Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Dãy số có đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: u$_{1}$ = 2; ${u_2} = \frac{{{u_1} + 1}}{2} = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{3}{2}$; ${u_3} = \frac{{{u_2} + 1}}{2} = \frac{{\frac{3}{2} + 1}}{2} = \frac{5}{4}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có ${u_{10}} = \frac{{{{2.10}^2} - 1}}{{{{10}^2} + 2}} = \frac{{199}}{{102}}$.

Đáp án đúng là: B

Giả sử ${u_k} = \frac{8}{{19}}$ là một số hạng của dãy số (u$_{n}$).

Khi đó k ∈ ℕ$^{*}$ và ${u_k} = \frac{{k + 1}}{{3k - 2}} = \frac{8}{{19}}$, suy ra 19(k + 1) = 8(3k – 2)

⇔ 19k + 19 = 24k – 16

⇔ 24k – 19k = 19 + 16

⇔ 5k = 35

⇔ k = 7 (t/m).

Vậy k = 7.

Đáp án đúng là: A

Ta có u$_{n + 1}$ = 3$^{n + 1}$ = 3$^{n}$ . 3$^{1}$ = 3$^{n}$ . 3.

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án C, ta có:

${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1 + 1}}}} - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}} = \frac{1}{{{3^{n + 2}}}} - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}$

$= \frac{{{3^{n + 1}} - {3^{n + 2}}}}{{{3^{n + 1}}{{.3}^{n + 2}}}} = \frac{{{{3.3}^n} - {{9.3}^n}}}{{{3^{n + 1}}{{.3}^{n + 2}}}} = \frac{{ - {{6.3}^n}}}{{{3^{n + 1}}{{.3}^{n + 2}}}} < 0$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Suy ra u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ < 0, tức là u$_{n + 1}$ < u$_{n}$.

Vậy dãy số (u$_{n}$) với ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}$ là dãy số giảm.

Đáp án đúng là: C

Ta có – 1 ≤ cos n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Do đó, – 1 ≤ u$_{n}$ ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Khi đó dãy số (u$_{n}$) bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi – 1.

Vậy dãy số (u$_{n}$) là dãy số bị chặn.

Ta có u$_{1}$ = 3 . 1 – 1 = 2; u$_{2}$ = 3 . 2 – 1 = 5;

u$_{3}$ = 3 . 3 – 1 = 8; u$_{4}$ = 3. 4 – 1 = 11;

u$_{5}$ = 3 . 5 – 1 = 14; u$_{6}$ = 3 . 6 – 1 = 17.

Do đó, u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$+ u$_{4}$ + u$_{5}$ + u$_{6}$ = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57.

Vậy tổng 6 số hạng đầu của dãy số (u$_{n}$) là 57.

Năm số hạng đầu của dãy số (u$_{n}$) là: u$_{1}$ = 2;

${u_2} = \sqrt {2 + u_1^2} = \sqrt {2 + {2^2}} = \sqrt 6$;

${u_3} = \sqrt {2 + u_2^2} = \sqrt {2 + {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2$;

${u_4} = \sqrt {2 + u_3^2} = \sqrt {2 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {10}$;

${u_5} = \sqrt {2 + u_4^2} = \sqrt {2 + {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3$.

Ta thấy $2 = \sqrt {2.\left( {1 + 1} \right)}$; $\sqrt 6 = \sqrt {2.\left( {2 + 1} \right)}$; $\sqrt 8 = \sqrt {2.\left( {3 + 1} \right)}$;

$\sqrt {10} = \sqrt {2.\left( {4 + 1} \right)}$; $\sqrt {12} = \sqrt {2.\left( {5 + 1} \right)}$.

Khi đó dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u$_{n}$) là ${u_n} = \sqrt {2\left( {n + 1} \right)}$.

Với x = n, ta có ${y_n} = \frac{{2n - 1}}{{2{n^2} + 1}}$, suy ra ${A_n}\left( {n;\,\frac{{2n - 1}}{{2{n^2} + 1}}} \right)$.

Vì dãy số (u$_{n}$) có u$_{n}$ là tung độ của điểm A$_{n}$, do đó ${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{2{n^2} + 1}}$.

Vẫy công thức của số hạng tổng quát là ${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{2{n^2} + 1}}$.

Bốn số hạng đầu của dãy số (u$_{n}$) là:

${u_1} = \sin \left[ {\left( {2.1 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$;

${u_2} = \sin \left[ {\left( {2.2 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$;

${u_3} = \sin \left[ {\left( {2.3 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{5\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$;

${u_4} = \sin \left[ {\left( {2.4 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{7\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Ta có ${u_{n + 4}} = \sin \left[ {\left( {2.\left( {n + 4} \right) - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]$$= \sin \left[ {\left( {2n + 8 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]$

$= \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4} + 8.\frac{\pi }{4}} \right]$$= \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4} + 2\pi } \right]$

$= \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = {u_n}$, $\forall n \ge 1$.

Vậy u$_{n + 4}$ = u$_{n}$ với mọi n ≥ 1.

Theo câu b) ta có u$_{n + 4}$ = u$_{n}$ với mọi n ≥ 1.

Do đó, u$_{1}$ = u$_{5}$= u$_{9}$, u$_{2}$ = u$_{6}$ = u$_{10}$, u$_{3}$ = u$_{7}$ = u$_{11}$, u$_{4}$ = u$_{8}$ = u$_{12}$.

Tổng 12 số hạng đầu của dãy số là:

u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$ + u$_{4}$ + ... + u$_{12}$ = 3(u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$ + u$_{4}$)

= $3\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0$.

Ta có u$_{n + 1}$ = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5.

Xét u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = (2n + 5) – (2n + 3) = 2 > 0 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Do đó, u$_{n + 1}$ > u$_{n}$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (u$_{n}$) với u$_{n}$ = 2n + 3 là dãy số tăng.

Ta có u$_{n + 1}$ = 3$^{n + 1}$ – (n + 1) = 3 . 3$^{n}$ – n – 1.

Xét u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = (3 . 3$^{n}$ – n – 1) – (3$^{n}$ – n) = 3 . 3$^{n}$ – 3$^{n}$ – 1 = 2 . 3$^{n}$ – 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Do đó, u$_{n + 1}$ > u$_{n}$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (u$_{n}$) với u$_{n}$ = 3$^{n}$ – n là dãy số tăng.

Ta có u$_{n + 1}$ = $\frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}$ = $\frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{{2.2}^n}}}$.

Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{{2.2}^n}}} - \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}} = \frac{{\sqrt {n + 1} - 2\sqrt n }}{{{{2.2}^n}}}$ $= \frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt {4n} }}{{{{2.2}^n}}}$

$= \frac{{n + 1 - 4n}}{{{{2.2}^n}\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt {4n} } \right)}} = \frac{{ - 3n + 1}}{{{{2.2}^n}\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt {4n} } \right)}} < 0$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

(do – 3n + 1 < 0, 2$^{n}$ > 0 và $\sqrt {n + 1} + \sqrt {4n} > 0$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$).

Do vậy, u$_{n + 1}$ < u$_{n}$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (u$_{n}$) với ${u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}}$ là dãy số giảm.

Ta có ${u_{n + 1}} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{an + a + 2}}{{n + 2}}$.

Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{an + a + 2}}{{n + 2}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {an + a + 2} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {an + 2} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}$

$= \frac{{a{n^2} + an + an + a + 2n + 2 - a{n^2} - 2an - 2n - 4}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}$$= \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}$.

Để dãy số (u$_{n}$) là dãy số tăng thì u$_{n + 1}$ > u$_{n}$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$ hay u$_{n + 1}$ – u$_{n}$> 0 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$, tức là $\frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Mà n + 2 > 0, n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Nên $\frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0$ ⇔ a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

Vậy (u$_{n}$) là dãy số tăng khi a > 2.

Ta có n$^{2}$ ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Do đó, $\sqrt {{n^2} + 1} \ge \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (u$_{n}$) với ${u_n} = \sqrt {{n^2} + 1}$ bị chặn dưới.

Ta có – n$^{2}$ – n ≤ – 2 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Do đó, dãy số (u$_{n}$) với u$_{n}$ = – n$^{2}$– n bị chặn trên.

Ta có $\frac{{2n + 1}}{{n + 2}} > 0$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$. Do đó, dãy số (u$_{n}$) với ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}$ bị chặn dưới. (1)

Lại có $\frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{2\left( {n + 2} \right) - 3}}{{n + 2}} = 2 - \frac{3}{{n + 2}} < 2$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Do đó, dãy số (u$_{n}$) với ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}$ bị chặn trên. (2)

Từ (1) và (2), suy ra dãy số (u$_{n}$) với ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}$ bị chặn.