Giải SBT Toán 11 CTST Bài 1. Giới hạn của dãy số có đáp án

a) lim(3u$_{n}$ ‒ 4) = 3limu$_{n}$ ‒ lim4 = 3.3 ‒ 4 = 5.

b) lim(u$_{n}$ + 2v$_{n}$) = limu$_{n}$ + 2limv$_{n}$ = 3 + 2.4 = 11.

c) lim(u$_{n}$ ‒ v$_{n}$)$^{2}$ = (limu$_{n}$ ‒ limv$_{n}$)$^{2}$ = (3 ‒ 4)$^{2}$ = 1.

d) $\text{lim}\frac{-2{u}_{n}}{{v}_{n}-2{u}_{n}}=\frac{-2\lim {u}_{n}}{\lim {v}_{n}-2\lim {u}_{n}}=\frac{-2\cdot 3}{4-2\cdot 3}=3.$

Ta có: $\text{lim}\frac{2n+3}{{n}^{2}{u}_{n}}=\text{lim}(\frac{2n+3}{n}\cdot \frac{1}{n{u}_{n}})=\text{lim}\frac{2n+3}{n}\cdot \text{lim}\frac{1}{n{u}_{n}}$

$=\text{lim}(2+\frac{3}{n})\cdot \frac{1}{\text{lim}n{u}_{n}}=2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$

a) Cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q=\frac{-\frac{1}{5}}{1}=-\frac{1}{5}$ thỏa mãn |q| < 1.

Vậy tổng của cấp số nhân là: $S=\frac{{u}_{1}}{1-q}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{5})}=\frac{5}{6}.$

b) Cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q=\frac{\frac{{2}^{2}}{3}}{2}=\frac{2}{3}$ thỏa mãn |q| < 1.

Vậy tổng của cấp số nhân là: $S=\frac{{u}_{1}}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{2}{3}}=6.$

Lượng nước ban đầu là u$_{1}$ = 100

Lượng nước sau khi xử lý và tái sử dụng lần 1 là: 100.80% = 100.0,8

Lượng nước sau khi xử lý và tái sử dụng lần 2 là: 100.80%.80% = 100.(0,8)$^{2}$

Lượng nước sau khi xử lý và tái sử dụng lần 3 là: 100.80%.80%.80% = 100.(0,8)$^{3}$

....

Vậy tổng lượng nước sau khi xử lý và tái sử dụng mãi mãi là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là u$_{1}$ = 100 và công bội q = 0,8 thỏa mãn |q| < 1.

Tổng này bằng: $100+100\cdot 0{,}8+100\cdot {(0{,}8)}^{2}+100\cdot {(0{,}8)}^{3}+\ldots =\frac{100}{1-0{,}8}=\frac{100}{0{,}2}=500\ ({\text{m}}^{3}).$