:

Khi đó, xác suất của biến cố “Có ít nhất 3 quả bóng xanh trong 5 quả bóng lấy ra” là:

$\frac{{C}_{10}^{3}{C}_{10}^{2}+{C}_{10}^{4}{C}_{10}^{1}+{C}_{10}^{5}}{{C}_{20}^{5}}=\frac{1}{2}$.

Vậy xác suất của biến cố “Có ít nhất 3 quả bóng xanh trong 5 quả bóng lấy ra” là $\frac{1}{2}.$

Sơ đồ hình cây:

Xác suất của biến cố “Châu phải gieo không quá 3 lần để xuất hiện mặt 6 chấm” là:

$\frac{1}{6}+\frac{5}{6}.\frac{1}{6}+{(\frac{5}{6})}^{2}.\frac{1}{6}+{(\frac{5}{6})}^{3}=\frac{91}{216}$.

Vậy xác suất của biến cố “Châu phải gieo không quá 3 lần để xuất hiện mặt 6 chấm” là $\frac{91}{216}$.

Không gian mẫu của phép thử là $n(Ω)={C}_{100}^{95}.$

Biến cố A xảy ra khi 3 số may mắn nằm trong 95 số mà Dương không chọn. Số trường hợp xảy ra của biến cố A là $n(C)={C}_{95}^{3}$.

Do đó xác suất của biến cố A là: $P(A)=\frac{{C}_{95}^{3}}{{C}_{100}^{3}}\approx 0{,}856$.

Biến cố B xảy ra khi trong 3 số may mắn, có 1 số Dương đã chọn, 2 số còn lại nằm trong 95 số mà Dương không chọn. Số trường hợp xảy ra của biến cố B là $n(B)={C}_{95}^{1}.{C}_{95}^{2}$.

Do đó, xác suất của biến cố B là: $P(B)=\frac{{C}_{95}^{1}{C}_{95}^{2}}{{C}_{100}^{3}}\approx 0{,}138$.

Gọi n là số quả bóng đỏ trong hộp. Tổng số quả bóng trong hộp là n+3 quả.

Không gian mẫu của phép thử là $n(Ω)={C}_{n+3}^{2}.$

Số trường hợp xảy ra của biến cố “Lấy được 2 quả bóng xanh” là ${C}_{3}^{2}$.

Xác suất lấy được 2 quả bóng xanh là $\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{n+3}^{2}}$.

Số trường hợp xảy ra của biến cố “Lấy được 2 quả bóng đỏ” là ${C}_{n}^{2}$.

Xác suất lấy được 2 quả bóng đỏ là $\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{n+3}^{2}}$.

Theo đề bài, ta có:

$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{n+3}^{2}}.5=\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{n+3}^{2}}\Leftrightarrow \frac{n(n-1)}{2}=15\Leftrightarrow n=6$ (chọn) hoặc n = 5 (loại).

Khi đó, xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng có cùng màu” là

$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{n+3}^{2}}+\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{n+3}^{2}}=\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6+3}^{2}}+\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{6+3}^{2}}=\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}+\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{2}}=0{,}5$.

Vậy xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng có cùng màu” là 0,5.

Gọi B là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc không chia hết cho 5”, C là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc không chia hết cho 3”.

Khi đó A là biến cố đối của biến cố $B\cup C$.

• Các số chấm không chia hết cho 5 là 1, 2, 3, 4, 6 nên $P(B)=\frac{5}{6}$.

• Các số chấm không chia hết cho 3 là 1, 2, 4, 5 nên $P(C)=\frac{4}{6}$.

• Các số chấm không chia hết cho 3 và 5 là 1, 2, 4 nên

$P(BC)=\frac{3}{6}$.

Ta có $P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(BC)$

$={(\frac{5}{6})}^{3}+{(\frac{4}{6})}^{3}-{(\frac{3}{6})}^{3}=\frac{3}{4}$.

Do đó xác suất của biến cố A là

$P(A)=1-P(B\cup C)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.

a) Gọi A là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76”. A$_{1}$ là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4” và A$_{2}$ là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra lớn hơn 76”.

Khi đó $A={A}_{1}\cup {A}_{2}$.

Không gian mẫu của phép thử là $n(A)={C}_{40}^{2}$.

Biến cố A$_{1}$ xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số 1 và 2. Do đó số trường hợp xảy ra của biến cố A$_{1}$ là 1. Từ đó

$P({A}_{1})=\frac{1}{{C}_{40}^{2}}=\frac{1}{780}$.

Biến cố A$_{2}$ xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số 37 và 40; 38 và 40; 39 và 40; 38 và 39. Do đó số trường hợp xảy ra của biến cố A$_{2}$ là 4. Từ đó

$P({A}_{2})=\frac{4}{{C}_{40}^{2}}=\frac{1}{195}$.

Do A$_{1}$ và A$_{2}$ là hai biến cố xung khắc nên

$P(A)=P({A}_{1}\cup {A}_{2})=P({A}_{1})+P({A}_{2})$

$=\frac{1}{780}+\frac{1}{195}=\frac{1}{156}$.

b) Gọi B là biến cố “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10”, B$_{1}$ là biến cố “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 5” và B$_{2}$ là biến cố “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 2”.

Khi đó B là biến cố đối của ${B}_{1}\cup {B}_{2}$.

Từ 1 đến 40 có 8 số chia hết cho 5 và 32 số không chia hết cho 5 nên $n({B}_{1})={C}_{32}^{2}$

$P({B}_{1})=\frac{{C}_{32}^{2}}{{C}_{40}^{2}}=\frac{124}{195}$.

Từ 1 đến 40 có 20 số chia hết cho 2 và 20 số không chia hết cho 2 nên $n({B}_{2})={C}_{20}^{2}$

$P({B}_{2})=\frac{{C}_{20}^{2}}{{C}_{40}^{2}}=\frac{19}{78}$.

Từ 1 đến 40 có 4 số chia hết cho 10 nên số các số không chia hết cho 2 và 5 là $32-20+4=16$ số. Từ đó ta có

$P({B}_{1}{B}_{2})=\frac{{C}_{16}^{2}}{{C}_{40}^{2}}=\frac{2}{13}$.

Ta có $P({B}_{1}\cup {B}_{2})=P({B}_{1})+P({B}_{2})-P({B}_{1}{B}_{2})$

$=\frac{124}{195}+\frac{19}{78}-\frac{2}{13}=\frac{283}{390}$.

Vậy xác suất của biến cố B “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10” là

$P(B)=1-P({B}_{1}\cup {B}_{2})=1-\frac{283}{390}=\frac{107}{390}$.