Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Giới hạn của dãy số có đáp án

Đáp án đúng là: B

Vì limq$^{n}$ = 0 với |q| < 1 nên ta có:

$\lim \frac{1}{{{2^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0$ do $\left| {\frac{1}{2}} \right| < 1$;

$\lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^n} = 0$ do $\left| {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right| < 1$;

$\lim {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} = 0$ do $\left| { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right| < 1$.

Vậy các đáp án A, C, D đúng.

Vì $\left| {\frac{3}{2}} \right| > 1$ nên $\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n} \ne 0$, do đó đáp án B sai.

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn thì ta thấy đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Nếu limu$_{n}$ = C và limv$_{n}$ = +∞ (hoặc limv$_{n}$ = −∞) thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0$.

Đáp án đúng là: C

Theo định lí giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực, nếu limu$_{n}$ = +∞ và limv$_{n}$ = C, C < 0 thì lim$\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$= –∞ nên đáp án C sai.

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn, nếu u$_{n}$ ≥ 0 với mọi n và limu$_{n}$ = a thì a ≥ 0 và $\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a$.

Xét dãy số (u$_{n}$) có ${u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}$.

Giả sử h là số dương bé tùy ý cho trước. Ta có: $\left| {{u_n}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}} \right| = \frac{1}{{{n^2}}}$.

Do đó, $\left| {{u_n}} \right| < h \Leftrightarrow \frac{1}{{{n^2}}} < h \Leftrightarrow \frac{1}{n} < \sqrt h \Leftrightarrow n > \frac{1}{{\sqrt h }}$.

Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn $\frac{1}{{\sqrt h }}$ thì |u$_{n}$| < h.

Suy ra $\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}} = 0$.

Ta có

$\lim {u_n} = \lim \left( {3 - \frac{4}{{n + 1}}} \right) = \lim 3 - \lim \frac{4}{{n + 1}} = 3 - 0 = 3$;

$\lim {v_n} = \lim \left( {8 - \frac{5}{{3{n^2} + 2}}} \right) = \lim 8 - \lim \frac{5}{{3{n^2} + 2}} = 8 - 0 = 8$.

Ta có

lim(u$_{n}$+ v$_{n}$) = limu$_{n}$ + limv$_{n}$ = 3 + 8 = 11;

lim(u$_{n}$ – v$_{n}$) = limu$_{n}$ – limv$_{n}$ = 3 – 8 = – 5;

lim(u$_{n}$ . v$_{n}$) = limu$_{n}$ . limv$_{n}$ = 3 . 8 = 24;

$\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$$= \frac{{\lim {u_n}}}{{\lim {v_n}}} = \frac{3}{8}$.

Vì lim(4n + 2) $= \lim \left[ {n\left( {4 + \frac{2}{n}} \right)} \right]$ = lim (n . 4) = +∞ và lim3 = 3 > 0.

Do đó, $\lim \frac{{4n + 2}}{3} = + \infty$.

Vì lim(3n + 4) $= \lim \left[ {n\left( {3 + \frac{4}{n}} \right)} \right]$ = lim (n . 3) = +∞

và $\lim \left( { - 5 + \frac{2}{n}} \right) = \lim \left( { - 5} \right) + \lim \frac{2}{n} = - 5$ < 0.

Do đó, $\lim \frac{{3n + 4}}{{ - 5 + \frac{2}{n}}} = - \infty$.

Vì $\lim \left( { - 3 + \frac{1}{{n + 1}}} \right) = \lim \left( { - 3} \right) + \lim \frac{1}{{n + 1}} = - 3$ và lim5$^{n}$ = +∞.

Nên $\lim \frac{{ - 3 + \frac{1}{{n + 1}}}}{{{5^n}}} = 0$.

$\lim \left( {6 - \frac{5}{{{4^n}}}} \right)$$= \lim 6 - \lim \frac{5}{{{4^n}}}$$= 6 - \lim \left( {5.\frac{1}{{{4^n}}}} \right)$

$= 6 - 5\lim {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} = 6 - 5.0 = 6$.

$\lim \frac{{ - 2{n^2} - 6n + 2}}{{8{n^2} - 5n + 4}}$$= \lim \frac{{{n^2}\left( { - 2 - \frac{6}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {8 - \frac{5}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} \right)}}$

$= \lim \frac{{ - 2 - \frac{6}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}{{8 - \frac{5}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}}} = \frac{{\lim \left( { - 2 - \frac{6}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}}{{\lim \left( {8 - \frac{5}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{{ - 2}}{8} = - \frac{1}{4}$.

$\lim \frac{{{n^3} - 5n + 1}}{{3{n^2} - 4n + 2}}$$= \lim \frac{{{n^3}\left( {1 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {\frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}}$$= \lim \frac{{1 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{\frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}}}$

$= \frac{{\lim \left( {1 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{\lim \left( {\frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}} = + \infty$ (do $\lim \left( {1 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right) = 1$ và $\lim \left( {\frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}} \right) = 0$).

$\lim \frac{{ - 4n + 1}}{{9{n^2} - n + 2}}$$= \lim \frac{{{n^2}\left( {\frac{{ - 4}}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {9 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}}$$= \lim \frac{{\frac{{ - 4}}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{9 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}$

$= \frac{{\lim \left( {\frac{{ - 4}}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{\lim \left( {9 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{0}{9} = 0$.

$\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} }}{{8n + 3}}$$= \lim \frac{{\sqrt {{n^2}\left( {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} }}{{n\left( {8 + \frac{3}{n}} \right)}}$$= \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{8 + \frac{3}{n}}}$

$= \frac{{\lim \left( {\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} } \right)}}{{\lim \left( {8 + \frac{3}{n}} \right)}} = \frac{{\sqrt {\lim \left( {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} }}{{\lim \left( {8 + \frac{3}{n}} \right)}} = \frac{{\sqrt 4 }}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

$\lim \frac{{{4^n} + {5^n}}}{{{{3.4}^n} - {{4.5}^n}}}$$= \lim \frac{{{5^n}\left( {\frac{{{4^n}}}{{{5^n}}} + 1} \right)}}{{{5^n}\left( {\frac{{{{3.4}^n}}}{{{5^n}}} - 4} \right)}}$$= \lim \frac{{{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + 1}}{{3.{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} - 4}}$

$= \frac{{\lim \left[ {{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + 1} \right]}}{{\lim \left[ {3.{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} - 4} \right]}} = \frac{1}{{ - 4}} = - \frac{1}{4}$.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u$_{n}$) với ${u_1} = \frac{5}{4},q = - \frac{1}{3}$ là:

$S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{5}{4}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{3}} \right)}} = \frac{{15}}{{16}}$.

Ta có 2,(3) = 2 + 0,(3) = 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ...

Dãy số 0,3; 0,03; 0,003; ...lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u$_{1}$ = 0,3 và công bội $q = \frac{1}{{10}}$ < 1. Do đó:

0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ... $= \frac{{0{,}3}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{1}{3}$.

Vậy 2,(3) = 2 + $\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

Theo đề bài ta có, ${h_n} = \frac{1}{4}{h_{n - 1}}$ nên (h$_{n}$) là một cấp số nhân với h$_{1}$ = $\frac{1}{4}.100 = 25$ và công bội $q = \frac{1}{4}$.

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số (h$_{n}$): ${h_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 25.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} = \frac{{100}}{{{4^n}}}$.

Ta có: limh$_{n}$ = $\lim \frac{{100}}{{{4^n}}} = \lim \left( {100.\frac{1}{{{4^n}}}} \right) = \lim 100.\lim {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} = 100.0 = 0$.

Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.

Ta có: ${S_n} = 100 + 2\left( {\frac{{100}}{4} + \frac{{100}}{{{4^2}}} + \frac{{100}}{{{4^3}}} + ... + \frac{{100}}{{{4^n}}}} \right)$.

Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: $\lim {S_n} = 100 + 2\left( {\frac{{100}}{4} + \frac{{100}}{{{4^2}}} + \frac{{100}}{{{4^3}}} + ... + \frac{{100}}{{{4^n}}} + ...} \right)$.

Vì $\frac{{100}}{4};\,\frac{{100}}{{{4^2}}};\,\frac{{100}}{{{4^3}}};...;\frac{{100}}{{{4^n}}};...$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với ${u_1} = \frac{{100}}{4}$ và công bội $q = \frac{1}{4} < 1$ nên ta có $\lim {S_n} = 100 + 2.\frac{{\frac{{100}}{4}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{{500}}{3}$.

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là $\frac{{500}}{3}$ m.