Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Cấp số nhân có đáp án

Xét từng đáp án, ta có:

+ Đáp án A: $\frac{{ - 64}}{{128}} = \frac{{32}}{{ - 64}} = \frac{{ - 16}}{{32}} = \frac{8}{{ - 16}} = \frac{{ - 1}}{2}$, do đó dãy số 128; – 64; 32; – 16; 8 lập thành một cấp số nhân có công bội $\frac{{ - 1}}{2}$.

+ Đáp án B: $\frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \ne 2 = \frac{8}{4}$, do đó dãy số $\sqrt 2 ;\,\,2;\,\,2\sqrt 2 ;\,\,4;\,\,8$ không phải cấp số nhân.

+ Đáp án C: $\frac{6}{5} \ne \frac{7}{6}$, do đó dãy số 5; 6; 7; 8; 9 không phải cấp số nhân.

+ Đáp án D: $\frac{5}{{15}} = \frac{1}{3} \ne \frac{1}{5}$, do đó dãy số 15; 5; 1; $\frac{1}{5};\,\,\frac{1}{{25}}$ không phải cấp số nhân.

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số (u$_{n}$) với số hạng tổng quát u$_{n}$ = 5$^{n}$ là một cấp số nhân.

Thật vậy, ta thấy u$_{n}$ ≠ 0 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Ta có: u$_{1}$ = 5$^{1}$ = 5; $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{5^n}}}{{{5^{n - 1}}}} = \frac{{{5^n}}}{{\frac{{{5^n}}}{5}}} = 5$ không đổi với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy dãy số (u$_{n}$) với số hạng tổng quát u$_{n}$ = 5$^{n}$ là một cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 5 và công bội q = 5.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{5}$ = u$_{1}$ . q$^{5 – 1}$ = u$_{1}$ . q$^{4}$ = 2 . (– 2)$^{4}$ = 32.

Đáp án đúng là: D

Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 1, công bội q, bốn số hạng xen giữa 1 và – 243 lần lượt là u$_{2}$, u$_{3}$, u$_{4}$, u$_{5}$; và số hạng thứ 6 là u$_{6}$ = – 243.

Ta có u$_{6}$ = u$_{1}$ . q$^{5}$ = q$^{5}$ = – 243 = (– 3)$^{5}$, suy ra q = – 3.

Do đó, bốn số hạng cần tìm lần lượt là: u$_{2}$ = u$_{1}$ . q = 1 . (– 3) = – 3;

u$_{3}$ = u$_{2}$ . q = (– 3) . (– 3) = 9;

u$_{4}$ = u$_{3}$ . q = 9 . (– 3) = – 27;

u$_{5}$ = u$_{4}$ . q = (– 27) . (– 3) = 81.

Đáp án đúng là: C

Giả sử công bội của cấp số nhân là q.

Khi đó ta có u$_{2}$ . u$_{6}$ = (u$_{1}$ . q) . (u$_{1}$ . q$^{5}$) = $u_1^2.{q^6}$.

Và ${u_3}.{u_5} = \left( {{u_1}.{q^2}} \right).\left( {{u_1}.{q^4}} \right) = u_1^2.{q^6}$.

Do đó, u$_{3}$ . u$_{5}$ = u$_{2}$ . u$_{6}$ = 64.

Đáp án đúng là: B

Giả sử công bội của cấp số nhân là q.

Khi đó ta có u$_{8}$ = u$_{1}$ . q$^{7}$ = $\frac{{{q^7}}}{3}$. Mà u$_{8}$ = 729 nên $\frac{{{q^7}}}{3} = 729 \Rightarrow {q^7} = 2187$.

Vì 2 187 = 3$^{7}$, suy ra q = 3.

Vậy tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:

${S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{3}.\left( {1 - {3^8}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{{3^8} - 1}}{6}$.

Đáp án đúng là: A

Hình vuông C$_{1}$ có diện tích S$_{1}$ = 1.

Hình vuông C$_{2}$ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C$_{1}$, do đó hình vuông C$_{2}$ có diện tích S$_{2}$ = $\frac{1}{2}{S_1} = \frac{1}{2}$.

Tương tự, hình vuông C$_{3}$ có diện tích ${S_3} = \frac{1}{2}{S_2} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{{{2^2}}}$.

Cứ tiếp tục như thế ta tính được diện tích hình vuông C$_{2023}$ là ${S_{2023}} = \frac{1}{{{2^{2022}}}}$.

Do ba số $\frac{2}{{b - a}},\,\,\frac{1}{b},\,\frac{2}{{b - c}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

$\frac{1}{b} - \frac{2}{{b - a}} = \frac{2}{{b - c}} - \frac{1}{b}$

$\Leftrightarrow \frac{{b - a - 2b}}{{b\left( {b - a} \right)}} = \frac{{2b - \left( {b - c} \right)}}{{b\left( {b - c} \right)}}$

$\Leftrightarrow \frac{{ - a - b}}{{b - a}} = \frac{{b + c}}{{b - c}}$ (do b ≠ 0)

$\Rightarrow \left( { - a - b} \right)\left( {b - c} \right) = \left( {b - a} \right)\left( {b + c} \right)$

⇔ – ab + ac – b$^{2}$ + bc = b$^{2}$ + bc – ab – ac

⇔ ac – b$^{2}$ = b$^{2}$ – ac

⇔ 2b$^{2}$ = 2ac

⇔ b$^{2}$ = ac

$\Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{c}{b}$.

Suy ra ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Ba số 2x – 3; x; 2x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân khi

$\frac{x}{{2x - 3}} = \frac{{2x + 3}}{x}$

⇒ x$^{2}$ = (2x – 3)(2x + 3)

⇔ x$^{2}$ = 4x$^{2}$ – 9

⇔ 3x$^{2}$ = 9

⇔ x$^{2}$ = 3

$\Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3$.

Vậy $x = \pm \sqrt 3$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có u$_{2}$ + u$_{4}$ = $\frac{{{u_3}}}{q} + {u_3}q = \frac{{16}}{q} + 16q$.

Mà u$_{2}$ + u$_{4}$ = 40 nên $\frac{{16}}{q} + 16q = 40$⇒ 16 + 16q$^{2}$ = 40q

⇔ 2q$^{2}$ – 5q + 2 = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Lại có u$_{3}$ = u$_{1}$ q$^{2}$ = 16, suy ra u$_{1}$ = $\frac{{16}}{{{q^2}}}$.

Với $q = \frac{1}{2}$ thì ${u_1} = \frac{{16}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}} = 64$.

Với q = 2 thì ${u_1} = \frac{{16}}{{{2^2}}} = 4$.

Vậy u$_{1}$ = 64, q = $\frac{1}{2}$ hoặc u$_{1}$ = 4, q = 2.

Ta có u$_{1}$ + u$_{6}$ = u$_{1}$ + u$_{1}$ . q$^{5}$ = 244, suy ra u$_{1}$ . q$^{5}$ = 244 – u$_{1}$.

Lại có u$_{2}$ . u$_{5}$ = (u$_{1}$ . q) . (u$_{1}$ . q$^{4}$) = u$_{1}$ . (u$_{1}$ . q$^{5}$) = u$_{1}$ . (244 – u$_{1}$) = 244u$_{1}$ – u$_{1}$$^{2}$.

Suy ra 244u$_{1}$ – u$_{1}$$^{2}$ = 243 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 243\end{array} \right.$.

Với u$_{1}$ = 1 thì q$^{5}$ = 244 – 1 = 243 = 3$^{5}$, suy ra q = 3.

Với u$_{1}$ = 243 thì 243q$^{5}$ = 244 – 243 ⇔ 243q$^{5}$ = 1 $\Leftrightarrow {q^5} = \frac{1}{{243}} \Leftrightarrow {q^5} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^5}$$\Leftrightarrow q = \frac{1}{3}$.

Vậy u$_{1}$ = 1, q = 3 hoặc u$_{1}$ = 243, $q = \frac{1}{3}$.

$\{\begin{matrix}{u}_{1}+{u}_{2}+{u}_{3}=13 \\ {u}_{4}+{u}_{5}+{u}_{6}=351\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}+{u}_{1}q+{u}_{1}{q}^{2}=13 \\ {u}_{1}{q}^{3}+{u}_{1}{q}^{4}+{u}_{1}{q}^{5}=351\end{matrix}$

Ta có $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}(1+q+{q}^{2})=13\ (1) \\ {u}_{1}{q}^{3}(1+q+{q}^{2})=351\ (2)\end{matrix}$

Lấy (2) chia vế theo vế cho (1), ta được q$^{3}$ = 27, suy ra q = 3.

Ta có u$_{1}$(1 + 3 + 3$^{2}$) = 13 ⇔ 13u$_{1}$ = 13 ⇔ u$_{1}$ = 1.

Vậy u$_{1}$ = 1, q = 3.

Xét số hạng đầu u$_{1}$ và công bội q. Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Lấy (2) chia vế theo vế (1) ta được q = 2.

Suy ra u$_{1}$ . (1 + 2$^{4}$) = 51 ⇔ 17u$_{1}$ = 51 ⇔ u$_{1}$ = 3.

Do đó, u$_{10}$ = u$_{1}$ . q$^{9}$ = 3 . 2$^{9}$ = 1 536.

Giả sử số 192 là số hạng thứ k của cấp số nhân (u$_{n}$).

Ta có u$_{k}$ = u$_{1}$ . q$^{k – 1}$ = 3 . 2$^{k – 1}$= 3 . 2$^{k}$ . $\frac{1}{2}$ = 192, suy ra 2$^{k}$ = 128 = 2$^{7}$, suy ra k = 7.

Vậy số 192 là số hạng thứ 7.

Giả sử 9 216 là số hạng thứ n của cấp số nhân (u$_{n}$).

Ta có 3 . 2$^{n – 1}$ = 9 216 ⇔ 2$^{n – 1}$ = 3 072.

Do 3 072 chia hết cho 3 mà với n là số nguyên dương thì 2$^{n – 1}$ không chia hết cho 3 nên không tồn tại n thoả mãn.

Vậy số 9 216 không là số hạng nào của (u$_{n}$).

Giả sử cấp số nhân đó là (u$_{n}$) với n = 7.

Theo bài ra ta có: u$_{4}$ = 2 và u$_{7}$ = 32u$_{2}$.

Ta có u$_{7}$ = u$_{1}$ . q$^{6}$ và u$_{2}$ = u$_{1}$ . q, do đó u$_{1}$ . q$^{6}$ = 32u$_{1}$ . q, suy ra q = 2.

Lại có u$_{4}$ = u$_{1}$ . q$^{3}$ = u$_{1}$ . 2$^{3}$ = 8u$_{1}$, suy ra 8u$_{1}$ = 2 ⇔ u$_{1}$ = $\frac{1}{4}$.

Do vậy, u$_{2}$ = $\frac{1}{4}.2 = \frac{1}{2}$; u$_{3}$ = $\frac{1}{2}.2 = 1$; u$_{5}$ = 2 . 2 = 4; u$_{6}$ = 4 . 2 = 8; u$_{7}$ = 8 . 2 = 16.

Vậy cấp số nhân cần tìm là: $\frac{1}{4};\,\,\frac{1}{2};\,\,1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;\,\,16$.

Giả sử công bội của cấp số nhân là q, công sai của cấp số cộng là d, khi đó gọi ba số cần tìm là a, aq, aq$^{2}$. (với a, p ≠ 0)

Theo bài ra ta có: a + aq + aq$^{2}$ = 78 (*); aq = a + 2d; aq$^{2}$ = a + 8d.

Từ aq = a + 2d, suy ra aq – a = 2d ⇔ a(q – 1) = 2d. (1)

Từ aq$^{2}$ = a + 8d, suy ra aq$^{2}$ – a = 8d ⇔ a(q$^{2}$ – 1) = 8d ⇔ a(q – 1)(q + 1) = 8d. (2)

Với q = 1 thì a = aq = aq$^{2}$, mà ba số cần tìm là phân biệt nên q = 1 không thỏa mãn.

Do vậy, q ≠ 1 ⇒ q – 1 ≠ 0, do đó a(q – 1) ≠ 0. Chia vế theo vế của (2) cho (1):

Ta được: q + 1 = 4 ⇔ q = 3.

Thay q = 3 vào (*): a + 3a + 9a = 78 ⇔ 13a = 78 ⇔ a = 6.

Suy ra ba số cần tìm là 6; 6 . 3 = 18; 18 . 3 = 54.

Vậy ba số cần tìm là: 6; 18; 54.

Ta có: ${S_m} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^m}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\left( { - 1} \right)\left( {1 - {3^m}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{1 - {3^m}}}{2}$.

Mà S$_{m}$ = – 364, do đó $\frac{{1 - {3^m}}}{2} = - 364$ ⇔ 1 – 3$^{m}$ = – 728

⇔ 3$^{m}$= 729 ⇔ 3$^{m}$ = 3$^{6}$ ⇔ m = 6.

Vậy m = 6.

Dãy $\frac{1}{{{u_1}}};\,\frac{1}{{{u_2}}};\frac{1}{{{u_3}}};\frac{1}{{{u_4}}};\frac{1}{{{u_5}}}$ là cấp số nhân với số hạng đầu là ${u'_1} = \frac{1}{{{u_1}}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1$ và công bội là $q' = \frac{1}{q} = \frac{1}{3}$.

Suy ra $S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}}$$= \frac{{\left( { - 1} \right).\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^5}} \right]}}{{1 - \frac{1}{3}}} = - \frac{{121}}{{81}}$.

Ta có ${v_1} = {u_1} - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}$

${v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}$$= \frac{1}{3}{u_{n - 1}} + 1 - \frac{3}{2} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\left( {{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}} \right) = \frac{1}{3}{v_{n - 1}}$ với mọi n ∈ ℕ$^{*}$, n ≥ 2.

Vậy dãy số (v$_{n}$) là cấp số nhân với số hạng đầu ${v_1} = - \frac{1}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{3}$.

Ta có: ${v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = - \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}$.

Từ ${v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}$, suy ra ${u_n} = {v_n} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}} = \frac{{{{3.3}^{n - 1}} - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}$.

Ta có S = u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$ + ... + u$_{10}$

$= \left( {{v_1} + \frac{3}{2}} \right) + \left( {{v_2} + \frac{3}{2}} \right) + \left( {{v_3} + \frac{3}{2}} \right) + ... + \left( {{v_{10}} + \frac{3}{2}} \right)$

= (v$_{1}$ + v$_{2}$ + v$_{3}$ + ... + v$_{10}$) + $\frac{3}{2}.10$

$= \frac{{{v_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} + 15$$= \frac{{ - \frac{1}{2}.\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{3}}} + 15$$= \frac{{280\,\,483}}{{19\,\,683}}$.

Ta có tiền lương năm thứ nhất của anh Dũng là: 120 triệu đồng.

Tiền lương năm thứ hai của anh Dũng là:

120 + 120 . 10% = 120(1 + 0, 1) = 120 . 1,1 (triệu đồng).

Tiền lương năm thứ ba của anh Dũng là:

120 . 1,1 + 120 . 1,1 . 10% = 120 . 1,1 (1 + 0,1) = 120 . 1,1$^{2}$ (triệu đồng).

Cứ tiếp tục như vậy, ta được tiền lương năm thứ 10 của anh Dũng là 120 . 1,1$^{9}$ (triệu đồng).

Do vậy, tiền lương mỗi năm của anh Dũng nhận được trong 10 năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 120 và công bội q = 1,1.

Khi đó tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm là:

${S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{120.\left[ {1 - {{\left( {1{,}1} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - 1{,}1}} \approx 1\,\,912$ (triệu đồng).

Vậy tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm là 1 912 triệu đồng.